2024年1月8日发(作者：人教版高二数学试卷带答案)

上海中学2021学年第二学期期中阶段练习数学试题高一__________班一、填空题（每题3分）1.设角的终边经过点P4,3，那么2cossin______．2.已知sinx学号__________姓名__________成绩__________1，则实数x______．2fx2sinxsinx3.函数的值域是______．34.若tan3，tan2，则tan______．5.函数fxsinxcosx的最小正周期是____．26.函数fxcosxsinx在区间2,上的最小值是______.447.在三角形ABC中，a22，b23，A45，则C______．8.在锐角ABC中,AC4,BC3,三角形的面积等于33,则AB的长为___________.9.函数fxcos2x2cosx，x0,2的单调增区间为______．x2siny310.实数x,y满足，0y，则xy______．22xcosy2311.已知xyz，且xyz，则乘积cosxsinycosz的最大值为______．84kx6kxcos6，其中k是一个正整数，若对任意实数a，均有12.设函数fxsin55fxaxa1fxxR，则k的最小值为______．二、选择题（每题4分）13.若sinx＜0，且sin（cosx）＞0，则角x是A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角）．D.第四象限角14.设函数fxsin2xA.fx是偶函数C.fx在区间，则下列说法正确的是（3B.fx的最小正周期是D.fx的图象关于点7,上是增函数312,0对称6

15.O为锐角△ABC的外心，O到三边a，b，c的距离分别为k，m，n，则（A.k:m:na:b:cC.k:m:ntanA:tanB:tanCB.k:m:n）．111::abcD.k:m:ncosA:cosB:cosC16.已知函数fxsinxacosx，周期T2，f3，且在x处取得最大值，则使得不等式63a0恒成立的实数的最小值为（A）．C.3.11B.313611D.613三、解答题17.已知ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且csinAacosC．6（1）求C的大小；（2）若ab1，c7，求三角形的周长．19.若关于x的方程sinx3cosxa0在0,2内有两个不同的实数根,，求实数a的取值范围及相应的的值.20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a3,c2,B45．（1）求sinC的值；4（2）在边BC上取一点D，使得cosADC，求tanDAC的值．5一块直角梯形区域ABCD，ABAD1，BC2，在D处有一个可以转动的探照灯，其照射角EDF21.如图，始终为45°，设ADE，α0,，探照灯照射在该梯形ABCD内部区域的面积为S．2π

（1）求S关于的函数关系式；（2）求S的取值范围．23.若函数yfx在定义域中存在x1，x2x1x2，使得fx1fx22成立，则称该函数具有性质p．（1）判断以下两个函数是否具有性质p：①fxxx1，x0,1；21212gxsinxcosxcosxsinx②，x0,2．2222x2x3x1xsinsin（2）若函数fx3sin（其中0，cos，3223226232x,2）具有性质p，求的取值范围．

上海中学2021学年第二学期期中阶段练习数学试题高一__________班一、填空题（每题3分）1.设角的终边经过点P4,3，那么2cossin______．【1题答案】【答案】【解析】【分析】根据题意，先求出cos和sin，然后，代入求解即可得答案【详解】角的终边经过点P4,3，所以，cos所以，2cossin故答案为：学号__________姓名__________成绩__________11##2.25442(3)24，sin53，542(3)2311583115552.已知sinx【2题答案】【答案】【解析】1，则实数x______．252k或2k，kZ66152k，为特值三角函数，由x2k或kZ即可得解.266【分析】根据sinx【详解】由sinx1，252k，可得x2k或kZ，6652k，故答案为：2k或kZ66fx2sinxsinx3.函数的值域是______．3【3题答案】【答案】【解析】【分析】利用辅助角公式，化简f(x)sin(2x31,221)，然后利用正弦函数的有界性，即可得到f(x)的值域62

