人教课标版高中数学选修4-5基础知识:柯西不等式

2024年1月8日发(作者：月考高中数学试卷分析)

柯西不等式

【基础知识】

1、什么是柯西不等式：

定理1：（柯西不等式的代数形式）设a,b,c,d均为实数，则

(a2b2)(c2d2)(acbd)2，其中等号当且仅当adbc时成立。

几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（a,b），B（c,d），那么它们的数量积为•acbd，

而||a2b2，||c2d2，所以柯西不等式的几何意义就|||||•|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则|||||•|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

3、定理3：（三角形不等式）设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则：

(x1x2)2(y1y2)2(x2x3)2(y2y3)2(x1x3)2(y1y3)2

思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？

4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设n为大于1的自然数，ai,bi（i1，2，…，n）为任意实数，则：aii1n2bi1n2i(aibi)2，其中等号当且仅当i1nbb1b2n时成立（当ai0时，约定bi0，i1，2，…，n）。

a1a2an柯西不等式有两个很好的变式：

2(ai)2ai变式1 设aiR,bi0(i1,2,,n), ，等号成立当且仅当

bbi1iinbiai(1in)

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2ai(ai)变式2 设ai，bi同号且不为0（i=1，2，…，n），则：，babi1iiin等号成立当且仅当b1b2bn。

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