2024年2月14日发(作者：俄国数学试卷难度系数表)

2013年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

注意事项:

1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。

2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。

3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(共50分)

1.

第一部分(共50分)

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1. 设全集为R, 函数f(x)1x的定义域为M, 则CRM为

(A) (－∞,1) (B) (1, + ∞)

M(C)

(,1] (D)

[1,)

【答案】B

【解析】1-x0,x1.即M(,1],CR(1,),所以选B

2. 已知向量

a(1,m),b(m,2), 若a//b, 则实数m等于

(A)

2

(C)

2或2

(B)

(D) 0

2

2. 【答案】C

【解析】a(1,m),b(m,2),且a//b,12mmm2.,所以选C

3. 设a, b, c均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是

(A)

logab·logcblogca

(C)

loga(bc)logab?logac

(B)

logab·logaalogab

(D)

loga(bc)logablogac

3. 【答案】B

【解析】a, b,c≠1. 考察对数2个公式:

logaxylogaxlogay,logablogcb

logca对选项A:

logablogcblogcalogablogca,显然与第二个公式不符，所以为假。

logcblogcb,显然与第二个公式一致，所以为真。

logca对选项B:

logablogcalogcblogab（bc）logablogac,显然与第一个公式不符，所以为假。 对选项C:

loga（bc)logablogac,同样与第一个公式不符，所以为假。 对选项D:

loga

所以选B

4. 根据下列算法语句, 当输入x为60时, 输出y的值为

(A) 25

(B) 30

(C) 31

(D) 61

4. 【答案】C

【解析】x60,y250.6(x50)31,所以选C

输入x

If x≤50 Then

yx

Else

yx-50)

End If

输出y

5. 对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测, 下图喂检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为

(A)

5. 【答案】D

【解析】组距为5，二等品的概率为1(0.020.060.03)50.45

6. 设z是复数, 则下列命题中的假命题是

(A) 若z20, 则z是实数

(C) 若z是虚数, 则z20

(B) 若z20, 则z是虚数

(D) 若z是纯虚数, 则z20

6. 【答案】C

【解析】设zabi,a,bRzab2abi。经观察，C和D选项可能是互相排斥的，应重点注意。

对选项A:

若z0,则b0z为实数,所以z为实数为真。

对选项B:

若z0,则a0,且b0z为纯虚数,所以z为纯虚数为真.

2对选项C:

若z为纯虚数,则a0,且b0z0,所以z0为假

2对选项D:

若z为纯虚数,则a0,且b0z0,所以z0为真.

2222222所以选C

7. 若点(x,y)位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为

(A) －6 (B) －2 (C) 0 (D) 2

7. 【答案】A

【解析】y|x|与y2的图像围成一个三角形区域，3个顶点的坐标分别是 (0,0),(-2,2),(2,2). 且当取点(-2,2)时，2x – y = - 6取最小值。所以选A

8. 已知点M(a,b)在圆O:x2y21外, 则直线ax + by = 1与圆O的位置关系是

(A) 相切

8. 【答案】B

2(B) 相交

222(C) 相离 (D) 不确定

【解析】点M(a, b)在圆xy1外ab1.

.圆O(0，0)到直线axby1距离d1ab221=圆的半径，故直线与圆相交。

所以选B.

9. 设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若bcosCccosBasinA, 则△ABC的形状为

(A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定

9. 【答案】A

【解析】因为bcosCccosBasinA，所以sinBcosCsinCcosBsinAsinA

又sinBcosCsinCcosBsin(BC)sinA。联立两式得sinAsinAsinA。

所以sinA1,A2。选A

10. 设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有

(A) [－x] = －[x]

(C) [2x] = 2[x]

(B) [x +

1] = [x]

21(D)

[x][x][2x]

210. 【答案】D

【解析】代值法。

则[-x] = 1, -[x] = 2, 所以A选项为假。

对B 则[x+1] = 2, [x] = 1, 所以B选项为假。

2对CC选项为假。

故D选项为真。所以选D

二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

x2y211. 双曲线1的离心率为 .

16911. 【答案】5

4b29c225552e2e,所以离心率为。【解析】2

161644aa12. 某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 .

12. 【答案】3

【解析】 综合三视图可知，立体图是一个半径r=1的半个球体。其表面积 =

13. 观察下列等式:

…

照此规律, 第n个等式可为 .

14r2r23

2x40m40m

13. 【答案】

(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)

(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)

【解析】考察规律的观察、概况能力，注意项数，开始值和结束值。

第n个等式可为:

14. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为

(m).

14. 【答案】20

【解析】 利用均值不等式解决应用问题。设矩形高为y, 由三角形相似得:

x40y,且x0,y0,x40,y40

404040xy2xy,仅当xy20时，矩形的面积sxy取最大值400.

15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)

A. (不等式选做题) 设a, b∈R, |a－b|>2, 则关于实数x的不等式|xa||xb|2的解集是 .

B. (几何证明选做题) 如图, AB与CD相交于点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知AC, PD = 2DA = 2, 则PE = .

xt2C. (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线 (t为参数)的焦点坐标y2tCBDPEA是 .

15. A 【答案】R

【解析】 考察绝对值不等式的基本知识。函数f(x)|xa||xb|的值域为：

[|ab|,).因此，当xR时，f(x)|ab|2.

所以，不等式|xa||xb|2的解集为R。

B 【答案】6.

【解析】

BC//PEBCDPED.且在圆中BCDBADPEDBAD.

C 【答案】 (1, 0)

【解析】

三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）

16. (本小题满分12分)

1已知向量a(cosx,),b(3sinx,cos2x),xR, 设函数f(x)a·b.

2 (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.