【详解】fx2sinxsinx2sinx(3cosx1sinx)3sinxcosxsin2x322131cos2x311sin2xsin2xcos2xsin(2x)，62222223131f(x)，所以所求值域为：,2222故答案为：31,224.若tan3，tan2，则tan______．【4题答案】【答案】【解析】【分析】根据正切的两角差的公式，准确运算，即可求解.【详解】因为tan3，tan2，则tantan[()]17tantan()321.1tantan()1327故答案为：1725.函数fxsinxcosx的最小正周期是____．【5题答案】【答案】【解析】【详解】由题意可得2f(x)1sin2x，所以函数f(x)的周期为．填．,上的最小值是______.446.函数fxcosxsinx在区间【6题答案】【答案】【解析】12.2【分析】化余弦为正弦，然后令sinxt换元，利用x的范围求得t的范围，配方后求得函数最小值.【详解】fxcosxsinxsinxsinx1.22

22,令sinxt，∵x,∴tsinx，442222215t,则ytt1t，，22242当t2时，ymin212.221512.22422故答案为：【点睛】本题考查三角函数最值的求法，考查了利用换元法求二次函数的最值，是基础题.7.在三角形ABC中，a22，b23，A45，则C______．【7题答案】【答案】75°或15°【解析】【分析】由正弦定理求得B角后可得C角大小．【详解】由正弦定理ab22233，即，所以sinB，sinAsinBsin45sinB2又ab，所以AB，B是三角形内角，所以B60或120，B60时，C75°，B120时，C15．故答案为：75°或15°．8.在锐角ABC中,AC4,BC3,三角形的面积等于33,则AB的长为___________.【8题答案】【答案】13【解析】【详解】SABC21131ACBCsinC3343sinCsinCcosC,2222ABAC2BC22ACBCcosC13AB13考点：三角形的面积公式与余弦定理．9.函数fxcos2x2cosx，x0,2的单调增区间为______．【9题答案】

【答案】[【解析】5,],[,2]332【分析】将函数fxcos2x2cosx化为fx2cosx2cosx1，利用换元法结合复合函数的单调性的判断，求得答案.【详解】由题意可得fxcos2x2cosx2cosx2cosx1,2令tcosx,x[0,2]，则g(t)2t22t1，当t当t1时，g(t)2t22t1单调递增,21时,g(t)2t22t1单调递减，2而对于tcosx,x[0,2]，15]时tcosx递增，时,x[,]时tcosx递减，x[,33215,2]时tcosx递增，当t时,x[0,]时tcosx递减，x[3235,2]，函数fxcos2x2cosx，x0,2的单调增区间为[,],[335,2]故答案为:[,],[33当tx2siny310.实数x,y满足，0y，则xy______．22xcosy2【10题答案】【答案】【解析】203x1【分析】由0y，得，进而得x2，代入即可求解.2022x122xsiny3siny3x【详解】由方程组，可得，2xcosy2cosy22x22因为0y，所以siny[0,1],cosy[0,1]，222x2303x1所以，解得2，所以x2，x2022x12当x2时，可得cosy0，且0y，所以y，22

所以xy22.22故答案为：2.211.已知xyz3，且xyz，则乘积cosxsinycosz的最大值为______．84【11题答案】【答案】1428【解析】【分析】首先求得范围0xy4，8z4，根据cosxsinycoszcosz(sin(xy)sin(xy)2)12coszsin(34z)sin(xy)1coszsin(3z)2(cos2244zcoszsinz)，利用三角函数求最值即可得解.【详解】xyz8，可得0xy4，所以sin(xy)0，且8z2，所以cosxsinycoszcosz(sin(xy)sin(xy)2)12cosz3sin(4z)sin(xy)12coszsin(324z)4(cos2zcoszsinz)21cos2zsin2z124(22)4sin(2z4)81248，此时z8，所以当且仅当xy516，z8时等号成立.故答案为：142812.设函数fxsin6kx5cos6kx5，其中k是一个正整数，若对任意实数a，均有fxaxa1fxxR，则k的最小值为______．题意可变形

