2024年3月27日发(作者：初二数学试卷难点)

中考数学最值问题总结（含强化训练）

在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要

分为几何最值和代数最值两大部分。

一、解决几何最值问题的要领

（1）两点之间线段最短；

（2）直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；

（3）三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）。

二、解决代数最值问题的方法要领

1.二次函数的最值公式

二次函数

yaxbxc

（a、b、c为常数且

a0

）其性质中有

2

4acb

2

b

①若

a0

当

x

时，y有最小值。

y

min

；

4a

2a

4acb

2

b

②若

a0

当

x

时，y有最大值。

y

max

。

4a

2a

2.一次函数的增减性.一次函数

ykxb(k0)

的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因

而没有最大（小）值；但当

mxn

时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最

大（小）值。

3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得

0

，进而求出y

的取值范围，并由此得出y的最值。

4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。

5. 利用非负数的性质.在实数范围内，显然有

abkk

，当且仅当

ab0

时，等号成立，即

22

a

2

b

2

k

的最小值为k。

6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y在各个区间上的最大值，

再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。

7. 利用不等式与判别式求解.在不等式

xa

中，

xa

是最大值，在不等式

xb

中，

xb

是最小值。

8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，

再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。

【例题1】（2020•黑龙江）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平

移，得到△EFG，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为 ．

【对点练习】（2020•内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、

AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为 ．

【例题2】（2020•襄阳）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，

八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援

助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种

水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．

（1）直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；

（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千

克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？

（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按（2）中甲，乙两种水果购进

量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值．


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