二维非稳态对流扩散边界控制问题的简化算法

第36卷第1期2

0

19年3月经

济

数

学JOURNAL

OF

QUANTITATIVE

ECONOMICSVol.

36,No.

1Mar.

2

0

19二维非稳态对流扩散边界控制问题的简化算法”张国平，罗贤兵（贵州大学数学与统计学院，贵州贵阳550025）摘要针对二维非稳态对流扩散边界控制问题计算量大的问题，提出了基于降阶模型的最优实时

控制方法.利用POD（

the

Proper

Orthogonal

Decomposition）和奇异值分解以及Galerkin投够方法得到了

具有高精度离散形式的状态空间降阶模型.在所得的降阶状态空间模型中，利用离散时间线性二次调节

器方法设计出了最优控制器.对沆一扩散过程的控制模拟结果说明了所提方法的有效性和准确性.关键词

对流扩散边界控制问题；特征正交分解（POD）;奇异值分解；降维模型中图分类号0242.1

文献标识码

AA

Reduced

Algorithm

for

Two-Dimensional

Unsteady

Convective-Diffusion

Boundary

Control

ProblemsZHANG

Guoping,

LUO

Xianbing{School

of

Mathematics

and

Statistics

,

Guizhou

University

,

GuiyangtGuizhou

550025

,

China)Abstract

Boundary

control

of

two-dimensional

unsteady

convection

diffusion

is

a

large-scale

optimization

problem,

and

an

approach

was

presented

for

optimal

control

based

on

reduced-order

model,

which

was

derived

from

a

discrete-time

low-order

state-space

model

with

high

accuracy

by

using

POD

(the

Proper

Orthogonal

Decomposition), singular

value

decomposition

(SVD)and

Galerkin

projection.

Optimal

controllers

were

designed

based

on

the

low-order

state-space

models

using

discrete-time

linear

quadratic

regulator

(LQR)

techniques.

The

controlling

simulation

results

in

the

convection-diffusion

process

illustrate

the

effectiveness

and

accuracy

of

the

proposed

words

convection-diffusion

boundary

control

problem；

the

Proper

Orthogonal

Decomposition

(POD)

；singular

val­ue

decomposition； dimensionality

reduction

model和有限元法⑷解决此类问题，然而一般情况下，大

1引言对流扩散方程所描述的最优控制问题山广泛应

多数的差分格式和有限元格式计算量比较大，而且

占用计算机内存多，特别是对于高阶的离散系统,

其计算量将呈指数规律增长，计算成本将变得很

用于许多领域，如：大气污染控制问题，流体控制

问题等，所以寻找稳定、高速实用的数值方法⑷，

有着非常重要的实际意义.目前常用有限差分法⑷大.因此，现在重要的问题是如何简化计算，减少

计算时间和内存容量，并确保解具有足够的精确性.

基于矩阵奇异值分解的特征正交方法（Proper

Or­*

收稿日期:2018-10-25基金项目：国家自然科学基金项目资助（11461013）作者简介：张国平（1994-）,女，贵州遵义人•硕士研究生，研究方向：计算数学E-mail:

zygpzhang®

126.

com

92经济数学第36卷thogonal

Decomposition）能提供具有足够高精度而

自由度又较小的低阶模型，简化计算，节省CPU和

内存.文中所介绍的特征正交分解方法旳主要是提供

一种有效逼近大量数据的最优逼近方法，它的实质

是在最小二乘意义下⑷找寻能代表已知数据的一组

正交基.即一种求已知数据的最优逼近方法.此外，

由于POD方法是在最小二乘意义下最优的，所以该

方法有完全依赖数据而不对数据作任何先验假设的

优点.在文献［7］中以对流-扩散-反应过程为例，设

计了基于低阶模型的线性二次调节器的最优控

制⑺，将离散空间模型的阶数大大地降低了，其仿

真实现了最优反馈控制的实时应用，但是没有对二

维对流扩散方程描述的系统实现最优控制.本文将特征正交分解应用于二维非稳态对流扩

散边界控制问题，在文献［7］的基础上将低阶模型

与最优控制问题相结合提出了基于低阶模型的二维

对流扩散边界控制问题.首先采用有限差分法计算

出由瞬时对流扩散方程解集构成的瞬像（snap­shots）,

再利用奇异值分解⑷和玖）D分解方法获得

对流扩散瞬像的最优特征正交基，再与伽辽金投影

方法结合将高阶的状态空间模型转化为精度较高的

低阶模型，并结合线性二次调节器的最优控制方

法，得出基于无约束的线性二次调节器的最优反馈

控制的输入/输出.以二维对流扩散边界控制问题

为例，结果表明在保证较高精度的优化结果的同时

可大幅度提高求解速度.2对流扩散最优控制模型降阶的算法2.1最优控制问题描述以二维对流扩散边界控制问题为例，考虑如下初边值问题：dU帀

+.