【12题答案】【答案】8【解析】【分析】首先化简函数，kxkxkxkxkxkx34kx5cos2)(sin4sin2cos2cos4)cos，5555558585根据题意最小正周期T1，可得k，即可得解.2kxkxkxkxkxkxkx6kxcos6(sin2cos2)(sin4sin2cos2cos4)【详解】fxsin55555555kxkxkxkx(sin2cos2)23sin2cos2555532kx34kx51sin2cos，45858fx(sin2若对任意实数a，均有fxaxa1fxxR，215则最小正周期T1，即4k，即k，25由kZ，所以k8，所以则k的最小值为8.故答案为：8二、选择题（每题4分）13.若sinx＜0，且sin（cosx）＞0，则角x是A.第一象限角【13题答案】【答案】D【解析】【分析】根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可．【详解】∵﹣1≤cosx≤1，且sin（cosx）＞0，∴0＜cosx≤1，又sinx＜0，∴角x为第四象限角，故选D．【点睛】本题主要考查三角函数中角的象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键．14.设函数fxsin2xA.fx是偶函数B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角，则下列说法正确的是（3）．B.fx的最小正周期是

C.fx在区间【14题答案】【答案】C【解析】7,上是增函数312D.fx的图象关于点,0对称6【分析】运用函数奇偶性的定义，结合诱导公式即可判断A；由周期函数的定义，结合诱导公式即可判断B；根据复合函数单调性以及函数单调性规律即可判断C；根据函数fxsin2x的图象即可判断D.3【详解】对于A：fxsin2x的定义域为R，3fxsin2xsin2xsin2xfx333A错误；对于B：fxsin2xsin2x2233sin2xfx3fx的最小正周期是对于C：x，B错误；237,，2x,323127gxsin2x在,上为负，且是减函数33127fx在区间,上是增函数，C正确；312对于D：fxsin2x的图象恒在x轴上方，3,0对称，D错误.6所以fx的图象不关于点故选：C.15.O为锐角△ABC的外心，O到三边a，b，c的距离分别为k，m，n，则（A.k:m:na:b:cC.k:m:ntanA:tanB:tanCB.k:m:n）．111::abcD.k:m:ncosA:cosB:cosC

【15题答案】【答案】D【解析】【分析】利用O为锐角△ABC的外心，根据正弦定理可得：abc2rsinA2rsinB2rsinC22k:m:nr:r2:r2r2:r:r，2222222222222化简即可得解.【详解】设r为外接圆半径，根据垂径定理可得kabcr2()2，mr2()2，nr2()2，222所以由正弦定理且ABC为锐角三角形可得：abc2rsinA2rsinB2rsinC22k:m:nr:r2:r2r2:r:r2222222222222rcosA:rcosB:rcosCcosA:cosB:cosC，故选：D16.已知函数fxsinxacosx，周期T2，f3x，且在处取得最大值，则使得不等式36a0恒成立的实数的最小值为（A.）．C.311B.313611D.613【16题答案】【答案】A【解析】【分析】根据三角恒等变换和三角函数的性质、同角三角函数的关系式，得到tan1tan6a，再根据3f()3，求得cos，两式相乘求得a的值，结合三角函数的性质求得112k,kZ，得出263a1min11，把不等式转化为(a)max，即可求解.a21sin(x)，其中tana，【详解】因为fxsinxacosx又因为x处取得最大值，所以2k,kZ，662

2k,kZ，261tantan2ktana所以①，6226tan622由f()a1sin()a1sin(2k)33326解得a21cos33,kZ，所以cos2，66a1331322sincos1，两式相乘，可得sin，所以222266a1a(a1)6aa1即a42a230，解得a3或a3，若a3，则fxsinx3cosx2sin(x由f()2sin()，3)2，可得2k,kZ，所以512k,kZ，6363254)2sin(4k)2sin3，又由f()2sin(333333这与f()3矛盾，舍去，3由①得tan因为cos又由T63tan(k),kZ，6630，所以在第一象限，6622，即1，所以2k,kZ，66所以112k,kZ，使最小，则k1，即min11，若不等式a0恒成立，则(故选：A.a)max3.11三、解答题17.已知ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且csinAacosC．6（1）求C的大小；（2）若ab1，c【17题答案】【答案】（1）7，求三角形的周长．3

