上海上海中学七年级数学压轴题专题

2024年1月8日发(作者：春谷中学中考数学试卷2019)

上海上海中学七年级数学压轴题专题

一、七年级上册数学压轴题

1．如图①，直线AB､CD相交于点O，射线OECD，垂足为点O，过点O作射线OF使BOF130．

（1）将图①中的直线CD绕点O逆时针旋转至图②，OE在BOF的内部，当OE平分BOF时，OC是否平分AOF，请说明理由；

（2）将图①中的直线CD绕点O逆时针旋转至图③，OD在AOF的内部，探究AOE与∠DOF之间的数量关系，并说明理由；

（3）若BOE20，将图①中的直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转度0a180设旋转的时间为t秒，当AOC与EOF互余时，求t的值．

12．已知：b是立方根等于本身的负整数，且a、b满足(a+2b)2+|c+|=0，请回答下列问2题：

（1）请直接写出a、b、c的值：a=_______，b=_______，c=_______．

（2）a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，点D是B、C之间的一个动点(不包括1B、C两点)，其对应的数为m，则化简|m+|=________．

2（3）在（1）、（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点B、点C都以每秒1个单位的速度向左运动，同时点A以每秒2个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点C之间的距离表示为AC，点A与点B之间的距离表示为AB，请问：AB−AC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出AB−AC的值．

3．已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足c5ab0，请回答问题．

(1)请直接写出a、b、c的值．

a

b

c

a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2(2)

2之间运动时(即0≤x≤2时)，请化简式子：x1x12x5 (请写出化简过程)．

(3)在(1)(2)的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为

AB．请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变?若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

4．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，其中a3、c9．若点A与点B之间的距离表示为AB（1）b

；

ab，点B与点C之间的距离表示为BCbc，点B在点A、C之间，且满足BC2AB

．

（2）若点M、N分别从A、C同时出发，相向而行，点M的速度是1个单位/秒，点N的速度是2个单位秒，经过多久后M、N相遇．

（3）动点M从A点位置出发，沿数轴以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒，当点M运动到B点时，点N从A点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向C点运动，N点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，问：在点N开始运动后，M、N两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出运动的时间t的值以及此时对应的M点所表示的数；如果不能，请说明理由．

5．数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．

例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”．

回答下列问题：

（1）若点A表示数-2，点B表示数1．下列各数-1，2，4，6所对应的点是C1、C2、C3.其中是点A，B的“关联点”的是______．

（2）点A表示数4，点B表示数10，P为数轴上一个动点：

①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，则此时点P表示的数是多少？

②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点P表示的数．

6．定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是A,B的美好点．

例如；如图1，点A表示的数为1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是[A,B]的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距高是2，那么点D就不是[A,B]的美好点，但点D是[B,A]的美好点．

如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为7，点N所表示的数为2．

（1）点E，F，G表示的数分别是3，6.5，11，其中是[M,N]美好点的是________；写出[N,M]美好点H所表示的数是___________．

（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，点P恰好为M和N的美好点？

7．如图，点A、D和线段CB都在数轴上，点A、C、B、D起始位置所表示的数分别为1、0、2、14：线段CB沿数轴的正方向以每秒2个单位的速度移动，移动时间为t秒．

（1）当t0时，AC的长为______，当t2秒时，AC的长为_____．

（2）用含有t的代数式表示AC的长为______．

（3）当t_____秒时，ACBD5，当t______秒时，ACBD17．

（4）若点A与线段CB同时出发沿数轴的正方向移动，点A的速度为每秒3个单位，在移动过程中，是否存在某一时刻是的AC2BD，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．

8．已知射线OC在AOB的内部，射线OE平分AOC，射线OF平分COB．

（1）如图1，若AOB120,AOC32，则EOF__________度；

（2）若AOB,AOC，

①如图2，若射线OC在AOB的内部绕点O旋转，求EOF的度数；

②若射线OC在AOB的外部绕点O旋转（旋转中AOC、BOC均是指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究EOF的大小，直接写出EOF的度数．

9．已知，一个点从数轴上的原点开始．先向左移动6cm到达A点，再从A点向右移动10cm到达B点，点C是线段AB的中点．

（1）点C表示的数是

；

（2）若点A以每秒2cm的速度向左移动，同时C、B两点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间为t秒，

①运动t秒时，点C表示的数是

（用含有t的代数式表示）；

②当t＝2秒时，CB•AC的值为

．

③试探索：点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC总有怎样的数量关系？并说明理由．

10．如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC、三角板PBD均可绕点P逆时针旋转

（1）试说明∠DPC=90°；

（2）如图②，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转旋转一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；

/秒，同（3）如图③．在图①基础上，若三角板PAC开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都时三角板PBD绕点P逆时针旋转，转速为1°停止转动），在旋转过程中，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间．

11．如图1，在AOB内部作射线OC，OD，OC在OD左侧，且AOB2COD．

（1）图1中，若AOB160,OE平分AOC,OF平分BOD，则EOF______；

（2）如图2，OE平分AOD，探究BOD与COE之间的数量关系，并证明；

（3）设CODm，过点O作射线OE，使OC为AOE的平分线，再作COD的角平分线OF，若EOC3EOF，画出相应的图形并求AOE的度数（用含m的式子表示）．

3212．已知a16x20xb2x5是关于x的二次二项式，A，B是数轴上两点，且A，B对应的数分别为a，b．

（1）求线段AB的中点C所对应的数；

（2）如图，在数轴上方从点C出发引出射线CD，CE，CF，CG，且CF平分∠ACD，CG平分∠BCE，试猜想∠DCE与∠FCG之间是否存在确定的数量关系，并说明理由；

/秒的速度逆（3）在（2）的条件下，已知∠DCE=20°，∠ACE=30°，当∠DCE绕着点C以2°时针旋转t秒(0t65)时，∠ACF和∠BCG中的一个角的度数恰好是另一个角度数的两倍，求t的值

13．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为1:2的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为1:3的两个角的射线，叫做这个角的四分线……