5dU

+.

%

dU矿

Drw(狂+昕),’u./u工

€

[0,兀];y

E

E

[0,1],y

=

0,17

=

u;y

=兀，(7

=

0,(1)工=0,学

=0或z

=

X,学

=0,

dJC

djC、£

=

0,17

=

0.式中2

=

0,U=

“是输入变量，石=0是

输出变量，“，5是反应器中流动速度，D为扩散系

数.在二维对流扩散方程条件下，目标函数丿有如

下的最优控制问题描述minj[y(t)—力

了

dt

+U<1>e2

J

［u（t）

—

U/J2dt.(2)其中J为最优控制的目标函数，力和吋分别为控

制过程输出和输入的稳态值，e为过渡过程中控制

动作的权重.2.2对流扩散方程初边值问题的差分格式为探讨其差分格式，将区间［0,k］等分为j等

分，每一等分的长度为h

,时间步长用r表示.网

格点为（心，y

,t”），召=ih

,y,

=

jh

,t„

=

nr,i,j

=

1,2

,

,m

-j-

1

,n

=

1,2,

\"\'Nth

=

7t/m

.考虑最优控制问题（1）在\"+1时刻的值，时间

导数用向后差分格式，对流项采用迎风格式，扩散

项采用中心差分格式.对式（1）离散整理得U旷=A0U；

+AiSh“

+AQ?.屮

++

A4,

（3）式中：A。=1

_

丨

5

I

+

丨

s

I

_

4rDA._-一

『

S

_

~I

S

丨

+丄

刃Dr

A2r

S —丨—S丨

+丄

庐Dr

，a3r

5―

+2h

I

—

5

丨

+|

Dr庐’r

—S

+

—I

S

I

十庐.1

Dr2h令x(.k)

=

(Uf,2,U驚

1.2，Uf,3

,U<3，

…,U：.3，匕昇1.3

,…,Ui„„

,Uz.m

,…,氏.”

,B

=

_At

,儿，…，,0,…，0；…，0,…，0]t

,

c

=

[0,0,…，1,0,0,…，1；…，0,0,…，1],

y(.k~)

=

U^i.j

,j

=

2,3,…,m

.则式(3)可整理为如下的离散高阶模型：

皿+

1)AxCk)

+Bu(.k),j(^)

=

cx(k)

(4)其中，I

A2A4

Ifn-i-1 *

•

*

•J.

J.

Al

卄

1-^m+1

^^m+1

+

I/n+l

-

第1期张国平等：二维非稳态对流扩散边界控制问题的简化算法93e

k(m—1)

(m+l)X(m—1) (m+1)Ao

+

A3

Aia3A。A••・

Ao4A3

Ao

+

A]e

u(m+l

)X(m4\"l)其中i”+i

e

卄\"为单位矩阵.2.3模型降阶由以上有限差分方法计算所得的瞬像，可表示

成（加一1）（/

+

1）

Xd维矩阵U

:U<”-i><”+i>xa:

=

（\"r

U\"2

U\"d

）•

（5）其中，=（uy,2Uy,2

…u昇ikUVjUy』…u昇1.3

…

5”…UM”

）T,Z

=

1,2,…,d.定义矩阵范数II

•

II

z

=

sup

I俨卜•则UhHO

H

X

II

0的最优化问题为求①=9

…,e八u肚（m-1）（卄l）Xd

,使得八劲=||

U-00TL7

||

2,2

（6）取最小值.其中，d《N

,集合①={鸟，@

,・••，◎}

E

色（1>（卄”d定义为酎的所有标准正交基的集合.对矩阵U（,”t心+\"d作奇异值分解=

ws\"

