2023年12月28日发(作者：北师版第2单元数学试卷)
2019年第6期中学数学研究•
23
•大时，入工若N万同向丨忌丨最小时，入W -
3.经学生感到其中的巧妙.但是由于思考量较大，学生很
难与教师之间产生共鸣.这不利于知识的传授，以及
分析,这样的位置关系满足题意.法二:借助例2（2）的过程易得，丨al
e
[2,4].对于该问题本质的探索.平面向量基本定理带来的
向量之间线性关系的前提下，适当的转化为代数性
运算，有助于帮助学生在高中阶段形成数学学课
同时有产=4护
+
4a2
-
8a
•
T）=i>a
•
1）=—―
8；“量”的统一.a2
+
A2K2
+
2Aa
•
K
M
9,消除数量积有（弓■入+
1
）a232
〒入
+1
>0,4+
9A2
+9A
&
9；
4
，或4.反思从多个维度对教材中最原始，最基础的定理进
行认识和重新分析，并以此为基础涉及一些数学问
题.既可以帮助学生全面的认识学习的新知识，又可
以通过具体的例子促进新知识的内化•从而，在这样
■9A2
+
7
N
0a[——A
+
1
<
0,
1{4
即
X.
—或入
W-3.\'入$
+
4A
+
3
M
0,评析:从几何的维度思考向量问题，往往能够让
的基础上，不断地培育学生的数学核心素养，使其分
析、解决问题的能力在锻炼中不断提升.对2018年全国I卷理科21题的研究四川省成都市大邑县师大三中（611331）
李小强邓文俊
四川内江师范学院数学与信息科学学院（641100）刘成龙2018年数学全国I卷理科21题是全卷的压轴
题.试题考查了函数、不等式、导数等主干知识，蕴含
背景、高考背景、竞赛背景、高等数学背景、数学文化
背景等等.（2）21题含有丰富的背景，比如：高考背
景、竞赛背景和高等数学背景.丰富的数学背景，同时在解答方法上具有创新型和
开放性，具有较强的选拔功能.因此，该试题是一道
优秀的试题，值得我们研究.下文着重从命题背景、
试题解法、试题变式对试题进行分析.勻匕日
吉主才匕旦冃崇—
冋考冃崇21题命题取材于高考真题：例1
（2011年湖南卷文科第21题）设函数—、试题呈现试题（2018年全国I卷理科第21题，下文简/（^）二％ -
丄一
alnx
（
a
e
/?）.%称\"21
题\"）已知函数/\'（%）
=
—
-
x
+
alnx.x（I
）讨论/（%）的单调性；（n）若/0）有两个极值点,2,记过人（衍，
*/（幻））/（慾,/仏2））的直线的斜率为也问：是否存
（I
）讨论/<%）的单调性；（n）若/■（小
存在两个极值点幻严2,证明：
/（衍）-/（«2）
,
c------------------<
a
-
2.x1
-
x2二、命题背景命题背景指命题时选取素材中含有的知识、模
在5使得％
=
a-2?若存在，求出a的值;若不存在,
请说明理由.可以发现,21题和例1有惊人的相似度：构成
/（%）的基本函数一致；第（I
）问问题一致；第（H）
问条件几乎一样;解答方法完全一致.因此,21题可
以说是例1的翻版.背景二竞赛背景型、问题、文化、思想和方法等.（1）研究试题命题背
景，有利于把握试题的本质、拓宽试题的解法、加强
试题的变式.常见的试题命题背景有教材背景、现实
*基金项目:四川省“西部卓越中学数学教师协同培养计划”项目（ZY16001）.刘成龙系本文通讯作者.
24中学数学研究2019年第6期21题含有对数一平均值不等式（ALG不等式）
的背景：若记一宁一器”济,
则称A,L,G分别是正数冋严2的算术平均、对数平
均、几何平均值•所谓AZG不等式指的是A
>L>G,即宁>1£^>严AZG不等式属于数学竞赛的内容.下面来看看戶_p—
>
^xxx2的证明过程:丄11%2
丄11%［因
为>
aAi%2
oln久2
一
£（%）
=
21nx
+
丄-％，则,（％）二-(丄-
1)[xX所以£（%）在（1,+00）上单调递减，即t（%）
<
i（l）0,故盹证明过程中，构造出的函数/（%）
=
21nx
+
—X-力正好是21题a
=
2的情形•解答（U）问的关键是构造函数/（%）
=
2In%
+
—x
-
x,根本在于证明
光2lnx2
_
lnx1对数平均值不等式高于教材，但时常成为命题
的热点素材，值得关注！背景三
拉格朗日中值定理背景拉格朗日中值定理：若函数/（%）在闭区间［a,
b｝上可导，在开区间（a,6）上连续，则在（a,6）上至
少存在一点％，使得fg
=fWk
~/（a）.拉格朗日中值定理的几节
B何意义是:在满足定理条件的|予彳［曇<
曲线y
=/<%）上至少存在一1
~点
P（x0,/（力° ））,该曲线在点
苛：---±-----------7P处的切线平行于曲线两端!点的连线AB.