显然，一个角的三分线、四分线都有两条．

例如：如图1，若BOC2AOB，则OB是AOC的一条三分线；若AOD2COD，则OD是AOC的另一条三分线．

（1）如图2，OB是AOC的三分线，BOCAOB，若AOC60，则AOB

；

（2）如图3，DOF120，OE是∠DOF的四分线，DOEEOF，过点O作射线OG，当OG刚好为DOE三分线时，求GOF的度数；

（3）如图4，AOD120射线OB、OC是AOD的两条四分线，将BOC绕点O沿顺时针方向旋转(0a180)，在旋转的过程中，若射线OB、OC、OD中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值．

14．（学习概念）

如图1，在∠AOB的内部引一条射线OC，则图中共有3个角，分别是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“好好线”．

（理解运用）

（1）①如图2，若∠MPQ＝∠NPQ，则射线PQ ∠MPN的“好好线”（填“是”或“不是”）；

②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射线PQ是∠MPN的“好好线”，请用含α的代数式表

示∠MPN；

（拓展提升）

（2）如图3，若∠MPN＝120°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒12°的速度逆时针旋转，旋转的时间为t秒．当PQ与PN成110°时停止旋转．同时射线PM绕点P以每秒6°的速度顺时针旋转，并与PQ同时停止．

当PQ、PM其中一条射线是另一条射线与射线PN的夹角的“好好线”时，则t＝

秒．

15．如图，一副三角板中各有一个顶点在直线MN的点O处重合，三角板AOB的边OA落在直线MN上，三角板COD绕着顶点O任意旋转．两块三角板都在直线MN的上方，作BOD的平分线OP，且AOB45，COD60．

（1）当点C在射线ON上时（如图1），BOP的度数是_______．

（2）现将三角板COD绕着顶点O旋转一个角度x（即CONx），请就下列两种情形，分别求出BOP的度数（用含x的代数式表示）

①当CON为锐角时（如图2）；

②当CON为钝角时（如图3）；

16．如图，点A，B在数轴上所对应的数分别为－5，7（单位长度为1cm），P是A，B间一点，C，D两点分别从点P，B出发，以1cm/s，2cm/s的速度沿直线AB向左运动（点C在线段AP上，点D在线段BP上），运动的时间为ts．

（1）AB______cm．

（2）若点C，D运动到任一时刻时，总有PD2AC，请求出AP的长．

（3）在（2）的条件下，Q是数轴上一点，且AQBQPQ，求PQ的长．

17．（阅读理解）

射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝2∠BOC，则我们称射线OC是射线OA关于∠AOB的伴随线．例如，如图1，若∠AOC＝2∠BOC，则称射线OC是射线OA关于∠AOB的伴随线；若∠BOD

＝2∠COD，则称射线OD是射线OB关于∠BOC的伴随线．

111

（知识运用）如图2，∠AOB＝120°．

（1）射线OM是射线OA关于∠AOB的伴随线．则∠AOM＝_________°

（2）射线ON是射线OB关于∠AOB的伴随线，射线OQ是∠AOB的平分线，则∠NOQ的度数是_________°．

（3）射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．

①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．

②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线组成的角的一边的伴随线．

18．如图1，P点从点A开始以2cm/s的速度沿ABC的方向移动，Q点从点C开始以1cm/s的速度沿CAB的方向移动，在直角三角形ABC中，A90，若AB16cm，AC12cm，BC20cm，如果P，Q同时出发，用t（秒）表示移动时间．

（1）如图1，若点P在线段AB上运动，点Q在线段CA上运动，当t为何值时，QAAP；

（2）如图2，点Q在CA上运动，当t为何值时，三角形QAB的面积等于三角形ABC面积1的；

4（3）如图3，当P点到达C点时，P，Q两点都停止运动，当t为何值时，线段AQ的长度等于线段BP的长．

19．如图①，O是直线AB上的一点，COD是直角，OE平分BOC．

（1）若AOC30，则BOD____________°，DOE____________°；

（2）将图①中的COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，若AOC，求DOE的度数（用含的式子表示）；

（3）将图①中的COD绕顶点O顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出AOC和DOE的度数之间的关系：__________________．（不用证明）

20．已知，O为直线AB上一点，射线OC将AOB分成两部分，若BOE60时，

（1）如图1，若OD平分AOC，OE平分COB，求DOE的度数；

（2）如图2，在（1）的基础上，将DOE以每秒3的速度绕点O顺时针旋转，同时射线OC以每秒9的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t0t20．

①t为何值时，射线OC平分DOE？

②t为何值时，射线OC平分BOE？

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一、七年级上册数学压轴题

1．（1）平分，理由见解析；（2），理由见解析；（3）或时，与互余．

【分析】

（1）根据平分线的定义可得，根据，可得，从而得到，所以可得结论；

（2）设为，根据可得，根据可得，从而得到与之间的数量关系

解析：（1）OC平分AOF，理由见解析；（2）AOEDOF40，理由见解析；（3）t17或t35时，AOC与EOF互余．

【分析】

（1）根据平分线的定义可得FOEBOE65，根据OECD，可得FOC25，从而得到AOC25，所以可得结论；

（2）设∠DOF为，根据BOF130可得AOD50，根据OECD可得AOE40，从而得到AOE与∠DOF之间的数量关系；

（3）根据题意可知EOF150，因为OECD，所以可得BOC70，可求出AOC110，根据“直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转”可得出AOC1105t(0t22)，AOC5t11022t36，EOF1505t(0t30)，EOF5t15030t36，然后分情况进行讨论：①0t22时，AOCEOF90②22t30时，AOCEOF90③30t36时，AOCEOF90，从而得出结果．

【详解】

解：（1）OC平分AOF，理由如下：

∵BOF130且OE平分BOF

∴FOEBOE65

∵OECD

∴EOC90

∴FOC906525

∴AOC180BOFFOC1801302525

∴AOCFOC

即OC平分AOF

（2）AOEDOF40，理由如下：

设∠DOF为，则AOD180BOFDOF18013050

∵OECD

∴EOD90

∴AOE90AOD40

即AOEDOF40

（3）∵BOE20且BOF130

∴EOF150

又∵OECD

∴BOC70

∴AOC110

∵直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转

∴AOC1105t(0t22)

