2024年3月31日发(作者：2005云南中考数学试卷)

二项式定理

一．二项式定理

1.右边的多项式叫做

ab

的二项展开式

r

2.各项的系数

C

n

叫做二项式系数

n

3.式中的

C

n

a

rnr

b

r

叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第

r1

项，即

rnrr

T

r1

C

n

ab(r0,1,2,L,n).

r

4.二项展开式特点：共

r1

项；按字母

a

的降幂排列，次数从

n

到

0

递减；二项式系数

C

n

中

r

从

0

到

n

递增，与

b

的次数相同；每项的次数都是

n.

二．二项式系数的性质

mnm

性质1

ab

的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即

C

n

C

n

mm1m

性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即

C

n

C

n

C

n1

01nn

n

性质3

ab

的二项展开式中，所有二项式系数的和等于

2

，即

C

n

C

n

LC

n

2.

n

n

（令

ab1

即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释）

性质4

ab

的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项

的二项式系数的和，即

022r132r1n1

C

n

C

n

LC

n

LC

n

C

n

LC

n

L2.

n

（令

a1,b1

即得）

性质5

ab

的二项展开式中，当

n

为偶数时，中间一项的二项式系数

C

取得最大值；当

n

为奇数时，

中间两项的二项式系数

C

n1

2

n

n

n

2

n

,C

n1

2

相等，且同时取得最大值

n

.

（即中间项的二项式系数最大）

【题型精讲】

题型一、展开式中的特殊项

1

n2

1．

(x)

的展开式中，常数项为15，则n=

x

A．3 B．4 C．5 D．6

2.在

1x

n

nN

的二项展开式中，若只有

x

n

5

的系数最大，则

n

A．8 B. 9 C. 10

2



3．如果

3x

2

3

的展开式中含有非零常数项，则正整数

n

的最小值为（ ）

x



Ａ．3

Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10

题型二、展开式的系数和

1.已知

12x

100

a

0

a

1

x1

a

2

x1

La

100

x1

.

2100

求：（1）

a

0

；（2）

a

0

a

1

a

2

La

100

（3）

a

1

a

3

a

5

La

99

；

3



2.（江西理4）已知

x

展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为

64

，则

n

等于

3

x



（ ）

Ａ．

4

Ｂ．

5

Ｃ．

6

Ｄ．

7

n

29211

3.（江西文5）设

(x1)(2x1)a

0

a

1

(x2)a

2

(x2)La

11

(x2)

，则

a

0

a

1

a

2

La

11

的值为

（ ）

Ａ．

2

于 .

Ｂ．

1

Ｃ．

1

Ｄ．

2

5235

4.(安徽文12)已知

(1x)a

0

a

1

xa

2

xa

3

xa

4

x

4

a

5

x

, (

a

0

a

2

a

4

)(a

1

a

3

a

5

)

的值等

题型三、一项展开:拆成两项

除以9的余数是（ ）

A．1 B．2

C．4 D．8

题型四、多项展开：

1.（|x|＋

1

－2）

3

展开式中的常数项是（ ）

|x|

2

A．12 B．－12 C．20 D．－20

n

3

2.求

1x

1x

L

1x

展开式中

x

项的系数

.

二项式定理

1、展开式中的特殊项

nn2n

1

1

n

2

1．解．

(x)

的展开式中，常数项为15，则

C

n

3

(x)

3

()

3

15

，所以n可以被3整除，当n=3时，

x

x

2

12

C

3

315

，当n=6时，

C

6

15

，选D。

2.答案】C 解析】只有

x

的系数最大，

x

是展开式的第6项，第6项为中间项，展开式共有11项，故

n=10

3．答案：选Ｂ

解析：由展开式通项有

T

r1

C

由题意得

2n5r0n

2、展开式的系数和

1.

3

100

r

n

55

3x

2

nr

r

2

rnr

C32x

2n5r



n

3

x

r

5

r

r0,1,2,L,n1

，故当

r2

时，正整数

n

的最小值为5，故选Ｂ

2

、

5

100

5

100

1

、

2

2.解析：展开式中，各项系数的和为4

n

，各项二项式系数的和为2

n

，由已知得2

n

=64，所以n=6，选C

3.解析：令

x2

=1，右边为

a

0

a

1

a

2

La

11

；左边把

x1

代入

(x

2

1)(2x1)

9

2(1)

9

2

，

a

0

a

1

a

2

La

11

2.

选A.

5235

4.解析：已知

(1x)a

0

a

1

xa

2

xa

3

xa

4

x

4

a

5

x

,

∴

a

0

a

2

a

4

(a

1

a

3

a

5

)16

则

(

a

0

a

2

a

4

)(a

1

a

3

a

5

)

=－256

3、一项展开:拆成两项

1解析：

28(91)C

11

9C

11

9C

11

9C

11

9C

11

9(C

11

9

9281

C

1

11

9C

11

9C

11

)19(C

11

9C

11

9C

11

9C

11

1)

8,

331111

010

故余数为8，选D．

4、多项展开：1.解法一：∵

(|x|

∴展开式的通项为

令6－2r＝0，得r＝3

3

11

6

2)

3

(|x|)

|x|

|x|

1

rr

)C

6

(1)

r

·

(

|x|

r

T

r1

C

6

(|x|)

6r

·

(

|x|)

62r

∴T

4

＝

C

6

（－1）

3

＝－20 ∴所求常数项为－20．

6

(1|x|)

1

解法二：∵（|x|＋－2）

3

＝

3

|x|

|x|

∴（1－|x|）

6

中|x|

3

的系数A＝

C

6

（－1）

3

＝－20就是展开式的常数项．

评注：此题也可把其中的某两项看作一项对待，然后用二项式定理展开，但较繁，以上两种转化方式

3

是比较实用的．

333

2.

C

3

C

4

C

n


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