2024年2月14日发(作者：石景山初一数学试卷答案)

2012·陕西卷(数学文科)2012·1．[2012·陕西卷]集合M＝{x|lgx>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝(A．(1,2)B．[1,2)C．(1,2]D．[1,2]2．[2012·陕西卷]下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(A．y＝x＋1C．y＝1xB．y＝－x3))D．y＝x|x|3．[2012·陕西卷]对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图1－1所示)，则该样本中的中位数众数极差分别是()A．46,45,56B．46,45,53C．47,45,56D．45,47,53b4．[2012·陕西卷]设a，b∈，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”i的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．[2012·陕西卷]图1－2是计算某年级500名学生期末考试(满分为100分)及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入(A．q＝)NMB．q＝MN1

C．q＝NM＋NMM＋N)D．q＝6．[2012·陕西卷]已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则(A．l与C相交C．l与C相离B．l与C相切D．以上三个选项均有可能7．[2012·陕西卷]设向量＝(1，cosθ)与＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于(A.221B.2D．－1)C．08．[2012·陕西卷]将正方体(如图1－3①所示)截去两个三棱锥，得到图②所示的几何体，则该几何体的左视图为()图1－3图1－429．[2012·陕西卷]设函数f(x)＝＋lnx，则(x1A．x＝为f(x)的极大值点21B．x＝为f(x)的极小值点2C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点10．[2012·陕西卷]小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则()2)

A．a＜v＜＜v＜B．v＝aba＋ba＋bD．v＝22x，x≥0，11．[2012·陕西卷]设函数f(x)＝12x，x＜0，12．[2012·陕西卷]观察下列不等式131＋2<，221151＋2＋2＜，23311171＋2＋2＋2＜，2344……照此规律，第五个不等式为________．．．．则f(f(－4))＝________.13．[2012·陕西卷]在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，πB＝，c＝23，则b＝________.614．[2012·陕西卷]图1－5是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．15．[2012·陕西卷]A.(不等式选做题)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．B.(几何证明选做题)如图1－6，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.图1－6C.(坐标系与参数方程选做题)直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为________．3

116．[2012·陕西卷]已知等比数列{an}的公比q＝－.21(1)若a3＝，求数列{an}的前n项和；4(2)证明：对任意k∈＋，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列．4

17．[2012·陕西卷]函数f(x)＝Asinπ邻两条对称轴之间的距离为.2(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈0，ωx－π6＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图像相πα2，f2＝2，求α的值．5

π18．[2012·陕西卷]直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，∠CAB＝.2(1)证明：CB1⊥BA1；(2)已知AB＝2，BC＝5，求三棱锥C1－ABA1的体积．图1－76

19．[2012·陕西卷]假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：图1－8(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．7

x2220．[2012·陕西卷]已知椭圆C1：＋y＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C14有相同的离心率．(1)求椭圆C2的方程；→＝2OA→，求直线AB的方(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，OB程．8

21．[2012·陕西卷]设函数f(x)＝xn＋bx＋c(n∈＋，b，c∈)．1，1(1)设n≥2，b＝1，c＝－1，证明：f(x)在区间2内存在唯一零点；(2)设n为偶数，|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，求b＋3c的最小值和最大值；(3)设n＝2，若对任意x1，x2∈[－1,1]有|f(x1)－f(x2)|≤4，求b的取值范围．9