AOC5t11022t36

EOF1505t(0t30)

EOF5t15030t36

①0t22时，AOC1105t,EOF1505t

若AOC与EOF互余，则1105t1505t90

解得t17

②22t30时，AOC5t110,EOF1505t

若AOC与EOF互余，则5t1101505t90

此时无解

③30t36时，AOC5t110,EOF5t150

若AOC与EOF互余，则5t1105t15090

解得t35

综上所述，t17或t35时，AOC与EOF互余．

【点睛】

本题考查了角的计算，角平分线有关的计算，余角相关计算．关键是认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系．

2．（1）2；-1；；（2）-m-；（3）AB−AC的值不会随着时间t的变化而改变，AB－AC=

【分析】

（1）根据立方根的性质即可求出b的值，然后根据平方和绝对值的非负性即可求出a和c的值；

（2

11解析：（1）2；-1；；（2）-m-；（3）AB−AC的值不会随着时间t的变化而改变，221AB－AC=

2【分析】

（1）根据立方根的性质即可求出b的值，然后根据平方和绝对值的非负性即可求出a和c的值；

1（2）根据题意，先求出m的取值范围，即可求出m+＜0，然后根据绝对值的性质去绝2对值即可；

（3）先分别求出运动前AB和AC，然后结合题意即可求出运动后AB和AC的长，求出AB−AC即可得出结论．

【详解】

解：（1）∵b是立方根等于本身的负整数，

∴b=-1

11∵(a+2b)2+|c+|=0，(a+2b)2≥0，|c+|≥0

221∴a+2b=0，c+=0

21解得：a=2，c=

21故答案为：2；-1；；

21（2）∵b=-1，c=，b、c在数轴上所对应的点分别为B、C，点D是B、C之间的一个动2点(不包括B、C两点)，其对应的数为m，

1∴-1＜m＜

21∴m+＜0

2

11∴|m+|= -m-

221故答案为：-m-；

215（3）运动前AB=2－（-1）=3，AC=2－（）=

2255由题意可知：运动后AB=3＋2t＋t=3＋3t，AC=＋2t＋t=＋3t

2251∴AB－AC=（3＋3t）－（＋3t）=

221∴AB−AC的值不会随着时间t的变化而改变，AB－AC=．

2【点睛】

此题考查的是立方根的性质、非负性的应用、利用数轴比较大小和数轴上的动点问题，掌握立方根的性质、平方、绝对值的非负性、利用数轴比较大小和行程问题公式是解决此题的关键．

3．（1）-1；1；5；（2）4x+10或2x+12；（3）不变，理由见解析

【分析】

（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b

解析：（1）-1；1；5；（2）4x+10或2x+12；（3）不变，理由见解析

【分析】

（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；

（2）根据x的范围，确定x+1，x-3，5-x的符号，然后根据绝对值的意义即可化简；

（3）先求出BC=3t+4，AB=3t+2，从而得出BC-AB=2．

【详解】

解：（1）∵b是最小的正整数，∴b=1．

根据题意得：c-5=0且a+b=0，

∴a=-1，b=1，c=5．

故答案是：-1；1；5；

（2）当0≤x≤1时，x+1＞0，x-1≤0，x+5＞0，

则：|x+1|-|x-1|+2|x+5|

=x+1-（1-x）+2（x+5）

=x+1-1+x+2x+10

=4x+10；

当1＜x≤2时，x+1＞0，x-1＞0，x+5＞0．

∴|x+1|-|x-1|+2|x+5|=x+1-（x-1）+2（x+5）

=x+1-x+1+2x+10

=2x+12；

（3）不变．理由如下：

t秒时，点A对应的数为-1-t，点B对应的数为2t+1，点C对应的数为5t+5．

∴BC=（5t+5）-（2t+1）=3t+4，AB=（2t+1）-（-1-t）=3t+2，

∴BC-AB=（3t+4）-（3t+2）=2，

即BC-AB值的不随着时间t的变化而改变．

【点睛】

本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．

4．（1）5；（2）2秒；（3）当t的值为6或2时，M、N两点之间的距离为2个单位，此时点M表示的数为5或9．

【分析】

（1）用b表示BC、AB的长度，结合BC=2AB可求出b值；

（2）根据相遇时间

解析：（1）5；（2）2秒；（3）当t的值为6或2时，M、N两点之间的距离为2个单位，此时点M表示的数为5或9．

【分析】

（1）用b表示BC、AB的长度，结合BC=2AB可求出b值；

（2）根据相遇时间=相遇路程÷速度和，即可得出结论；

（3）用含t的代数式表示出点M，N表示的数，结合MN=2，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．

