高中数学微积分复习 题集附答案

2024年3月14日发(作者：高二数学试卷第二单元题目)

高中数学微积分复习 题集附答案

高中数学微积分复习题集附答案

一、函数基本概念复习

1. 试求函数f(x)=3x^2-4x的定义域。

解：要求函数f(x)有意义，即无零除的问题。所以需要满足：

3x^2-4x ≠ 0

即3x(x-4) ≠ 0

解得：x ≠ 0, x ≠ 4

所以定义域为：(-∞, 0)∪(0, 4)∪(4, +∞)

2. 已知函数f(x)=x^3+2x^2-5x，求其奇偶性。

解：函数f(x)是奇函数，即满足：

f(-x) = -f(x)

我们来验证：

f(-x) = (-x)^3+2(-x)^2-5(-x) = -x^3+2x^2+5x

-f(x) = -(x^3+2x^2-5x) = -x^3-2x^2+5x

两者相等，所以函数f(x)是奇函数。

二、函数的导数与微分复习

1. 求函数f(x)=3x^2-4x的导数。

解：函数f(x)=3x^2-4x

对x求导，即可得到导函数。

f\'(x) = 6x-4

2. 已知函数f(x)=x^3+2x^2-5x，求其在点x=2处的切线方程。

解：首先求得函数f(x)在x=2处的导数：

f\'(x) = 3x^2+4x-5

将x=2带入，得到切线斜率k：

k = f\'(2) = 3(2)^2+4(2)-5 = 17

所以切线方程为：y = 17(x-2) + f(2)

三、极限与连续性复习

1. 求极限lim(x→∞)(4x^3-2x^2+3x-1)/(3x^3+5x^2-2)。

解：我们可以采用洛必达法则来求解：

lim(x→∞)(4x^3-2x^2+3x-1)/(3x^3+5x^2-2) = lim(x→∞)(12x^2-

4x+3)/(9x^2+10x)

继续采用洛必达法则：

= lim(x→∞)(24x-4)/(18x+10)

再次应用洛必达法则：

= 24/18 = 4/3

所以极限为4/3。

2. 函数f(x) = |x-2|在x=2处是否连续？

解：函数f(x)在x=2处不连续。因为当x<2时，f(x) = -(x-2); 当x>2

时，f(x) = x-2。而当x=2时，两个极限不相等。所以函数f(x)在x=2处

不连续。

四、微分中值定理复习

1. 证明函数f(x)=2x^3-x在[-1,1]上满足微分中值定理。

解：首先验证函数f(x)在[-1,1]上连续，由于函数多项式，所以在全

体实数上都是连续的。

然后验证函数f(x)在(-1,1)内可导，由于函数f(x)是多项式，所以在

全体实数内都是可导的。

因此，函数f(x)=2x^3-x在[-1,1]上满足微分中值定理。

2. 证明函数f(x) = sinx在[0,π/2]上满足微分中值定理。

解：首先验证函数f(x)在[0,π/2]上连续，显然函数f(x)是三角函数，

在该区间上连续。

然后验证函数f(x)在(0,π/2)内可导，由于函数f(x)是三角函数，在该

区间内都是可导的。

因此，函数f(x) = sinx在[0,π/2]上满足微分中值定理。

五、不定积分复习

1. 求不定积分∫(3x^2-2x+1)dx。

解：根据不定积分的基本公式，我们可以逐项积分：

∫(3x^2-2x+1)dx = x^3-x^2+x+C

其中，C为常数。

2. 求不定积分∫(2e^x+5cosx)dx。

解：同样根据不定积分的基本公式，我们可以逐项积分：

∫(2e^x+5cosx)dx = 2∫e^xdx + 5∫cosxdx

= 2e^x + 5sinx + C

其中，C为常数。

这是一部分高中数学微积分复习题集，希望对你的复习有所帮助。