（2）57【解析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可求得tanC，由此可得C；【分析】（2）利用余弦定理可构造方程求得ab，根据ab1，由abab4ab可求得ab，由此可得三角形周长.【小问1详解】由正弦定理得：sinCsinAsinAcosCcos2213sinCsinsinAcosCsinAsinC，即2662sinAsinC3sinAcosC，A0,，sinA0，sinC3cosC，即tanC3，C0,，C【小问2详解】由余弦定理得：c2a2b22abcosCabab1ab7，解得：ab6；又ab1，abab4ab12425，解得：ab5，222.3三角形的周长为abc57.19.若关于x的方程sinx3cosxa0在0,2内有两个不同的实数根,，求实数a的取值范围及相应的的值.【19题答案】【答案】a(2,3)(3,2)，当a(3,2)时，【解析】【分析】先根据辅助角公式化简方程，再根据正弦函数性质确定a的取值范围，最后结合图象确定相应的的值.【详解】sinx3cosxa0a2sin(x因为x0,2，所以x如下图所示：7，当a(2,3)时，33)37,333

，所以要使关于x的方程sinx3cosxa0在0,2内有两个不同的实数根,，需a(2,3)(3,2)a(2,3)(3,2)，372，3323当a(2,3)时，23323当a(3,2)时，【点睛】本题考查辅助角公式、正弦函数性质以及根据方程根的个数求参数，考查综合分析求解能力，属中档题.20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a3,c2,B45．（1）求sinC的值；4（2）在边BC上取一点D，使得cosADC，求tanDAC的值．5【20题答案】【答案】（1）sinC【解析】【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinC.（2）方法一：根据cosADC的值，求得sinADC的值，由（1）求得cosC的值，从而求得sinDAC,cosDAC的值，进而求得tanDAC的值.（1）[方法一]：正余弦定理综合法【详解】由余弦定理得b2a2c22accosB9223225；（2）tanDAC.11525，所以b5.2

由正弦定理得cbcsinB5.sinCsinCsinBb5[方法二]【最优解】：几何法过点A作AEBC，垂足为E．在Rt△ABE中，由c=，可得AEBE1，又a3，所以EC2．2,B=45°在RtACE中，ACAEEC225，因此sinC15．55（2）[方法一]：两角和的正弦公式法342由于cosADC，ADC,，所以sinADC1cosADC.552由于ADC,，所以C0,，所以cosC1sin2C25.225所以sinDACsinDACsinADCC3254525.sinADCcosCcosADCsinC555525由于DAC0,所以tanDAC1152.，所以cosDAC1sinDAC225sinDAC2.cosDAC11[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法44在（1）的方法二的图中，由cosADC，可得cosADEcos(ADC)cosADC，从而554sinDAE4sinDAEcosADE,tanDAE．5cosDAE3又由（1）可得tanEACECtanEACtanEAD22，．所以tanDACtan(EACEAD)AE1tanEACtanEAD11[方法三]：几何法+正弦定理法在（1）的方法二中可得AE1,CE2,AC在Rt△ADE中，AD5．AE45,EDADcosADE，sinADE3

所以CDCEDE2．3CD25，sinCAD25在△ACD中，由正弦定理可得sinDAC由此可得tanDAC2．11[方法四]：构造直角三角形法如图，作AEBC，垂足为E，作DGAC，垂足为点G．在（1）的方法二中可得AE1,CE2,AC5．4342由cosADC，可得cosADE,sinADE1cosADE．555在Rt△ADE中，ADAE542,DEAD2AE2,CDCEDE．sinADE333由（1）知sinC25455，所以在Rt△CDG中，DGCDsinC，从而,CGCD2DG251515115．15AGACCG在RtADG中，tanDAGDG2．AG11所以DAC2．115，然后使用正弦定理求得sinC；方法二：抓住45°角的特【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得b点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得DAC的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得DAC的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有DAC的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法.一块直角梯形区域ABCD，ABAD1，BC2，在D处有一个可以转动的探照灯，其照射角EDF21.如图，始终为45°，设ADE，α0,，探照灯照射在该梯形ABCD内部区域的面积为S．2π