【详解】

（1）∵a3、c9．

又∵点B在点A、C之间，且满足BC=2AB，

∴9-b=2（b-3），

∴b=5．

（2）AC=9-3=6

6÷（2+1）=2，即两秒后相遇．

（3）M到达B点时t=（5-3）÷1=2（秒）；

M到达C点时t=（9-3）÷1=6（秒）；

N到达C时t=（9-3）÷2+2=5（秒）

N回到A点用时t=（9-3）÷2×2+2=8（秒）

当0≤t≤5时，N没有到达C点之前，

此时点N表示的数为3+2（t-2）=2t-1；

M表示的数为3+t

MN=2t1(3t)t4=2

解得t6

（舍去）或t2

此时M表示的数为5

当5≤t≤6时，N从C点返回，M还没有到达终点C

点N表示的数为9-2（t-5）=-2t+19；

M表示的数为3+t

MN=2t19(3t)3t16=2

解得t6或t14（舍去）

3此时M表示的数为9

当6≤t≤8时，N从C点返回，M到达终点C

此时M表示的数是9

点N表示的数为9-2（t-5）=-2t+19；

MN=9(2t19)2t10=2

解得t6

此时M表示的数是9

综上所述：当t的值为6或2时，M、N两点之间的距离为2个单位，此时点M表示的数为5或9．

【点睛】

本题考查了数轴上两点间的距离以及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．

5．（1）C1，C3；（2）①-2或6或8；②16或22或13

【分析】

（1）根据题意求得CA与BC的关系，得到答案；

（2）①根据PA=2PB列方程求解；

②分当P为A、B关联点、A为P、B关联点、

解析：（1）C1，C3；（2）①-2或6或8；②16或22或13

【分析】

（1）根据题意求得CA与BC的关系，得到答案；

（2）①根据PA=2PB列方程求解；

②分当P为A、B关联点、A为P、B关联点、B为A、P关联点、B为P、A关联点四种可能列方程解答．

【详解】

解：（1）∵点A表示数-2，点B表示数1，C1表示的数为-1，

∴AC1=1，BC1=2，

∴C1是点A、B的“关联点”；

∵点A表示数-2，点B表示数1，C2表示的数为2，

∴AC2=4，BC1=1，

∴C2不是点A、B的“关联点”；

∵点A表示数-2，点B表示数1，C3表示的数为4，

∴AC3=6，BC3=3，

∴C3是点A、B的“关联点”；

∵点A表示数-2，点B表示数1，C4表示的数为6，

∴AC4=8，BC4=5，

∴C4不是点A、B的“关联点”；

故答案为：C1，C3；

（2）①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，设点 P

表示的数为 x

（Ⅰ）当点P在A的左侧时，则有：2PA=PB，即2（4-x）=10-x，解得，x=-2；

（Ⅱ）当点P在A、B之间时，有2PA=PB或PA=2PB，即有2（x-4）=10-x或x-4=2（10-x），解得，x=6或x=8；

因此点P表示的数为-2或6或8；

②若点P在点B的右侧，

（Ⅰ）若点P是点A、B的“关联点”，则有，2PB=PA，即2（x-10）=x-4，解得，x=16；

（Ⅱ）若点B是点A、P的“关联点”，则有，2AB=PB或AB=2PB，即2（10-4）=x-10或10-4=2（x-10），得，x=22或x=13；

（Ⅲ）若点A是点B、P的“关联点”，则有，2AB=PA，即2（10-4）=x-4，解得，x=16；

因此点P表示的数为16或22或13．

【点睛】

本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解新定义：关联点表示的数是与前面的点A的距离是到后面的数B的距离的2倍，列式可得结果．

6．（1）G，-4或-16；（2）1.5或3或9

【分析】

（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离

解析：（1）G，-4或-16；（2）1.5或3或9

【分析】

（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．

（2）根据美好点的定义，分情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值．

【详解】

解：（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件，

故答案是：G．

结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定-4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是-16．

故答案是：-4或-16．

（2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，

第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，

当MP=2PN时，PN=3，点P对应的数为2-3=-1，因此t=1.5秒；

第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，

当2PM=PN时，NP=6，点P对应的数为2-6=-4，因此t=3秒；

第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，

当PN=2MN时，NP=18，点P对应的数为2-18=-16，因此t=9秒；

综上所述，t的值为：1.5或3或9．

【点睛】

本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．

7．（1）1；5；（2）1+2t；（3）4，7；（4）t=5或t=

【分析】

（1）依据A、C两点间的距离求解即可；

（2）t秒后点C运动的距离为2t个单位长度，从而点C表示的数；根据A、C两点间的距离

解析：（1）1；5；（2）1+2t；（3）4，7；（4）t=5或t=【分析】

（1）依据A、C两点间的距离求解即可；

（2）t秒后点C运动的距离为2t个单位长度，从而点C表示的数；根据A、C两点间的距离求解即可．

（3）t秒后点C运动的距离为2t个单位长度，点B运动的距离为2t个单位长度，从而可得到点A、点D表示的数；根据两点间的距离=|a-b|表示出AC、BD，根据AC-BD=5和AC+BD=17得到关于t的含绝对值符号的一元一次方程，分别解方程即可得出结论；

（4）假设能够相等，找出AC、BD，根据AC=2BD即可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论．

【详解】

解：（1）当t=0秒时，AC=1+0=1；

当t=2秒时，移动后C表示的数为4，

∴AC=1+4=5．

故答案为：1；5．

23

3

（2）点A表示的数为-1，点C表示的数为2t；

∴AC=1+2t．

故答案为1+2t．

（3）∵t秒后点C运动的距离为2t个单位长度，点B运动的距离为2t个单位长度，

∴C表示的数是2t，B表示的数是2+2t，

∴AC=1+2t，BD=|14-（2+2t）|，

∵AC-BD=5，

∴1+2t-|14-（2+2t）|=5，

解得：t=4．

∴当t=4秒时AC-BD=5；

∵AC+BD=17，

∴1+2t+|14-（2+2t）|=17，

解得：t=7；

当t=7秒时AC+BD=17，

故答案为4，7；

（4）假设能相等，则点A表示的数为-1+3t，C表示的数为2t，B表示的数为2t+2，D表示的数为14，

∴AC=|-1+3t-2t|=|-1+t|，BD=|2t+2-14|=|2t-12|，

∵AC=2BD，

∴|-1+t|=2|2t-12|，

解得：t=5或t=【点睛】

本题考查了数轴以及一元一次方程的应用，根据数量关系列出一元一次方程是解题的关键．

23．

38．（1）60；（2）①∠EOF=α；②当射线OE，OF只有1条在∠AOB外部时，∠EOF=α；当射线OE，OF都在∠AOB外部时，∠EOF=180°-α．

【分析】

（1）先求出∠BOC度数，根据角平

解析：（1）60；（2）①∠EOF=2α；②当射线OE，OF只有1条在∠AOB外部时，∠EOF=2α；当射线OE，OF都在∠AOB外部时，∠EOF=180°-2α．

【分析】

（1）先求出∠BOC度数，根据角平分线定义求出∠EOC和∠FOC的度数，求和即可得出答案；

（2）①根据角平分线定义得出∠COE=2∠AOC，∠COF=2∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠FOC=2∠AOB，代入求出即可；

