2024年4月8日发(作者：二下六单元数学试卷)

模型介绍

故事背景：米勒问题和米勒定理

1471

年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了

如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在

什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上

100

个著名的极值问题中第一个

极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题

又称之为“米勒问题”.

米勒问题：

已知点

A

，

B

是∠

MON

的边

ON

上的两个定点，点

C

是边

OM

上的动点，则当

C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大

张角或最大视角问题

米勒定理：

已知点

AB

是∠

MON

的边

ON

上的两个定点，点

C

是边

OM

上的一动点，则当

且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大.

证明：

如图

1

，设

C’

是边

OM

上不同于点

C

的任意一点，连结

A

，

B

，因为∠

AC’B

是

圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。

在△

AC

’

D

中

ADB

=

AC

’

D

+

DAC

’

所以

ADB

＞

AC

’

D

又因为

ACB

=

ADB

所以

ACB

＞

AC

’

D

米勒定理在解题中的应用

常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出

隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、

大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这

类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。

例题精讲

【例1】．平面直角坐标系内，已知点A（1，0），B（5，0），C（0，t）．当t＞0时，若∠

ACB最大，则t的值为（）

A．B．C．D．

变式训练

【变式1-1】．如图，在正方形ABCD中，边长为4，M是CD的中点，点P是BC上一个动


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