（
图1所示）
图1第（U
）问证明的结论几％）_人\"2）<
a
-2形
街-兀2式上与拉格朗日中值定理完全一致.三、解法探究下面给出21题第（H）问的两种正确解法和两
种错误的解法.1.正确解法解：（I）aW2时,/（%）在（0,
+
8）上单调递减;a
>
2
时,/(%)在(0,a
~
~
4),+讣-空,+
8
）上单调递减，在（色二李亠戸互）上单调递增.（过程略）（H）证法一（减元法）：由题意可知a
>2,因为4-
ax则x1
,x2是ax0的两实数根，则xYx2
=
1.不妨设0
<
%
<
1
<
%2,
所以心八心)=亠[』+
+✓zyvI
—
“V2
V
—
V
zyzyIaln
—]
=
-
2
4-----------
•
aln
丄，又％凤
-1,则兀2
兀]—兀2
兀2am
——
=
alnx1
=
Zalnx.,故-------------光2
光1
-兀222alnx1光］——要-心）<一2,即证如
街一％2
X-y
~
X<1,即证
2In%!
>%i
-
丄，由（I
）可知
a
二
2时,/（%）二丄-x
+
21nx在（0,
+
co
）单调递减.而于（1）
=
0,又
0
<
x1
<
1
<
%2
,所以
/（^i）=丄一％1
+
21nx1
>
0,
xi即21n衍
>
衍-丄，故心12二Z色2
<
a
_
2.2
x1
-
x2评注：此解法的关键是减元：利用衍％2
=
1,将
两个变量的不等式几一几\"2）<
口
-2转化成只
久1
-光2有单变量衍（或％2）的不等式.证法二：（对数一平均值不等式法）：由题意知a>
2,冋严2
>
0,所以人=久2---------------
一
+
(%2/
1)
光+
al\"]
-
aln%2
J
二
_
2i%2
2019年第6期中学数学研究•
25・+
亦衍-anx21
<
—
2
+
a
—
2.厶
A
/
/
-|
?=
a2.错解探究错解1：由题意知3x0
G
(%,%2),使得
/(省)_/(%2)=f(%),只需证明
/(%o)
先］—%2证---------------+ axn - 1 < a _2,需证二/ 、(a - I)% - ax0 + 1 光o> 0.令£(兌)=(°-1)/-处+ 1,因为a〉2,显然认％)为开口向上对称轴为％2(a-l) e (TJ) 的二次函数，所以f(x)在(1,%2)单调递增，又t(0) =0,所以当 Xq e (i9x2)时,i(x0) > i(l) = 0,则(a -1)x0 - ax0 +1〉0,所以/(x0) < a - 2.评注：上述解法存在逻辑错误：弓％0 G (光1，%2)，使彳 x1一二 - x2f (^0)成立，而后又得出当久° e (1,慾)时,/(^o) < a - 2,从而得几衍)_/(慾)光1 - %?< a -2的证明.此处犯的错误是认为存在％° e (久1, 光2),使得f (^o) < a - 2成立的％就是使得 \"V [丫) =/(%0)成立的％，或是默认为使得 \"V ) =/(^0)成立的％在(I,%?)区间内，而导致了错解.用函数图像直观的解释：+ >=ata+i -y 如图2,由a的特殊值，画出| 2 只％)的图像，可以发现：当a升-产-> 2x时，在区间(衍严2)上，都Aj/ 会存在两点P』,使得函数* f(x)在两点处的切线与直线图2平行，一旦参数a固定，函数图像就会固定,P. ,P2点也就固定.也就说明存在Xo G (%i ,X2) 使得心J―\"\"\" =f (为°)成立的与 先]—%2牝G (1 ,%2)(%o) < a - 2成立不等价.从上面错解可以得到这样的结论：当％ E (久1，a - Z 时,f(%) < a-2，当％ u a _ Z时,f (%)> a - 2,当％ e (1,^2)时,f(%) < a - 2.因此，证 明原问题只需说明使得心丄二d =f()成立x1 -光2 的％不在区间[7±,1]内即可•这里留给有兴趣 的读者继续探讨.错解2：由世丄二也2 < a _ 2，变形为 x1 -光2[/(%) - (a - 2衍)]-[/(%2)- (a - 2时)] - x20(探)，只需证明gO) =/(%) - (a -2)x为单调递 减(* )•(过程略)评注：求导发现g&)在定义域上既有增又有 减，证明g(力)=/(%) - (a-2)%为单调递减不能实 现.错误的原因是问题中的衍，％2不是任意的%,因 此※与*不等价.四、试题变式变式是指相对于某种范式，不断变更问题情境 或改变思维角度，使事物的非本质属性时隐时现，而 事物的本质属性保持不变的变化方式.变式能有效 扼制题海战术、能完善学生认知，帮助学生形成良好 的认知结构.下面给出试题的变式：变式1 设函数/■(%)=丄-力+ alnx，若y(%) 存在两个极值点衍，％2，证明：沪-即 < (光1 - x2) e 2 .