②分两种情况：当射线OE，OF只有1条在∠AOB外部时，根据角平分线定义得出111111

∠COE=2∠AOC，∠COF=2∠BOC，求出∠EOF=∠FOC-∠COE=2∠AOB；当射线OE，OF都在∠AOB外部时，根据角平分线定义得出∠EOF=2∠AOC，∠COF=2∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠COF=2（360°-∠AOB），代入求出即可．

【详解】

解：（1）∵∠AOB=120°，∠AOC=32°，

∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=88°，

∵OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，

∴∠EOC=2∠AOC=16°，∠FOC=2∠BOC=44°，

∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=16°+44°=60°．

故答案为：60；

（2）①∵OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，

∴∠EOC=2∠AOC，∠FOC=2∠BOC，

∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=2∠AOB=2α；

②分以下两种情况：

当射线OE，OF只有1条在∠AOB外部时，如图3①，

1

∠EOF=∠FOC-∠COE=2∠BOC-2∠AOC=2（∠BOC-∠AOC）=2∠AOB=2α．

当射线OE，OF都在∠AOB外部时，如图3②，

11111

∠EOF=∠EOC+∠COF=2∠AOC+2∠BOC=2（∠AOC+∠BOC）=2（360°-∠AOB）=180°-121111α．

1综上所述，当射线OE，OF只有1条在∠AOB外面时，∠EOF=2α；当射线OE，OF都在∠AOB外部时，∠EOF=180°-2α．

【点睛】

1

本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用．

9．（1）-1；（2）①﹣1+t；②121；③线段CB与AC相等，理由详见解析．

【分析】

（1）依据条件即可得到点A表示﹣6，点B表示﹣6+10＝4，再根据点C是线段AB的中点，即可得出点C表示的数；

解析：（1）-1；（2）①﹣1+t；②121；③线段CB与AC相等，理由详见解析．

【分析】

（1）依据条件即可得到点A表示﹣6，点B表示﹣6+10＝4，再根据点C是线段AB的中点，即可得出点C表示的数；

（2）依据点C表示的数为﹣1，点以每秒1cm的速度向右移动，即可得到运动t秒时，点C表示的数是﹣1+t；

②依据点A表示的数为﹣6﹣2×2＝﹣10，点B表示的数为4+4×2＝12，点C表示的数是﹣1+2＝1，即可得到CB•AC的值；

③依据点A表示的数为﹣6﹣2t，点B表示的数为4+4t，点C表示的数是﹣1+t，即可得到点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC相等．

【详解】

解：（1）∵一个点从数轴上的原点开始，先向左移动6cm到达A点，再从A点向右移动10cm到达B点，

∴点A表示﹣6，点B表示﹣6+10＝4，

又∵点C是线段AB的中点，

∴点C表示的数为故答案为：﹣1．

（2）①∵点C表示的数为﹣1，点以每秒1cm的速度向右移动，

∴运动t秒时，点C表示的数是﹣1+t，

故答案为：﹣1+t；

②由题可得，当t＝2秒时，点A表示的数为﹣6﹣2×2＝﹣10，点B表示的数为4+4×2＝12，点C表示的数是﹣1+2＝1，

∴当t＝2秒时，AC＝11，BC＝11，

∴CB•AC＝121，

故答案为：121；

③点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC相等．理由：

由题可得，点A表示的数为﹣6﹣2t，点B表示的数为4+4t，点C表示的数是﹣1+t，

∴BC＝（4+4t）﹣（﹣1+t）＝5+3t，AC＝（﹣1+t）﹣（﹣6﹣2t）＝5+3t，

∴点A、B、C在运动的过程中，线段CB与AC相等．

【点睛】

本题考查数轴上动点问题，整式的加减,与线段有关的动点问题．（1）理解数轴上线段的中点表示的数是两个端点所表示的数的和除以2；（2）掌握数轴上两点之间的距离求解方64＝﹣1，

2

法是解决问题的关键，数轴上两点之间对应的距离等于它们所表示的数差的绝对值．

10．（1）见解析；（2）；（3）旋转时间为15秒或秒时，PB、PC、PD其中一条射线平分另两条射线的夹角．

【分析】

（1）结合题意利用直角三角形的两个锐角互余，即可证明．

（2）结合题意根据角平分线的

解析：（1）见解析；（2）30；（3）旋转时间为15秒或条射线平分另两条射线的夹角．

【分析】

（1）结合题意利用直角三角形的两个锐角互余，即可证明DPC90．

（2）结合题意根据角平分线的定义，利用各角之间的等量关系即可求解．

（3）设t秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角．根据题意求出t的取值范围，再根据情况讨论，利用数形结合的思想列一元一次方程，求解即可．