=

w

⑻

01o

ovT,

w

eR(m—l)(m+l)X(m—l)(m+l),ve

ir\"』其中w,v是正交矩阵,S>

= diag{A1,A2,-,A>}e

R;x>是对应于

u

的对

角矩阵，且At

>A2>-^A;>0.由谱半径和

II

•

II

2“的关系知，若M

秩

gS

,则有以下等式成立：入M+i

=

min〈

||

U

—

B

||

2,2=

II

U—UM

II

2,2«rank(

B)M(7)其中

uM

=，入=

1,2,…,M）.血和（p,i

=

1分别为矩阵w和V的前M个列向量.由式（6）和（7）可知，由B对U的最优表达是式

（7）中定义的UM,则Um是在最优基中U的最优化

表示.由特征向量的性质知，=

W

=

（Q

.@，…，

物）（M《d）是最优化问题（6）的最优基.设U的d

个列向量“”，=d

.定义投影算子Pm：Pm

（a1）

=

丫（¢,,/）0

.j

=

l其中（•，•）表示向量的内积.由文献［5］有以

下结果II

a1

—

Pm3）

||

2

M

a/A（m+i>

.

（8）不等式（8）表明PM（a/）是al的最优逼近，误差是（M+1）

■以下将利用最优基构造简化差分格式.用伽辽

金投影方法将模型方程投影到P（）D基函数张成的

降阶空间中，得到xd）

=

®a4）,a仏）a

©「乂仏）.

（9）将式（9）代入离散的高阶状态空间模型式（4）,

得到@T®a（&

+

1）

=

0TA

+0rBw（^）,y（.k）

=

0

=

I

,为单位矩阵，可得ad

+

1）

=A”ad）

+

,y（人）=c’aQ）.

（10）式中：A”

=

=

©TB.c”

=

c0

.由式（1）知t

=

0,U

= 0

,则通过迭代求解式（10）的

M（M《（巾一1）（加+

1））个方程便可得到a（kKk

=1,2,…，N）,利用最优基©可以得到方程（1）的

近似解xd）~（Pa4）.此降维模型只需要求解十

几个方程便可得到问题的近似解，而如果利用全阶

模型，每次迭代需要求解（/»

—

1）（巾+

1）个方程，

从而降阶模型大大的降低了自由度，节省了计算机

内存，加快了计算时间.3求解最优控制问题3.1全阶模型的最优控制式（2）所描述的最优控制问题如果按照式（4）的

离散化模型来表述，则可写为：minj

=

£（事0?

+沪血），Q

o使得+

1）

=

Ax（k）+

Bu（^）

,y（.k）

= cxCk）.（11）假设（A,B）可控或可镇定,R为对称正定的常

数阵,Q为对称正定的常数阵或为对称半正定常数

阵，但（A，e.）可观测或可检测，式中，Q

=

ere.-

要求寻找最优控制使最小.对于上面的问题，最优控制可以表示为

94经济数学第36卷u(k\')=—

Lx(k),式中.L为1

X(m—1)(况+

1)维的常数反馈增

益阵，把时变阵换成常数阵，L可表示为L=

(K

+

BTKB)

BTKA,K是由时间离散的黎

卡提代数方程决定-K

+

Q

+

ATKA

-AtKB(R

+BTKB)

\'BTKB

=

0

,其中，2

=

CTC,H

=

£2

,X

=

X—

Xf,U

=

u

—

uf

.3.2降阶模型的最优控制由上述全阶模型的无约束最优反馈控制问题可

得，降阶模型的方程：minj

=

^(aTQa

+uTRu)；«

0使得a(.k

+

1)

=

Ard(k) +

Bru

(A),$4)=

cM\")

(12)基于线性二次调节器(LQR)的反馈控制器设计：0

⑷=-LaCk),L

=

CR

+

B^KBrY\'B^KAr,其中,KK是由时间离散的黎卡提代数方程决

定-K

+

2

+

A；KAr

-A；KBr(JR

+BjKBJ

=

0,其中

Q

=

cJcr

,R

=

e2

,a

=

a —

ar.4仿真结果在MATLAB里编程进行仿真，所有计算均以

内存为3.

60

GH

Z的计算机为平台.控

制问题取反应器的浓度输出从稳态0.

05过渡到稳

态0.45,反应器中流动速度为s

=也=0.8,扩散

系数

D

为

0.

