2024年3月30日发(作者：小学数学试卷答题流程及答案)

8．微专题：教材P92“读一读”——杨辉三角

1．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所

著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释(a＋b)

n

的展开式的各项系数，此三角

形称为“杨辉三角”．

根据“杨辉三角”解答下列问题：

(a＋b)

0

………………1

(a＋b)

1

……………1 1

(a＋b)

2

…………1 2 1

(a＋b)

3

………1 3 3 1

(a＋b)

4

……1 4 6 4 1

(a＋b)

5

…1 5 10 10 5 1

……

(1)根据上面的规律，(a＋b)

4

的展开式中各项系数最大的数为( )

A．4 B．5 C．6 D．7

(2)(2017·黔东南州中考)根据“杨辉三角”，请计算(a＋b)

20

的展开式中第三项的系数为

( )

A．2017 B．2016

C．191 D．190

(3)写出(a＋b)

5

的展开式；

(4)利用上面的规律计算：2

5

－5×2

4

＋10×2

3

－10×2

2

＋5×2－1.

2．如图为杨辉三角的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如(a＋b)

n

(n为正整数)

的展开式的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，利用杨辉三角解决下列问题．

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

…

(a＋b)＝a＋b；

(a＋b)

2

＝a

2

＋2ab＋b

2

；

(a＋b)

3

＝a

3

＋3a

2

b＋3ab

2

＋b

3

；

……

(1)(a＋b)

4

展开式中第二项是________；

(2)求(2a－1)

5

的展开式；

1111

－

＋15×2

4

×

－

＋20 ×2

3

×

－

＋15×2

2

×

－

＋(3)计算：2＋6×2×

2



2



2



2

65

234

11

－

5＋

－

. 6×2×

2



2

6

参考答案与解析

1．解：(1)C

(2)D 解析：找规律发现(a＋b)

3

的第三项系数为3＝1＋2；(a＋b)

4

的第三项系数为6＝

1＋2＋3；(a＋b)

5

的第三项系数为10＝1＋2＋3＋4；不难发现(a＋b)

n

的第三项系数为1＋2

＋3＋…＋(n－2)＋(n－1)，∴(a＋b)

20

第三项系数为1＋2＋3＋…＋19＝190.

(3)∵(a＋b)

1

＝a＋b，(a＋b)

2

＝a

2

＋2ab＋b

2

，(a＋b)

3

＝a

3

＋3a

2

b＋3ab

2

＋b

3

，(a＋b)

4

＝a

4

＋4a

3

b＋6a

2

b

2

＋4ab

3

＋b

4

，∴(a＋b)

5

＝a

5

＋5a

4

b＋10a

3

b

2

＋10a

2

b

3

＋5ab

4

＋b

5

.

(4)2

5

－5×2

4

＋10×2

3

－10×2

2

＋5×2－1＝2

5

＋5×2

4

×(－1)

1

＋10×2

3

×(－1)

2

＋

10×2

2

×(－1)

3

＋5×2×(－1)

4

＋(－1)

5

＝[2＋(－1)]

5

＝(2－1)

5

＝1

5

＝1.(根据(a＋b)

5

＝a

5

＋5a

4

b

＋10a

3

b

2

＋10a

2

b

3

＋5ab

4

＋b

5

的逆运用得出)

2．解：(1)4a

3

b

(2)(2a－1)

5

＝(2a)

5

－5(2a)

4

＋10(2a)

3

－10(2a)

2

＋5·2a－1＝32a

5

－80a

4

＋80a

3

－40a

2

＋10a

－1.

13

729

2－

＝



＝. (3)原式＝

2



2

64

66


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