(完整版)三元一次方程及其解法

2024年3月20日发(作者：模分析数学试卷)

(完整版)三元一次方程及其解法

三元一次方程组及其解法

1.三元一次方程的定义：含有三个未知数的一次整式方程

2。三元一次方程组：由三个一次方程(一元、二元或三元)组成并含有三个未知数的方程组叫做

三元一次方程组

3. 三元一次方程组的解：能使三个方程左右两边都成立的三个未知数的值

解题思路：利用消元思想使三元变二元，再变一元

4.

三元一次方程组的解法：用代入法或加减法消元,即通过消元将三元一次方程组转化为二元一

次方程组，再转化为一元一次方程．

例题解析

一、三元一次方程组之特殊型

①



xyz12



例1：解方程组



x2y5z22②



x4y③



分析：方程③是关于x的表达式，通过

代入消元法

可直接转化为二元一次方程组，因此确

定“消x”的目标.

解法1：代入法,消x。

把③分别代入①、②得





y2,

解得



z2.





5yz12④



6y5z22⑤

把y=2代入③，得x=8.



x8,



∴



y2,

是原方程组的解。



z2.



根据方程组的特点，可归纳出此类方程组为：

类型一：有表达式，用代入法型.

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针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z，因此利用①、②消z，也能达到消元构成二

元一次方程组的目的。

解法2：消z.

①×5得 5x+5y+5z=60 ④

④-② 得 4x+3y=38 ⑤

由③、⑤得





x8,

解得



y2.





x4y③



4x3y38⑤

把x=8，y=2代入①得z=2。



x8,



∴



y2,

是原方程组的解。



z2.



根据方程组的特点,可归纳出此类方程组为：

类型二：缺某元，消某元型.



2xyz15



例2：解方程组



x2yz16



xy2z17



①

②

③

分析:通过观察发现每个方程未知项的系数和相等；每一个未知数的系数之和也相等，即系

数和相等。具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组\"，可采取求和作差的方法较

简洁地求出此类方程组的解。

解:由①+②+③得4x+4y+4z=48，

即x+y+z=12 。④

①-④得 x=3,

②-④得 y=4，

③—④得 z=5，

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

x3,



∴



y4,

是原方程组的解。



z5.





xy20,



典型例题举例：解方程组



yz19,



xz21.



①

②

③

解:由①+②+③得2（x+y+z）=60 ，

即x+y+z=30 .④

④-①得 z=10，

④-②得 y=11，

④-③得 x=9，



x9,



∴



y11,

是原方程组的解.



z10.



根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为:

类型三：轮换方程组，求和作差型。



x:y:z1:2:7

例3：解方程组





2xy3z21

①

②

分析1：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验,看见比例式就

会想把比例式化成关系式求解,即由x:y=1:2得y=2x； 由x：z=1：7得z=7x.从而从形式上转



y2x,①



化为三元一次方程组的一般形式，即



z7x,②



2xy3z21.



，根据方程组的特点，可选用“有表

③

达式，用代入法\"求解。

解法1：由①得y=2x，z=7x ,并代入②，得x=1.

把x=1，代入y=2x，得y=2；

把x=1，代入z=7x，得 z=7.

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

x1,



∴



y2,

是原方程组的解.



z7.



分析2：由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k，因此由方程①x:y:z=1：2:7,可

设为x=k,y=2k，z=7k。从而也达到了消元的目的,并把三元通过设参数的形式转化为一元,可谓

一举多得。

解法2:由①设x=k,y=2k，z=7k，并代入②,得k=1.

把k=1，代入x=k，得x=1；

把k=1，代入y=2k,得y=2；

把k=1,代入z=7k,得 z=7。



x1,



∴



y2,

是原方程组的解。



z7.





xyz111①



典型例题举例：解方程组



y:x3:2②



y:z5:4③



分析1：观察此方程组的特点是方程②、③中未知项间存在着比例关系，由例3的解题经验,

易选择将比例式化成关系式求解，即由②得x = y； 由③得z=

y

.从而利用代入法求解。

解法1：略。

分析2：受例3解法2的启发，想使用设参数的方法求解，但如何将②、③转化为x：y:z

的形式呢？通过观察发现②、③中都有y项，所以把它作为桥梁,先确定未知项y比值的最小公

倍数为15,由②×5得y:x=15:10 ，由③×3得y:z=15:12,于是得到x：y：z=10:15:12,转化为

学生熟悉的方程组形式，就能解决了.

解法2：由②、③得 x：y:z=10:15：12.

设x=10k，y=15k,z=12k，并代入①，得k=3.

把k=3，代入x=10k,得x=30；

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4

2

3

4

5

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把k=3，代入y=15k，得y=45；

把k=3，代入z=12k，得 z=36.



x30,



∴



y45,

是原方程组的解.



z36.



根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：

类型四:遇比例式找关系式，遇比设元型.

二、三元一次方程组之一般型



3xyz4,



例4：解方程组



xyz6,



2x3yz12.



①

②

③

分析：对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点:一是确立消元目标——消哪

个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元

不乱”,为此归纳出：

（一）

消元的选择

1。选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元;

2。选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。

（二）

方程式的选择

采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。



3xyz4



解:



xyz6



2x3yz12



①

②

③

（明确消z,并在方程组中体现出来-—画线）

①+③ 得5x+2y=16， ④ (体现第一次使用在①③后做记号√）

②+③ 得3x+4y=18, ⑤ (体现第二次使用在②③后做不同记号△)

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5

由④、⑤得





5x2y16,④



3x4y18.⑤

解得





x2,



y3.

把x=2 ，y=3代人②，得 z=1。



∴



x2,



y3,

是原方程组的解。





z1.



2x4y①

典型例题举例：解方程组



3z9,





3x2y5z11,②







5x6y7z13.③

分析:通过比较发现未知项y的系数的最小公倍数最小，因此确定消

使用，达到消元求解的目的。

解：②×2 得 6x－4y+10z=22， ④

2x +4y+ 3z=9， ①

①+④ 得 8x +13z=31 。 ⑤

②×3 得 9x－6y+15z=33 ，⑥

5x－6y+7z =13， ③

⑥－③得 4x +8z =20 。

x +2z=5 。 ⑦

由⑤、⑦得





8x13z31,⑤



x2z5.⑦

解得





x1,



z3.

把x=—1 ，z=3代人① ,得

y

1

2

。

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y。以方程②作为桥梁

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