柯西不等式知识点总结

2024年1月8日发(作者：中考有没有高中数学试卷)

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柯西不等式知识点总结

一、柯西〔Cauchy〕不等式：

a1b1a2b2anbn2a12a22an2b12b22bn2ai,biR,i1,2n

等号当且仅当a1a2an0或bikai时成立〔k为常数，i1,2n〕

现将它的证明介绍如下：

证明：构造二次函数

222f(x)a1xb1a2xb2anxbn

2222222 =a1a2anx2a1b1a2b2anbnxb1b2bn

 由构造知

fx0 恒成立

又2a12a2nan0

22b12b22bn20

4a1b1a2b2anbn4a12a2an222222 即a1b1a2b2anbna1

a2anb12b2bn2 当且仅当aixbi0i1,2n 即二、柯西不等式的简单应用

a1a2b1b2an时等号成立

bn柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式构造和谐，应用灵活广泛，常通过适当配凑，直接套用柯西不等式解题，常见的有两大类型：

1、证明相关数学命题

〔1〕证明不等式

a2b2c2例1 正数a,b,c满足abc1 证明

abc

3333 证明：利用柯西不等式

a2b2c221313123232323a2a2b2b2c2c2a2b2c2abc

a3b3c3abc2abc1

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又因为

abcabbcca 在此不等式两边同乘以2，再加上abc得：2222223a2b2c2a2b2c22ab2bc2acabc

2a322b2c2a3b3c3abca3b3c33a2b2c2

2a2b2c2故abc

333〔2〕三角形的相关问题

例2 设p是ABC的一点，x,y,z是p到三边a,b,c的距离，R是ABC外接圆的半径，

证明xyz1a2b2c2

2R 证明：由柯西不等式得：

xyzax111byczaxbyczabc111

abc记S为ABC的面积，那么

axbycz2S2abcabc

4R2Rxyz故不等式成立。

1abcabbcca1a2b2c2

abbcca2Rabc2R2R2、求解有关数学问题 常用于求最值

例3 实数a,b,c,d满足abcd3，

a2b3c6d5试求a 的最值

2222 解：由柯西不等式得，有

11222212b3c6dbcd

236 即由条件可得，

5a3a

22 解得，1a2当且仅当2b3c6d 时等号成立，

121316 代入b1,c11,d时，

amax2

3621b1,c,d时

amin1

33三、巧用柯西不等式的变形解题

很多高考数学问题的解决，如果仅从根底知识、根本公式的正面人手，就很难取得知识性的突破，而如果对根- -.可修编-

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底知识、根本公式稍作变形，就会大大降低问题的难度，到达化难为易、化繁为简、化陌生为熟悉的目的．而学习柯西不等式，仅了解柯西不等式的根本公式还是不够的，学生还必须掌握下面这个柯西不等式的变形公式，此公式也是权方和不等式的一种特殊情况，这样我们就可以在解题过程中更快更准地解决问题．

柯西不等式的变形公式： 约定biR,i1,2n

22aaan 当且仅当a1a2an等号成立

ana12a2有

12b1b2bnb1b2bnb1b2bn222a12a2an2分析：由柯西不等式可得



bbbaaa12n12nbbbn21例1 设x1,x2,,xnR,且x1x2xn1，

222xnxnx12x211 证明

x1x2x2x3xn1xnxnx12222xnxx12x21n 证明：由变形公式得：

x1x2x2x3xn1xnxnx12x1x2xn1

x1x2x2x3xnx12 例2 a，b>0，且a+b=1，求1／2a+1／b的最小值

解析：a，b>0，且a+b=1，由柯西不等知:112ab2/21ab222/2132

ab22 当且仅当

2/21311即a21,b22时等号成立

2

ab2abmin222 例3 已知a1b2b1a21,求证：ab1。

证明：由柯西不等式，得

a1b2b1a2a21a2b21b21

1b2当且仅当时，上式取等号，

2a1abab1a2•1b2,

a2b21a21b2,

于是

ab1 。

22有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态构造，认清其在的构造特征，就可以到达利用柯西不等式解题的目的。下面略举一例加以说明。