（1）求S关于的函数关系式；（2）求S的取值范围．【21题答案】212(1tan),0,21tan4tan211，;【答案】（1）S22tantan421,.22（2）21,22.【解析】【分析】（1）对分三种情况讨论，分别求出函数的解析式即得解；（2）对分三种情况讨论，分别求出函数的取值范围即得解.【小问1详解】解：当0时，如图，过点D作DGBC，垂足为G,4,AEtan,BE1tan,4FDG,FGtan()，所以BF1tan()，44411所以S1(1tan)1(1tan())，22411111tan所以S1tantan()1tan，224221tan因为ABAD1，BC2，所以C

所以S2当3时，如图所示，DEG,DFG,42412(1tan)，21tan所以EG11,FG3，tantan()41111tan21S()所以32tantan()2tan2tan.4当=1时，S.22212(1tan),0,21tan4tan211S，;所以222tantan41,.22【小问2详解】12)，时，S2(1tan421tan12令1+tan=t,t[1,2]，所以S2(t)，2t解：当0由对勾函数的性质得g(t)t所以Smax22，Smin11.此时S的取值范围为[,22].222在t2取到最小值22，在t1或2取到最大值3，t1111tan21S()当时，2tantan(3)2tan2tan，424设mtan,m(1,)，所以(2S1)m22Sm10有大于1的实根，当S1时，m1不符合题意；2

1S212当S时，Δ=S2S10,不等式组无实数解；22S12S101S2112当S时，Δ=S2S10，所以21S.222S12S10S112S所以此时S的取值范围为21,当=1.21时，S.22综合得S的取值范围为21,22.23.若函数yfx在定义域中存在x1，x2x1x2，使得fx1fx22成立，则称该函数具有性质p．（1）判断以下两个函数是否具有性质p：①fxxx1，x0,1；21212②gxsinxcosx22cosxsinx2，x0,2．2x2x3x1xsinsin（2）若函数fx3sin（其中0，cos，3223226232x,2）具有性质p，求的取值范围．【23题答案】【答案】（1）①具有性质p；②不具有性质p（2）[,][【解析】【分析】（1）找到x1,x2,x1x2，使得fx1fx22，可说明①具有性质p；利用换元法，结合二次函数的性质，作出大致图象，可说明②不具有性质p;（2）化简得到f(x)sinx，结合正弦函数的性质，分类讨论，求得答案.【小问1详解】954213,)4

①fxxx1，x0,1,2当x0时，f01，当x1时，f11，故满足定义域中存在x1,x2,x1x2，使得fx1fx22成立，故fxxx1，x0,1具有性质p；212122cosxcosxsinx②gxsinxsinxcosx(sinxcosx)，22224t21令tsinxcosx2sin(x),x[0,2]，则sinxcosx,t[2,2]，422t212121则g(x)sinxcosx(sinxcosx)可化为tt2t，424242设h(t)1221tt，t[2,2]，242作出其大致图象如图示：显然不存在t1,t2,t1t2，使得ht1ht22成立，故②gx1212sinxcosxcosxsinx，x0,2不具有性质p．2222【小问2详解】x2x3x1xfx3sinsinsincos32232262323x3x1x3x3x3x3x1x[cossincossin][sincoscossin]22222222424242422cosxxsinsinx，22由于x,2，x[,2]，因为f(x)具有性质p，所以22,2，

9955时，需满足2，解得；24221359139当时，需满足2，解得；22242999时，即时，24,此时显然成立；当2229513综上可知，的取值范围为[,][,).424当2【点睛】此题属于新定义题目，考查了三角函数以及三角恒等变换的相关知识，有一定的综合性，解答时要注意第三问的分类讨论，即讨论函数在给定的区间内能不能取到两次最大值.


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