1．C[解析]本小题主要考查集合的概念及基本运算以及对数函数的性质一元二次不等式的解法．解题的突破口为解对数不等式以及一元二次不等式．对于lgx>0可解得x>1；对于x2≤4可解得－2≤x≤2，根据集合的运算可得10x＝0x<0讨论其解析式，然后画出图像，结果符合要求，故选D.3．A[解析]本题主要考查茎叶图数据的读取和数据特征的简单计算，由所给的茎叶图可知所给出的数据共有30个，其中45出现3次为众数，处于中间位置的两数为45和47，则中位数为46；极差为68－12＝56.故选A.4．B[解析]本小题主要考查充要条件的概念以及复数的相关知识，解题的突破bb口为弄清什么是纯虚数，然后根据充要条件的定义去判断．a＋＝a－bi，若a＋为纯iibb虚数，a＝0且b≠0，所以ab＝0不一定有a＋为纯虚数，但a＋为纯虚数，一定有iibab＝0，故“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件，故选B.i5．D[解析]通过阅读题目所给的程序框图可知是循环结构，最终求解的是500个人的及格率，故填入的应为及格率q＝M.M＋N6．A[解析]本小题主要考查直线与圆的位置关系，解题的突破口为熟练掌握判断直线与圆位置关系的方法．x2＋y2－4x＝0是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，而点P(3,0)到圆心的距离为d＝(3－2)2＋(0－0)2＝1<2，点P(3,0)恒在圆内，过点P(3,0)不管怎么样画直线，都与圆相交．故选A.7．C[解析]由向量垂直的充要条件可知，要使两向量垂直，则有1－2cos2θ＝0，则cos2θ＝2cos2θ－1＝0.故选C.8．B[解析]分析题目中截几何体所得的新的几何体的形状，结合三视图实线和虚线的不同表示可知对应的左视图应该为B.10

2219．D[解析]所给的原函数f(x)＝＋lnx的导函数为f′(x)＝－2＋，令其为0可xxx得x＝2，且验证导数为左负右正，故选D.10．A2s[解析]由小王从甲地往返到乙地的时速为a和b，则全程的平均时速为2ab＝，取值验证可知A成立．ss＋a＋bab11．4[解析]由题目所给的是一分段函数，而f(－4)＝16，f(16)＝4，故答案为4.[解析]本小题主要考查了归纳与推理的能力，解111111112．1＋2＋2＋2＋2＋2<234566题的关键是对给出的几个事例分析，找出规律，推出所要的结果．从几个不等式左边分11111析，可得出第五个式子的左边为：1＋2＋2＋2＋2＋2，对几个不等式右边分析，其23456分母依次为：2,3,4，所以第5个式子的分母应为6，而其分子依次为：3,5,7，所以第51111111个式子的分子应为11，所以第5个式子应为：1＋2＋2＋2＋2＋2<.23456613．2[解析]利用题目中所给的是两边和其对应夹角关系，可以使用余弦定理来计算，可知：b2＝a2＋c2－2accosB＝4，故b＝2.14．26[解析]本小题主要考查了抛物线的知识，解题的关键是建立坐标系求出抛物线的方程．以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为：x2＝－2py(p>0)，由题意知抛物线过点(2，－2)，代入方程得p＝1，则抛物线的方程为：x2＝－2y，当水面下降1米时，为y＝－3，代入抛物线方程得x＝6，所以此时水面宽为26米．15．A：－2≤a≤4[解析]本题考查了不等式解法的相关知识，解题的突破口是理解不等式的几何意义.|x－a|＋|x－1|≤3表示的几何意义是在数轴上一点x到1的距离与到a的距离之和小于或等于3个单位长度，此时我们可以以1为原点找离此点小于或等于3个单位长度的点即为a的取值范围，不难发现－2≤a≤4.B：5[解析]本题考查了射影定理的知识，解题的突破口是找出直角三角形内的射影定理．连接AD，在Rt△ABD中，DE⊥AB，所以DE2＝AE×EB＝5，在Rt△EBD中，EF⊥DB，所以DE2＝DF×DB＝5.11

C：3[解析]本题考查了极坐标的相关知识，解题的突破口为把极坐标化为直角坐标．由2ρcosθ＝1得2x＝1①，由ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2＝2x②，联立①②得y＝±3，所以弦长为3.21116．解：(1)由a3＝a1q2＝及q＝－，得a1＝1，42－1212121×1－所以数列{an}的前n项和Sn＝1－n－＝2＋－3n－1.(2)证明：对任意k∈＋，2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝2a1qk＋1－(a1qk－1＋a1qk)＝a1qk－1(2q2－q－1)，1由q＝－得2q2－q－1＝0，故2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝0.2所以，对任意k∈＋，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列．17．解：(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2，π∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期T＝π，22x－π6＋1.∴ω＝2，故函数f(x)的解析式为y＝2sinαπα－(2)∵f2＝2sin6＋1＝2，α－π16＝，2即sinππππ∵0<α<，∴－<α－<，2663πππ∴α－＝，故α＝.66318．解：(1)证明：如图，连结AB1，12

π∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∠CAB＝，2∴AC⊥平面ABB1A1，故AC⊥BA1.又∵AB＝AA1，∴四边形ABB1A1是正方形，∴BA1⊥AB1，又CA∩AB1＝A.∴BA1⊥平面CAB1，故CB1⊥BA1.(2)∵AB＝AA1＝2，BC＝5，∴AC＝A1C1＝1，由(1)知，A1C1⊥平面ABA1，112∴VC1－ABA1＝S△ABA1·A1C1＝×2×1＝.33319．解：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为1所以，甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.4(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是751515＝，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.14529295＋201＝，用频率估计概率，4100y2x220．解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为2＋＝1(a＞2)，a4a2－433其离心率为，故＝，则a＝4，22ay2x2故椭圆C2的方程为＋＝1.164(2)解法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，→→由OB＝2OA及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.13

4x22将y＝kx代入＋y＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x2，A＝241＋4k16y2x2将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以x2，B＝1644＋k2→＝2OA→得x2＝4x2，即16＝16，又由OBBA4＋k21＋4k2解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.解法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，→＝2OA→及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，由OB因此可设直线AB的方程为y＝kx.4x22将y＝kx代入＋y＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x2，A＝41＋4k21616k2→→22由OB＝2OA得xB＝，yB＝，221＋4k1＋4k将y2x222xB，yB代入＋＝11644＋k2中，得＝1，21＋4k即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.21．解：(1)当b＝1，c＝－1，n≥2时，f(x)＝xn＋x－1.111－∵f2f(1)＝2n2×1＜0.1，1∴f(x)在2内存在零点．1，1又当x∈2时，f′(x)＝nxn－1＋1＞0，1，1∴f(x)在2上是单调递增的，1，1∴f(x)在2内存在唯一零点．14

(2)解法一：由题意知－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，即0≤b－c≤2，－2≤b＋c≤0.由图像知，b＋3c在点(0，－2)取到最小值－6，在点(0,0)取到最大值0，∴b＋3c的最小值为－6，最大值为0.解法二：由题意知－1≤f(1)＝1＋b＋c≤1，即－2≤b＋c≤0，①－1≤f(－1)＝1－b＋c≤1，即－2≤－b＋c≤0，②①×2＋②得－6≤2(b＋c)＋(－b＋c)＝b＋3c≤0，当b＝0，c＝－2时，b＋3c＝－6；当b＝c＝0时，b＋3c＝0，所以b＋3c的最小值为－6，最大值为0.解法三：由题意知f(－1)＝1－b＋c，f(1)＝1＋b＋c，解得b＝f(1)－f(－1)f(1)＋f(－1)－2，c＝，22∴b＋3c＝2f(1)＋f(－1)－3.又∵－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，∴－6≤b＋3c≤0，所以b＋3c的最小值为－6，最大值为0.(3)当n＝2时，f(x)＝x2＋bx＋c.x2∈[－1,1]都有|f(x1)－f(x2)|≤4等价于f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值对任意x1，之差M≤4.据此分类讨论如下：b①当2＞1，即|b|＞2时，M＝|f(1)－f(－1)|＝2|b|＞4，与题设矛盾．||15

b②当－1≤－＜0，即0＜b≤2时，2－M＝f(1)－fbb＋12≤4恒成立．2＝2b③当0≤－≤1，即－2≤b≤0时，2－M＝f(－1)－fbb－12＝≤4恒成立．22综上可知，－2≤b≤2.注：②，③也可合并证明如下：用max{a，b}表示a，b中的较大者．b当－1≤－≤1，即－2≤b≤2时，2－M＝max{f(1)，f(－1)}－fb2b－f(－1)＋f(1)|f(－1)－f(1)|＝＋－f222b2－＋c＝1＋c＋|b|－41＋|b|22≤4恒成立．＝16


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