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例：设a1a2anan1,求证：

11110

a1a2a2a3anan1an1a1分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其构造，我们不妨改为证：

a1an1•1111,

anan1a1a2a2a3证明：为了运用柯西不等式，我们将a1an1写成

a1an1a1a2a2a3anan1于是

a1a2a2a3anan1•n21.111anan1a1a2a2a3

111a1an1•1aaaaaa223nn11即

1111,a1a2a2a3anan1a1an1故11110.

a1a2a2a3anan1an1a1我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。

例：求证：x1x2证明：222y12y222x1y12x2y22.

2222x2y12y22x12x2•y12y2

x21x22yy21x221由柯西不等式得

x2122x2•y12y2x1y1x2y2

2其中等号当且仅当x1ky1 ，x2ky2 时成立。

x2122x2y12y2x1y1x2y2

22y1y2222x1x2222222x1x2y1y22x1y1x2y2x1y1x2y222x1x2

22y1y2x1y1x2y2.22其中等号当且仅当x1ky1 ，x2ky2 时成立。

巧拆常数：

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例：设a、b、c为正数且各不相等。

2229

abbccaabc分析：∵a、b、c均为正

111∴为证结论正确只需证：2(abc)[]9

abbcca求证：而2(abd)(ab)(bc)(ca)

又9(111)

2证明：2(abc)(111)abbcca

111 [(ab)(bc)(ca)]()abbcca(111)29又a、b、c各不相等，故等号不能成立

∴原不等式成立。

重新安排某些项的次序：

例：a、b为非负数，a+b=1，x1,x2R

求证：(ax1bx2)(bx1ax2)x1x2

分析：不等号左边为两个二项式积，a,bR,x1,x2R，每个两项式可以使柯西

不等式，直接做得不到预想结论，当把节二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。

证：(ax1bx2)(bx1ax2) (ax1bx2)(ax2bx1)(ax1x2bx1x2)2

(ab)2x1x2x1x2 〔∵a+b=1〕

构造的改变从而到达使用柯西不等式：

例假设a>b>c

求证：114

abbcac分析：初见并不能使用柯西不等式，改造构造后便可使用柯西不等式了

ac(ab)(bc)ac∴ac0

∴结论改为(ac)(11)4

abbc证明：(ac)(1111)[(ab)(bc)]()abbcabbc

(11)24∴114

abbcac- -.可修编-

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添项：

例：a,b,cR

abc3

bccaab2abc分析：左端变形111

bccaab111(abc)()

bccaab9∴只需证此式即可

2求证：证明abcabc3(1)(1)(1)bccaCbbcaccb111 (abc)()bccaab1111

[(bc)(ca)(ab)]()2bccaab19 (111)222abc93 3bcacab22注：柯西不等式：a、bR，那么ab2ab

推论：(ab)()4(11) 其中a、bR

112ab111(abc)()9(111)2 其中a、b、cR

abc

例.设a,b,c为正数，且a+b+c=1,求证：

证明：左边=

=

=

=

例：a,bR，a+b=1,x1,x2R,求证：ax1bx2•bx1ax2x1x2

- -.可修编-

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分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所要证明的结论。假设把第二个小括号的前后项对调一下，情况就不同了。

证明：ax1bx2•bx1ax2

=ax1bx2•ax2bx1

ax1x2bx1x22

2 =abx1x2x1x2 。

例、设x1,x2,,xnR,求证：

2x12xxxnx1x2xn

x2x3xnx1 〔1984年全国高中数学联赛题〕

证明：在不等式的左端乘以因式x2x3xnx1，也即乘以因式

x1x2xn，由柯西不等式，得

2x12xxxnx2x3xnx1•(x2x3xnx1)

22xn1xn•xxn122xx12xx23xx2232xx22n1x1x•x22•x3xx32x1x2xn,2xn1xn•xn•x1xnx1

2x12xxxn于是x1x2xn .

x2x3xnx1在许多问题中，如果我们能够利用柯西不等式去解决，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新.

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