2024年4月5日发(作者：银川考试初三数学试卷及答案)
置换与置换群
【学习目标】
1．掌握置换与置换群。
2．学会运用置换与置换群解决具体问题。
【学习重难点】
重点：掌握置换与置换群。
难点：置换与置换群的实际应用。
【学习过程】
一、新课学习
知识点一：置换。
对于一个有
n
个元素的集合
S
，例如，
系，叫作集合
S
上的一个
n
元置换。
S
1,2,...,
n
，把集合
S
到自身的一个一一对应关
n
元置换可以表示正
n
边形的对称性。
根据前面的知识做一做：
练习：
1．有一集合
M
，
知识点二：置换的乘法。
与平面变换的乘法一样，置换也有乘法运算。
M
x
Rx
2
10
，则集合
M
有一个_____元置换。
2．用顶点置换来表示正三角形的所有对称性变换。
1234
1234
设
a
置换
a
与
b
的乘积
ab
就是对集合
1,2,3,4
接
,
b
是两个4元置换，
2341
1432
连施行两个置换
b
和
a
，得到的一个新的4元置换，也就是说：
1
2
ab
:
3
4
12
41
34
23
用公式表达为：
(ab)(1)
(ab)(2)
(ab)(3)
(ab)(4)
a(b(1))a(1)2
a(b(2))a(4)1
a(b(3))a(3)4
a(b(4))a(2)3
1234
1234
1234
因此：
ab
2341
1432
2143
根据前面的知识做一做：
练习：
1234
1234
1．
a
,
b
，则
ab
是多少？
2431
4312
1234
1234
2．
a
,
b
，则
ab
是多少？
4231
2341
知识点三：置换群。
一般地，如果一个由
n
元置换组成的非空集合
P
对于置换的乘法满足封闭律，结合律，有恒等
元，有逆元，就称这个置换的集合
P
构成一个
n
元置换群。
置换群
P
中置换的个数为置换群
P
的阶。
全体
n
元置换的集合构成了一个
n
元置换群，称为
n
元对称群，记作
S
n
，其阶为
n
！
，它是最
大的
n
元置换群。
根据前面的知识做一做：
练习：
1．3元对称群为？
2．3元对称群有_____个元素。
二、课程总结
1．这节课我们主要学习了哪些知识？
2．它们在解题中具体怎么应用？
三、习题检测
1．写出所有的4元置换。
1234
1234
2．
a
,
b
，则
ab
是多少？
4312
2143
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