【详解】

（1）∵两个三角板形状、大小完全相同，

∴CBPD30，

又∵CAPC90，

∴BPDAPC90，

∴DPC180(BPDAPC)1809090．

（2）根据题意可知EPFDPFDPE，

105秒时，PB、PC、PD其中一411∵DPFAPD，DPECPD，

22111∴EPFAPDCPD(APDCPD)，

222又∵APDCPDAPC60，

11∴EPFAPC6030．

22（3）设t秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角，

∵当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动，

∴t180536秒．

分三种情况讨论：

当PD平分BPC时，根据题意可列方程5tt9030，解得t=15秒<36秒，符合题意．

1105当PC平分BPD时，根据题意可列方程5tt9030，解得t=秒<36秒，符合题42意．

当PB平分CPD时，根据题意可列方程5tt90230，解得t=意舍去．

75秒>36秒，不符合题2

所以旋转时间为15秒或【点睛】

105秒时，PB、PC、PD其中一条射线平分另两条射线的夹角．

4本题考查直角三角形的性质，角平分线的定义，图形的旋转．掌握图形旋转的特征，找出其等量关系来列方程求解是解答本题的关键．

11．（1）120；（2），见解析；（3）见解析，或

【分析】

（1）根据角平分线的性质得到，再结合已知条件即可得出答案；

（2）根据角平分线的性质与已知条件进行角之间的加减即可证明出结论；

（3）根据角

33解析：（1）120；（2）BOD2AOE，见解析；（3）见解析，m或m

42【分析】

11（1）根据角平分线的性质得到AOECOEAOC,DOFBOFBOD，再22结合已知条件即可得出答案；

（2）根据角平分线的性质与已知条件进行角之间的加减即可证明出结论；

（3）根据角平分线的性质结合已知条件进行角度之间的加减运算，分类讨论得出结论即可．

【详解】

解：（1）∵AOB160，AOB2COD，

∴COD80，

∴AOCBOD80

，

∵OE平分AOC,OF平分BOD，

11∴AOECOEAOC,DOFBOFBOD，

221∴COEDOF(AOCBOD)40，

2∴EOFCOEFODCOD120，

故答案为：120；

（2）BOD2AOE．

证明：∵OE平分AOD，

∴AOD2EOD，

∵COECODEOD，

∴EODCODCOE．

∴AOD2(CODCOE)2COD2COE．

∵AOB2COD，

∴AODAOB2COE．

∵BODAOBAOD，

∴BODAOB(AOB2COE)2COE，

∴BOD2COE；

（3）如图1，当OE在OF的左侧时，

∵OF平分COD，

1∴COFCOD，CODm，

21∴COFm，

2∵COFCOEEOF，COE3EOF，

∴COF4EOF1m，

21∴EOFm，

83∴COE3EOFm．

8∵OC为AOE的平分线，

∴AOE2COE．

3∴AOEm；

4

如图2，当OE在OF的右侧时，

∵OF平分COD，

1∴COFCOD，

2∵CODm，

1∴COFm，

2∵COFCOEEOF，COE3EOF，

∴COF2EOF1m，

21∴EOFm，

4∴COE3EOF3m．

43m．

2∵OC为AOE的平分线，AOE2COE

33综上所述，AOE的度数为m或m．

42【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质与角度之间的加减运算，关键在于根据图形分析出各角之间的数量关系．

12．（1）7；（2）；（3）或．

【分析】

（1）根据是关于x的二次二项式可知，，求出a、b的值即为A、B对应的数，即可求出C点对应的数．

（2）根据角平分线可知，．即可求出．再根据题意可知，，代入整理

解析：（1）7；（2）2FCGDCE180；（3）t【分析】

32（1）根据a16x20xb2x5是关于x的二次二项式可知a160，b20，12525或t．

33求出a、b的值即为A、B对应的数，即可求出C点对应的数．

11（2）根据角平分线可知ACFDCFACD，BCGECGBCE．即可求22出BCE2FCG2ECF．再根据题意可知BCEECFACF180，ACFDCFDCEECF，代入整理即可得到2FCGDCE180

（3）根据题意可用t表示出BCG和ACF．再分类讨论当ACF2BCG时和当2ACFBCG时，列出的关于t的一元一次方程，解出t即可．

【详解】

a16a160

，解得（1）根据题意可得出，

b2b20即A、B对应的数分别为16、-2，

∴C对应的数为ab7．

2（2）∵CF平分∠ACD，CG平分∠BCE，

11∴ACFDCFACD，BCGECGBCE．

22∵FCGECGECF，

1∴FCGBCEECF，即BCE2FCG2ECF．

2∵BCEECFACF180，ACFDCFDCEECF，

∴2FCG2ECFECFDCEECF180，即2FCGDCE180．

故存在数量关系，为：2FCGDCE180．

（3）∵DCE20，ACE30，

∴BCE180(302t)，即BCE1502t．

1∴BCGBCE751t．

2

∵ACD180BCD180(BCEDCE)，

∴ACD502t．

1∴ACFACD251t．

2当ACF2BCG时，

即251t2(751t)，

解得：t125且小于65，

3当2ACFBCG时，

即2(251t)751t，

解得：t25且小于65．

312525或t时符合题意．

33综上可知t【点睛】

本题考查多项式的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，结合分类讨论以及数形结合的思想是解答本题的关键．

13．（1）；（2）的度数为或；（3）的值为或或或

【分析】

（1）根据三分线的定义解答即可；

（2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分类解答即可；

（3）根据四分线的定义分类解答即可．

【详解】

解：

解析：（1）20；（2）GOF的度数为60或90；（3）的值为10或45或75或110

【分析】

（1）根据三分线的定义解答即可；

（2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分类解答即可；

（3）根据四分线的定义分类解答即可．

【详解】

解：（1）∵OB是AOC的三分线，BOCAOB，AOC60，

1∴AOBAOC20，

3故答案为：20；

（2）DOF120，OE是∠DOF的四分线，DOEEOF，

3DOEDOF90，

4OG为DOE的三分线，

2①当DOGGOE时，DOGDOE60，

3

GOF1206060，

1②当DOGGOE时，DOGDOE30，

3GOF1203090，

综上所述，GOF的度数为60或90，

（3）∵AOD120射线OB、OC是AOD的两条四分线，

1∴∠AOB=∠COD=∠AOD=30°，∠BOC=60°，

43如①图，当OC是∠BOD的四分线时，∠BOC=BOD,

4∠BOD=80°，∠COD=20°，

α=30°-20°=10°；

如②图，当OD是∠BOC的四分线且∠BOD>∠COD时，

1∠COD=∠BOC=15°，

4α=30°+15°=45°；

如③图，当OD是∠BOC的四分线且∠BOD<∠COD时，

3∠COD=∠BOC=45°，

4α=30°+45°=75°；

3如④图，当OB是∠COD的四分线时，∠BOC=COD,

4∠COD=80°，

α=30°+80°=110°；

的值为10或45或75或110

【点睛】

本题考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线、四分线的定义，利用分类讨论思想．

14．（1）①是；②∠MPN=α，3α；（2）t=，4，5秒．

【分析】

（1）①根据新定义的理解，即可得到答案；

②根据题意，可分为两种情况：当∠MPQ=2∠QPN时；当∠QPN=2∠MPQ时；分别求出

320解析：（1）①是；②∠MPN=α，3α；（2）t=，4，5秒．

72【分析】

（1）①根据新定义的理解，即可得到答案；

②根据题意，可分为两种情况：当∠MPQ=2∠QPN时；当∠QPN=2∠MPQ时；分别求出∠MPN即可；

（2）根据题意，设运用的时间为t秒，则PM运用后有NPQ12t，MPN1206t，然后对PM和PQ的运动情况进行分析，可分为四种情况进行分析，分别求出每一种情况的运动时间，即可得到答案．