 (Ⅱ) 求f (x) 在0,上的最大值和最小值.

216. 【答案】(Ⅰ)

. (Ⅱ)

1,【解析】(Ⅰ)

f(x)a·b=cosx3sinx1.

2131cos2xsin2xcos2xsin(2x)。

2226

最小正周期T2。

2所以f(x)sin(2x6),最小正周期为。

(Ⅱ)

当x[0,55]时，(2x)[-,]，由标准函数ysinx在[-,]上的图像知，.

2666661f(x)sin(2x)[f(-),f()][,1].

66221所以，f (x) 在0,上的最大值和最小值分别为1,.

2217. (本小题满分12分)

设Sn表示数列{an}的前n项和.

(Ⅰ) 若{an}为等差数列, 推导Sn的计算公式;

1qn(Ⅱ) 若a11,q0, 且对所有正整数n, 有Sn. 判断{an}是否为等比数列.

1q17. 【答案】(Ⅰ)

Snn(a1an)n1n(a1d);

22

(Ⅱ)

数列{an}是首项a11,公比q1的等比数列。

【解析】(Ⅰ) 设公差为d,则ana1(n1)d

Sna1a2an1an2Sn(a1an)(a2an1)(an1a1)(ana1)Snanan1a2a12Snn(a1an)Snn(a1an)n1n(a1d).

22，q0,由题知q1。 (Ⅱ)

a111ann1qn1n2anqn1，nN*.

所以,数列{an}是首项a11,公比q1的等比数列。

18. (本小题满分12分)

如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD,

ABAA12.

(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1;

(Ⅱ) 求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.

18. 【答案】 (Ⅰ)

面A1BD//面CD1B1,见下.

(Ⅱ) 1

【解析】 (Ⅰ) 设B1D1线段的中点为O1.

BD和B1D1是ABCDA1B1C1D1的对应棱BD//B1D1.同理，AO和A1O1是棱柱ABCDA1B1C1D1的对应线段

A1O//O1C.且A1OBDO,O1CB1D1O1面A1BD//面CD1B1.(证毕)

(Ⅱ)

A1O面ABCDA1O是三棱柱A1B1D1ABD的高.

在正方形AB CD中,AO = 1 .

在RTA1OA中，A1O1.

三棱柱A1B1D1ABD的体积VA1B1D1ABDSABDA1O所以，三棱柱A1B1D1ABD的体积VA1B1D1ABD1.

1(2)211.

219. (本小题满分12分)

有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组, 各组的人数如下:

组别

A

人数

50

B

100

C

150

D

150

E

50

(Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表.

A B C D E

组别

人数

50

100

6

150

150

50

抽取人数

(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A, B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率.

19. 【答案】 (Ⅰ).

A B C D E

组别

人数

抽取人数

(Ⅱ)

50

3

100

6

150

9

150

9

50

3

2

9【解析】 (Ⅰ) 按相同的比例从不同的组中抽取人数。

从B组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从100人中抽取6人，从100人中抽取9人。

(Ⅱ) A组抽取的3人中有2人支持1号歌手，则从3人中任选1人，支持支持1号歌手的概率为B组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持支持1号歌手的概率为2·

32·

6

现从抽样评委A组3人,B组6人中各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率P所以，从A,B两组抽样评委中，各自任选一人，则这2人都支持1号歌手的概率为222.

3692.

920. (本小题满分13分)

已知动点M(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.

(Ⅰ) 求动点M的轨迹C的方程;

(Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率.

20. 【答案】 (Ⅰ).

x2y21.

43 (Ⅱ)

3

2【解析】 (Ⅰ) 点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍，则

x2y2|x4|2(x1)y1.

4322x2y21 所以，动点M的轨迹为 椭圆，方程为432x10x2，2y13y2 (Ⅱ) P(0, 3), 设A(x1,y1),B(x2,y2),由题知：椭圆的上下顶点坐标分别是(0,3)和(0,-3),经检验直线m不经过这2点，即直线m斜率k存在。设直线m方程为:ykx3.联立椭圆和直线方程，整理得：

所以，直线m的斜率k21. (本小题满分14分)

已知函数f(x)ex,xR.

(Ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;

(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线y3

212xx1有唯一公共点.

2f(b)f(a)ab (Ⅲ) 设a

ba221. 【答案】(Ⅰ) y = x+ 1.

e2e2e2（，）当m

(0,)时,有0个公共点；当m= ,有1个公共点；当m

有2个公共点；

444(Ⅲ)

f(a)f(b)f(b)f(a) >

2ba(Ⅱ)【解析】(Ⅰ) f (x)的反函数g(x)lnx,则y=g(x)过点（1,0）的切线斜率k=g\'(1).

1kg\'(1)1.过点（1,0）的切线方程为：y = x+ 1

x12(Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线yxx1有唯一公共点，过程如下。

2g\'(x)

因此，当x0时h\'\'(x)0yh\'(x)单调递减;当x0时h\'\'(x)0yh\'(x)单调递增yh\'(x)h\'(0)0,所以yh(x)在R上单调递增，最多有一个零点x0

所以，曲线y=f(x)与曲线y(Ⅲ) 设12xx1只有唯一公共点(0,1).(证毕）

2f(a)f(b)f(b)f(a)(ba2)f(a)(ba2)f(b)

2ba2(ba)xxx令g(x)x2(x2)e,x0,则g\'(x)1(1x2)e1(x1)e。

g\'(x)的导函数g\'\'(x)(1x1)exxex0,所以g\'(x)在（0，）上单调递增，且g\'(0)0.因此g\'(x)0，g(x)在(0,)上单调递增,而g(0)0,

所以在(0,)上g(x)0。

所以当a

2ba


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