变式2 设函数才(光)+ahi%,若才(尤) 存在两个极值点％严2,使得悠)< a - 2. 问：是否存在％0,使得\"\"J _\"%2)=f(o*)?若存X ] 先2在，用a表示出％的取值范围；若不存在，请说明理 由.变式3 设函数才(光)=aln(% + 1) +久；£ - 2(a e R).(I )讨论/(%)的单调性；(n)已知％1 ,%2 丘(一 1, + °°) ,%1 工 ％2,证明： 111(^! +1)光1 -- ln(%X2 2 + 1) V 光1 +2 久2+匚上述三个变式的解答读者自行给出.文中从四个方面对21题作出了研究，权作抛砖 引玉，希望读者继续探讨.参考文献[1]薛世林，刘成龙.2016年高考四川理科数学卷21题的多 -26 - 角度分析[J].福建中学数学,2017(4) ：4-6. 中学数学研究 2019年第6期[ J].中学数学研究(江西师大),2017(11):37 -39.[2]余小芬，刘成龙.2017全国卷III数学理科12题的研究一道来自越南的不等式试题的证明与推广安徽省亳州市第二完全中学(236800) 张 路越南《数学与青年》杂志2018年4月刊登了一 道如下的不等式试题：问题1 已知正实数a,b,c满足abc = 1,求证：+ ・•• +ak )(如 + a2 + ••- + a).*n-m / m , m , , m 证明：不妨设a、W a： W ••- W ak,则有W a + b5 + c + b5 + c + a2 + c5 + a5 + b2笔者将其加强为： 问题2设a9b,c为正实数，且abc = 1,求证:aTm W…W a^m,af W a； W…W af,由切比雪夫 不等式可得斫+ a： +…+ a； = a「a： + a厂a； + , n-m m 1 / n-m , n-m , , n-m / m , m…+5 5 M -j-g + a2 + ••- + ak + a2a2 + 65 4- c\'a2 + b62 4- c1+]沪 + c5 + a5] c2 + a5 + b5w+…+讥引理 2 若 > 0(£ 二 1,2…，耐，口 a? M 1 / 证明：由(6 -c)(64 -c4) M0,得沪 +c5 \"c =1,2,A;, 7i M m M 0,则 a； + + …+ a； Ma； + be\" = bc(b3 + cj,所以 / +：5 +c5 Wb5________1________ _ _____®______Igt Iffl _____1_____ «2 +bc(b3 +c3) ~ a3 +b3 +c\"冋理+02 +c5 + a： + …+ af.证明可由引理1和均值不等式易得定理1的证明：先待定指数厂，由引理1和均值不 等式可得 < + «2 + ••- + +W ____&__________1_____ W ________________.a3 + b3 + c3\' a5 + b5 + c2 a3 + b3 + c 纟(a厂 + …+ «rr)(«2 + …+ O A 护 +k - 1心宀)宁3+…+“;),所%+/ + ...+砧a；千皂 1 + ] + ]丁疋 / +b5 +c5 + b2 +c5 +a5 + c2 +a5 +])5a；3 +^+C3-由切比雪夫不等式可知/ +b3 +C3 3+ ca + b M *(a + b + c) (/ + b2 4- c2)，所以丁 + ； * +W-------------------------------------------- W»i + (。2。3 …a”)k(a； + ••- + a；)s+^f—亘-------------，上式成立只需n > r > 0,令/■a 严-1 + 必 + ... + °；b5] ] 3b2+ c5 + a c2 + a5 + b5 a2 + b2 + c还可将其推广为：定理1 设匂> 0,且口匂M l,f = 1,2,-, n - r (k - + n 口小 、=m+ 厂丁「可得 r = --------f------，显然 n > r >m5于是有昭+ —严r r r-(m-s)5k(k 3 ,k e TV) ,n > m > s,n > - (k - l)m，且 e > m - ks,则 j厶研+疋+…+ kW 心丄 心\'\"丄― 一&ax + a2 + …+ ak「，类似可得其他式子.，(Y 表示轮换对称和).°i所以》x na】4- a? + ♦…+ a心为了证明定理1,先给出如下两个引理：引理 1 若色 > 0( f = ,2…，k) ,n M m M 0 ,、\"Q； + a； + …+ a；r-(m-s)ttl
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