智爱高中数学 椭圆焦半径公式及应用

2024年4月7日发(作者：徐州2018期中数学试卷)

智愛高中數學 椭圆焦半径公式及应用

在椭圆曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试

的热点，故值得我们深入研究。

思路1：由椭圆的定义有：

r

1

r

2

2a1

故只要设法用

x

0

、a、c

等表示出

r

1

r

2

（或

r

1

·

r

2

），问题就可迎刃而解。

2222

由题意知

r

1





x

0

c



y

0

，

r

2





x

0

c



y

0

22

两式相减得



r

1

r

2



r

1

r

2



4cx

0

r

1

r

2



4cx

0

4cx

0

2ex

0

r

1

r

2

2a

2

联立<1>、<2>解得：

r

1

aex

0

，r

2

aex

0

点评：在

r

1

aex

0

与

r

2

aex

0

中，

ex

0

前的符号不表示正、负，真正的

正、负由

x

0

确定。

思路2：设焦点

F

1

ae，0、F

2

ae，0

则

r

1

r

2

2a

，即





x

0

ae



2

y

0

2

2



2



x

0

ae



2

y

0

2

2a1

另有



x

0

ae



y

0





x

0

ae



y

0

4aex

0

22



2

2ex

0

3

<2>÷<1>得：



x

0

ae



2

y

0

2





x

0

ae



2

y

0

2

<1>、<3>联立解得：



x

0

ae



2

y

0

2



x

0

ae



2

y

0

2

r

1

aex

0

r

2

aex

0

点评：把<1>、<3>两式左边的两个根式看成两个未知数，构建方程组得解。

思路3：推敲

r

1



2



x

0

c



2

y

0

2

aex

0

的沟通渠道，应从消除差异做起，根

式中

y

0

理应代换。

2



x

0

yb1

由点M在椭圆上，易知



a

2



2

0

2



b

2



2

c

b

2

2

2

则

r

1

x2cx

0

cb

2

x

0





1

2



x

0

2a·x

0

a

a



a



a

2

0

22





ex

0



2

2aex

0

a

2

由

0e1，ax

0

a

，知

ex

0

a0

故

r

1

aex

0

同理

r

2

aex

0

点评：上述思路体现了先消元

(y

0

)

转换成关于

x

0

的二次三项式，再化成完全

平方式的思想。由a、e是常数与

ax

0

a

，容易推出

r

1(max)

ac

（

x

0

a

时取得），

r

1(min)

ac

（

x

0

a

时取得）。

思路4：椭圆的第二定义为求焦半径

r

1

铺设了沟通的桥梁。

如图，作椭圆的左准线

l

，作MH⊥

l

于H点

2



a

2



e

即

r

1

MF

1

MH·ex

0









·eaex

0

则

MH



c



同理可求得：

r

2

aex

0

点评：应用椭圆的第二定义求焦半径的优越性是将两点

M、F

1

的距离等价转化

成平行于x轴的直线上点M、H的距离轻松得解，是上述四条思路中的最佳途径。

MF

1

y

2

x

2

请你独立探求焦点在y轴上的椭圆

2



2

1



ab0



上任一点

M



x

0

，y

0



ab

2