高中微积分初级篇(一)

2024年3月14日发(作者：2021郑州中招数学试卷)

高中微积分初级篇(一)

引言

微积分是数学的一个重要分支，它研究函数的变化和曲线的性

质。在高中阶段，学生将初步了解微积分的基本概念和方法，为进

一步深入研究打下坚实的基础。

一. 导数

1.1 定义

导数是函数变化率的量化表示，表示函数在某一点的瞬时变化

速率。数学上，函数f(x)在点x0处的导数记作f\'(x0)或

df/dx|_(x=x0)。

1.2 导数的计算

导数的计算可以通过求函数的极限来实现。对于一般函数f(x)，

其导数可以通过极限公式 f\'(x) = lim_(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h来计算。

1.3 导数的性质

导数具有一些重要的性质，包括线性性、乘法法则和链式法则

等。这些性质可以用于简化导数的计算过程。

二. 函数的图像和导数

2.1 函数的图像

函数的图像可以直观地反映函数的性质，包括函数的增减、极

值和曲线形状等。通过观察函数的图像，可以初步判断函数的导数

的符号和趋势。

2.2 导数与函数图像的关系

函数图像的斜率与导数之间存在重要的联系。导数可以用来刻

画函数图像的斜率变化，从而揭示函数的性质。例如，导数为正表

示函数单调增加，导数为零表示函数可能存在极值点。

三. 导数的应用

3.1 切线和法线

导数可以用来求解曲线上某点的切线和法线。切线和法线是曲

线在该点处的局部性质，具有重要的几何意义。

3.2 函数的极值

函数的极值点对应着导数为零的点。通过求解导数为零的方程，

可以找到函数的极值点。极大值点和极小值点分别对应着函数的局

部最大值和最小值。

3.3 函数的凸凹性和拐点

函数的凸凹性与导数的变化有关。函数凸向上时，导数递增；

函数凹向上时，导数递减。通过求解导数的导数，可以确定函数的

拐点。

结论

本文介绍了高中微积分初级篇的内容，包括导数的定义和计算、

函数图像与导数的关系，以及导数的应用。这些知识将为学生进一

步研究微积分打下基础，提供了理论和实践的指导。

参考文献

- Stewart, J. (2008). 单变量微积分（上册）. 高等教育出版社.

- 高, 数学学科教学指导组. (2016). 高中数学选修七（一）. 人民

教育出版社.