【详解】

解：（1）①如图，若∠MPQ＝∠NPQ，

∴∠MPN=2∠NPQ=2∠MPQ，

∴射线PQ是∠MPN的“好好线”；

②∵射线PQ是∠MPN的“好好线”

又∵ ∠MPQ≠∠NPQ

∴此题有两种情况

Ⅰ．如图1，当∠MPQ=2∠QPN时

∵∠MPQ=α

∴∠QPN=2α

13∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=α；

2Ⅱ．如图2，当∠QPN=2∠MPQ时

∵∠MPQ=α

∴∠QPN=2α

∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=3α

3综上所述：∠MPN=α或∠MPN=3α．

2（2）根据题意，PM运动前∠MPN＝120°，

设运用的时间为t秒，则PM运用后有

NPQ12t，MPN1206t，

①当MPQ2NPQ时，如图：

∴1206t12t212t，

解得：t20；

7②当MPQNPQ，即MPN2NPQ时，如图：

∴1206t212t，

解得：t4；

③当NPQ2MPQ，如图：

∴12t2(1206t12t)，

解得：t5；

④当MPN2MPQ，如图：

∵MPN1206t，MPQ6t12t120，

∴1206t6t12t120，

解得：t10；

∵t的最大值为：t11010，

12∴t10不符合题意，舍去；

综合上述，t=【点睛】

本题考查了新定义的角度运算，角度的和差关系，以及一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确掌握运动状态，运用分类讨论的思想进行分析．

20，4，5秒．

715．（1）37.5°；（2）①当0°＜x°≤75°时，∠BOP＝，当75°＜x°＜90°时，∠BOP＝；②

【分析】

（1）根据题意可以求得∠BOD的度数，由于OP平分∠BOD，从而可以求得∠BOP的度

解析：（1）37.5°；（2）①当0°＜x°≤75°时，∠BOP＝∠BOP＝x75x75；②

2275x，当75°＜x°＜90°时，2【分析】

（1）根据题意可以求得∠BOD的度数，由于OP平分∠BOD，从而可以求得∠BOP的度数；

（2）根据图形和第一问中的推导可以解答本题；

（3）通过图形可以发现∠BOD是∠AOB与∠COD的和与∠MOC的差，从而可以解答本题．

【详解】

解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，点C在射线ON上，

∴∠BOD＝180°−45°−60°＝75°．

∵OP平分∠BOD，

∴∠BOP＝37.5°．

故答案为：37.5°；

（2）①当∠CON为锐角时，

∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，∠CON＝x°，∠MON＝180°，

∴∠BOD＝180°−45°−60°−x°＝75°−x°．

∵OP平分∠BOD，

∴当0°＜x°≤75°时，∠BOP＝当75°＜x°＜90°时，∠BOP＝②当∠CON为钝角时，

∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，∠CON＝x°，∠MON＝180°，

∴∠MOC＝180°−x°．

∴∠BOD＝∠AOB＋∠COD−∠MOC＝45°＋60°−（180°−x°）＝x°−75°．

∵OP平分∠BOD，

∴∠BOP＝【点睛】

本题考查角的计算，解题的关键是明确题意，可以根据图形找出所求问题需要的条件．

x75．

275x，

2x75；

216．（1）12；（2）4cm；（3）或

【分析】

（1）由两点间的距离，即可求解；

（2）由线段的和差关系可求解；

（3）由题设画出图示，分两种情况根据：当点在线段上时，由AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ

解析：（1）12；（2）4cm；（3）4cm或12cm

【分析】

（1）由两点间的距离，即可求解；

（2）由线段的和差关系可求解；

（3）由题设画出图示，分两种情况根据：当点Q在线段AB上时，由AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，从而求得PQ与AB的关系，当点Q在AB的延长线上时，可得AQBQPQAB12cm．

【详解】

解：（1）∵A、B两点对应的数分别为-5，7，

∴线段AB的长度为：7-（-5）=12；

故答案为：12

（2）根据点C，D的运动速度知BD2PC．

因为PD2AC，所以BDPD2(PCAC)，即PB2AP，

所以AP4cm．

（3）分两种情况：

如图，当点Q在线段AB上时，

因为AQBQPQ，所以AQPQBQ．

又因为AQAPPQ，

所以APBQ，所以PQ1AB4cm；

3如图，当点Q在AB的延长线上时，

AQBQPQAB12cm，

综上所述，PQ的长为4cm或12cm．

【点睛】

本题考查了数轴的运用和绝对值的运用，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．

17．（1）；（2）；（3）①当t=20秒或28秒时，∠COD的度数是20°；②当t为或或或秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线组成的角的一边的伴随线．

【分析】

（1）根据伴随线定义

解析：（1）40；（2）20；（3）①当t=20秒或28秒时，∠COD的度数是20°；②当

t为40360360或20或或秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线组成31113的角的一边的伴随线．

