2023年12月28日发(作者：辽附数学试卷高三)

根式函数y

摘要：

关键词：

ax2b的性质及其应用

1、 引言

高考题中经常会出现含根式函数yax2b的相关试题，根据试题的条件和结论的内在联系，抓住关键的结构特征，借助其图象和性质，即可快速准确地解决试题.

下面，我们对形如yax2b(a,b0)的根式函数的性质进行归纳，以期抛砖引玉.

2、

性质1（定义域）

R

性质2（ 值域 ）

[b,)

性质归纳

性质3（单调性） 在,0上单调递减，在0,上单调递增

性质4（奇偶性） 偶函数

性质5（对称性） 关于y轴对称

将根式函数yax2b(a,b0)变形为y2ax2b(a,b0,yb)，得

性质6（特殊性）

① 该函数的图象是焦点在y轴上的双曲线的上支

② 有两条渐近线，方程为yax

③ 该函数是R上的凹函数

有了性质作辅助，遇题便有章可依.

3、 典例分析

例1 已知a,bR，且ab1，求证：4a214b2122

x21的上支(如右图) 证明：设函数f(x)4x1，它的图象是双曲线y1422

f(x)是R上的凹函数，

f(a)f(b)abf()

2224a214b21ab2241 即得4a14b122证毕.

22nn推广： 若xiRi(i1,2,,n)，且xi1，则有axi2babn2

i1i1

例2 已知a,bR，求证：|4a214b21|2|ab|

证明：① 若ab，显然成立.

4a214b21② 若ab，原不等式等价于||2

ab4a214b21设函数f(x)4x1，则可看作函数f(x)图象上任意两点

ab2Pa,4a21，Qb,4b21ab连线的斜率， 即转化为求导函数f\'(x)的值域问题.

f\'(x)4x4x21，

|f\'(x)|4|x|4x214|x|2

2|x|4a214b21|2. 综上所述，|4a214b21|2|ab|

|ab点拨：本题的实质是考查双曲线上支上任意两点连线的斜率必介于两渐近线的斜率2与2之间.

例3 当0ab时，求证：4b214a214b214a21证明：原不等式等价于ba24aba4a1

2

4a4a124b214a21设函数f(x)4x1，则可看作函数f(x)图象上任意两点

baPa,fa，Qb,fb连线的斜率.由高等数学中的拉格朗日中值定理可知，在a,b上存在一点，使得f(b)f(a)f\'().

ba

f\'(x)4x4x21且f\'\'(x)44x21320，

f\'(x)在a,b上单调递增.

f(b)f(a)f\'(a)

ba又

0ab，

f\'()f\'(a)

4b214a21即ba4a4a12

4b214a214aba4a12证毕.

4、 高考竞赛在线

例4 (2000年全国高考试题) 设函数f(x)x21ax，其中a0，求a的取值范围，使函数f(x)在区间[0,)上是单调函数.

解：不妨设C1：y1ax，C2：y2x21，

2整理得C1：y1ax，C2：y2x21y0

则函数f(x)表示双曲线y2x21y0及直线yax对应x的点的纵坐标之差，又双曲线C2的渐近线为yx，从图理解可知，当且仅当a1时，函数f(x)在区间[0,)上是单调递减函数.

例5 (2001年全国联赛试题) 求函数yxx23x2的值域.

解： 因为yxx23x2x23x2x，

不妨设C1：y1x,C2：y2x23x2

312整理得C1：y1x,C2：(x)2y2y0

243(x)2y22则本题可转化为求双曲线1y0及直线1144yx对应x的点的距离差，其中(x2或x1).

3又双曲线C2的渐近线为yx，其中一条与yx平行.

23从图立即可得函数的值域为[1,)[2,)．

2

5、 拓宽延伸

通过对根式函数yax2b图象和性质的研究，有助于遇到同类型题目时消除陌生感，减弱畏惧心，

6、

总结提炼

参考文献

1 江建平.导数的另类应用[J].中学数学研究，2009年第6期

2 陆建.把握特征 诱发直觉[J].中学数学教学参考，2005年第6期


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