01

,m

=

50,

Aj:

=

=

0.

06284,

AZ

=0.

01

.在开环仿真(“(z)三o.l

)中，用上述给出的参

数，浓度的时空分布如图1所示.浓度在空间和时间

上单调增加，浓度需要一段时间才能达到稳态值.当

“=“/

=

0.

1时开环控制的全阶模型的最优输出与降

阶模型的最优输出如图2所示.可以得出它们的控

制效果相同.当不确定权值R分别取0.05

,

0.

6

,

1时，闭环

仿真所对应的最优输入如图3所示，与图3所对应

的输出如图4所示，当R相同时，全阶模型(即式

(11)的控制律)和降阶模型(即式(12)的控制律)的最优输入以及相对应的输出图像是完全重合的，可

以得到，当控制权值R—样时，高阶模型与低阶模

型控制效果相同；R越大，输入的调节值«(i)越

小，输出的超调量y(t)越小，反之，越大；采用全

阶模型和降阶模型的最优控制CPU耗时如表1所

示，可知，在控制效果相同时，降阶模型很大程度

上节省了计算时间；并与u=

uf时的开环控制比

较，闭环的最优反馈控制的快速性、精确性和稳定

性更好.图2

开环全阶降阶最优输出图图3

无约束过渡过程的最优输入

第1期张国平等：二维非稳态对流扩散边界控制问题的简化算法95表1个时间步上还只是求解13个方程，不但解决了对

R全阶模型（〃s）降阶模型（r/s）流扩散离散系统计算量大的问题，并节省了计算机

0.

05309&

81.4634内存和计算时间.在最优反馈控制中，基于高阶模

0.64060.51.5987型的状态空间模型设计，所需要的计算内存和时间

1298&

41.3955都比较多，相对于低阶模型所需要的计算时间就要

开环0.526920.054582少得多，且基于高、低阶模型具有相同的控制效果.

这些都体现了降阶模型的有效性和高效性.0.45参考文献0.40[1]

XIONG

C,

LI

Y.

Error

analysis

for

optimal

control problem

gov­0.35erned

by

convection

diffusion

equations：

DG

method

[J].

Computa­tional

and

Applied

Mathematics*

2011,

235(10)

：3163—3177.0.30[2]

胡健伟，汤怀民.微分方程数值方法[M].北京：科学出版社，

評52007.[3]

MUNYAKAZI

J B.

A

uniformly

convergent

non-standard

finite

0.20open

loop

controldifference

scheme

for a

system

of

con-vection

diffusion

equations]J].

0.15--------LQR,r=2499,R=0.05★

LQR.r=13.R=0.05Computational

&

Applied

Mathematics,

2015.

34(3)

：

1153-1165.-------0.10•

LQR.r=2499.R=0.6LQR,n=13.R=0.6[4]

EGGER

H,

SCHOBERL

J.

A

hybrid mixed discontinuous

Galerkin

-----LQR.r=2499.R=1LQR,r=13,R=1finite-element

method

for

convection-diffusion

problems

C

J

J-

Ima

0.05100120Journal

of

Numerical

Analysis,

2018,

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1206—1234.[5]

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37(6):709-71&图4

无约束过渡过程的最优输出[6]

LENTH

R

V.

I>east-squares

means：

the

R

package

lsmeans[J].

Journal

of

Statistical

Software,

2016,69

(1)

：

1

—33.5结论[7]

LI

M,

CHRISTOFIDES

P

D.

Optimal

control

of

diffusion

convec­tion-reaction

processes

using

reduced

order

models.

Computers

&

本文应用POD方法提出了基于低阶模型的对

Chemical

Engineering,

2008

,

32

(9

)

：2123—2135.流扩散最优控制问题，基于该方法，从两个层次上

[8] DERKSEN

H.

On

the

Nuclear

norm

and

the

singular

value decompo­sition

of tensors

[J].

Foundations

of

Computational

Mathematics,

提高了计算和优化的效率，从以上仿真可以看出，

2016,

16(3):779-811.全阶模型在每个时间步上需要求解2499个方程,

但降阶模型在每个时间步上只需要求解13个方程，

而且，当空间步长变小时，全阶模型在每个时间步

上需要解的方程的个数将会增多，而降阶模型在每