【分析】

（1）根据伴随线定义即可求解；

（2）根据伴随线定义结合角平分线的定义即可求解；

（3）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；

②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可．

【详解】

（1）根据伴随线定义得AOM1BOM，

211∴AOMAOB12040；

33故答案为：40；

（2）如图，

1根据伴随线定义得BONAON，

21即BONAOB40，

3∵射线OQ是∠AOB的平分线，

1∴BOQAOB60，

2∴COQBOQBON20；

故答案为：20；

（2）射线OD与OA重合时，t12040（秒），

3①当∠COD的度数是20°时，有两种可能：

若在相遇之前，则120-3t-2t=20，

∴t=20；

若在相遇之后，则3t+2t-120=20，

∴t=28；

所以，综上所述，当t=20秒或28秒时，∠COD的度数是20°；

②相遇之前，射线OC是射线OA关于∠AOD的伴随线，

11则∠AOC=∠COD，即2t1203t2t，

22解得：t40（秒）；

3相遇之前，射线OC是射线OD关于∠AOD的伴随线，

11则∠COD=∠AOC，即1203t2t2t，

22解得：t20（秒）；

相遇之后，射线OD是射线OA关于∠AOC的伴随线，

11则∠AOD=∠COD，即1203t3t2t120，

22解得：t360（秒）；

11相遇之后，射线OD是射线OC关于∠AOC的伴随线，

11则∠COD=∠AOD，即3t2t1201203t，

22解得：t360（秒）；

13

综上，当t为40360360或20或或秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两31113条射线组成的角的一边的伴随线．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，角平分线的性质，解决本题的关键是理解新定义，找到等量关系列出方程，难点是利用分类讨论思想解决问题．

18．（1）4，（2）9，（3）或4

【分析】

（1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，由AQ＝AP，可得方程12﹣t＝2t，解方程即可．

（2）当Q在

解析：（1）4，（2）9，（3）【分析】

28或4

3（1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，由AQ＝AP，可得方程12﹣t＝2t，解方程即可．

（2）当Q在线段CA上时，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t，根据三角形QAB的面积等于三角形1ABC面积的，列出方程即可解决问题．

4（3）分三种情形讨论即可①当0＜t≤8时，P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动．②当8＜t≤12时，Q在线段CA上运动，P在线段BC上运动．③当t＞12时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时，分别列出方程求解即可．

【详解】

解：（1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，

∵AQ＝AP，

∴12﹣t＝2t，

∴t＝4．

∴t＝4时，AQ＝AP．

（2）当Q在线段CA上时，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t，

1∵三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的，

4∴∴121211•AB•AQ＝×2•AB•AC，

41×16×（12﹣t）＝×16×12，解得t＝9．

81．

4∴t＝9时，三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的（3）由题意可知，Q在线段CA上运动的时间为12秒，P在线段AB上运动时间为8秒，

①当0＜t≤8时，P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，BP＝16﹣2t，

∵AQ＝BP，

∴12﹣t＝16﹣2t，解得t＝4．

②当8＜t≤12时，Q在线段CA上运动，P在线段BC上运动，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t，BP＝2t﹣16，

∵AQ＝BP，

∴12﹣t＝2t﹣16，解得t＝28．

3③当t＞12时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时，

∵AQ＝t﹣12，BP＝2t﹣16，

∵AQ＝BP，

∴t﹣12＝2t﹣16，解得t＝4（舍去），

综上所述，t＝【点睛】

28或4时，AQ＝BP．

3本题考查线段和差、一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．

19．（1）60°，15°；（2）∠DOE；（3）∠AOC=360°-2∠DOE．

【分析】

（1）由已知可求出∠BOC=180°-∠AOC=150°，∠BOD=180°-∠COD-∠AOC=60°，再由

解析：（1）60°，15°；（2）∠DOE【分析】

（1）由已知可求出∠BOC=180°-∠AOC=150°，∠BOD=180°-∠COD-∠AOC=60°，再由∠COD是直角，OE平分∠BOC利用角的和差即可求出∠DOE的度数；

（2）由∠AOC的度数可以求得∠BOC的度数，由OE平分∠BOC，可以求得∠COE的度数，又由∠DOC=90°可以求得∠DOE的度数；

（3）由∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠BOC+∠AOC=180°，可以建立各个角之间的关系，从而可以得到∠AOC和∠DOE的度数之间的关系．

【详解】

解：（1）∵AOC30，

∴∠BOC=180°-∠AOC=150°，

∵OE平分∠BOC，

∴∠COE=2∠BOC=2×150°=75°，

又∵∠COD是直角，

∴∠BOD=90°-∠AOC=60°，∠DOE=∠COD-∠COE=90°-75°=15°，

故答案为：60°，15°；

（2）∵AOC，

∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-α，

∵OE平分∠BOC，

∴∠COE=2∠BOC=90又∵∠COD是直角，

1112；（3）∠AOC=360°-2∠DOE．

2，

∴∠DOE=∠COD-∠COE=90(90)；

22（3）∠AOC=360°-2∠DOE；

理由：∵OE平分∠BOC，

∴∠BOE=∠COE，

则得∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE=180°-2（∠DOE-90°），

所以得：∠AOC=360°-2∠DOE；

故答案为：∠AOC=360°-2∠DOE．

【点睛】

本题考查角的计算、角平分线的性质，解题的关键是根据题目中的信息，建立各个角之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．

20．（1）90°；（2）①s；②12s

【分析】

（1）由角平分线的定义结合平角的定义可直接求解；

（2）①结合角平分线的定义，平角的定义列方程，解方程结可求解；

②结合角平分线的定义，平角的定义列方程

5解析：（1）90°；（2）①s；②12s

2【分析】

（1）由角平分线的定义结合平角的定义可直接求解；

（2）①结合角平分线的定义，平角的定义列方程，解方程结可求解；

②结合角平分线的定义，平角的定义列方程，解方程结可求解．

【详解】

解：（1）∵OD平分∠AOC，OE平分∠COB，

∴∠COD=2∠AOC，∠COE=2∠BOC，

∵∠AOC+∠BOC=180°，

∴∠DOE=∠COD+∠COE=90°；

（2）①由题意得：∵∠DOE=90°，

∴当OC平分∠DOE时，∠C′OD′=∠C′OE′=45°，

45°+60°-3t+9t+60°=180°，

5解得t=，

25故t为s时，射线OC平分∠DOE；

211

②由题意得：∵∠BOE=60°，

∴当OC平分∠BOE时，∠C′OE=∠C′OB=30°，

30+3t+90°+2（120-9t）=180°，

解得t=12，

故t为12s时，射线OC平分∠BOE．

【点睛】

本题主要考查一元一次方程的应用，角平分线的定义，角的计算等知识的综合运用，列方程求解角的度数是解题的关键．