2024年1月24日发(作者：深圳高中跨栏数学试卷)
专题7 相交线、垂线
【要点梳理】
知识点一、邻补角与对顶角
1．邻补角：如果两个角有一条公共边,并且它们的另一边互为反向延长线,那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．
要点诠释：
(1)邻补角的定义既包含了位置关系,又包含了数量关系：“邻〞指的是位置相邻,“补〞指的是两个角的和为180°．
(2)邻补角是成对出现的,而且是“互为〞邻补角．
(3)互为邻补角的两个角一定互补,但互补的两个角不一定互为邻补角．
(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边,另一边互为反向延长线.
2. 对顶角及性质：
〔1〕定义：由两条直线相交构成的四个角中,有公共顶点没有公共边(相对)的两个角,互为对顶角．
〔2〕性质：对顶角相等．
要点诠释：
(1)由定义可知只有两条直线相交时,才能产生对顶角．
(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.
3. 邻补角与对顶角比照：
角的名称 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点
对顶角 ①两条直线相交形成的角；
②有一个公共顶点；
③没有公共边.
对顶角相等. ①都是两条直线相交而成的角；
②都有一个公共顶点；
③都是成对出现邻补角互补.
的.
①有无公共边；
②两直线相交时,对顶角只有2对；邻补角有4对.
邻补角
①两条直线相交而成；
②有一个公共顶点；
③有一条公共边.
知识点二、垂线
1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足．
要点诠释：
(1)记法：直线a与b垂直,记作：ab；
直线AB和CD垂直于点O,记作：AB⊥CD于点O.
(2) 垂直的定义具有二重性,既可以作垂直的判定,又可以作垂直的性质,即有：
AOC90°判定性质CD⊥AB．
2．垂线的画法：过一点画直线的垂线,可通过直角三角板来画,具体方法是使直角三角板的一条直角边和直线重合,沿直线左右移动三角板,使另一条直角边经过点,沿此直角边画直线,那么所画直线就为直线的垂线(如下图)．
要点诠释：
(1)如果过一点画射线或线段的垂线时,指的是它所在直线的垂线,垂足可能在射线的反向延长线上,也可能在线段的延长线上．
(2)过直线外一点作直线的垂线,这点与垂足间的线段为垂线段．
3．垂线的性质：
〔1〕在同一平面内,过一点有且只有一条直线与直线垂直．
〔2〕连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
要点诠释：
〔1〕性质〔1〕成立的前提是在“同一平面内〞,“有〞表示存在,“只有〞表示唯一,“有且只有〞说明了垂线的存在性和唯一性．
〔2〕性质〔2〕是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短．〞实际上,连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条,但只有一条最短,即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性〞解决问题．
4．点到直线的距离：
定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离．
要点诠释：
（1） 点到直线的距离是垂线段的长度,是一个数量,不能说垂线段是距离；
〔2〕求点到直线的距离时,要从条件中找出垂线段或画出垂线段,然后计算或度量垂线段的长度．
【典型例题】
类型一、邻补角与对顶角
【例】1．如下图,M、N是直线AB上两点,∠1＝∠2,问∠1与∠2,∠3与∠4是对顶角吗? ∠1与∠5,∠3与∠6是邻补角吗？
【答案与解析】
解：∠1和∠2,∠3和∠4都不是对顶角．∠1与∠5,∠3与∠6也都不是邻补角．
【总结升华】牢记两条直线相交,才能产生对顶角或邻补角．
举一反三：
【变式】判断正误：
〔1〕如果两个角有公共顶点且没有公共边,那么这两个角是对顶角. 〔 〕
〔2〕如果两个角相等,那么这两个角是对顶角.〔 〕
(3)有一条公共边的两个角是邻补角. 〔 〕
(4)如果两个角是邻补角,那么它们一定互补. 〔 〕
(5)有一条公共边和公共顶点,且互为补角的两个角是邻补角.〔 〕
【答案】(1)× 〔2〕× 〔3〕× 〔4〕√ 〔5〕×,反例：∠AOC为120°,射线OB为∠AOC的角平分线,∠AOB与∠AOC互补,且有边公共为AO,公共顶点为O,但它们不是邻补角.
【例】2.如下图,直线AB、CD相交于点O,∠1＝65°,求∠2、∠3、∠4的度数
【答案与解析】
解：∵ ∠1是∠2的邻补角,∠1＝65°,
∴ ∠2＝180°－65°＝115°．
又∵ ∠1和∠3是对顶角,∠2与∠4是对顶角
∴ ∠3＝∠1＝65°, ∠4＝∠2＝115°．
【总结升华】 (1)两条直线相交所成的四个角中,只要其中一个角,就可以求出另外三角；(2)求出∠2后用 “对顶角相等〞,求∠3和∠4．
举一反三：
【变式】如图,直线AB与CD交于点O,ON平分∠DOB,假设∠BOC=110°,那么∠AON的度数为 度．
【答案】145．
解：∵∠BOC=110°,
∴∠BOD=70°,
∵ON为∠BOD平分线,
∴∠BON=∠DON=35°,
∵∠BOC=∠AOD=110°,
∴∠AON=∠AOD+∠DON=145°.
【例】3. 任意画两条相交的直线,在形成的四个角中,两两相配共能组成几对角?各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类．
【答案与解析】
解：如图,
任意两条相交直线,两两相配共组成6对角,在这6对角中,它们的位置关系有两种：①有公共顶点,一边重合,另一边互为反向延长线；
②有公共顶点,角的两边互为反向延长线．
这6对角为∠1与∠2,∠1与∠3,∠1与∠4,∠2与∠3,∠2与∠4,∠3与∠4,其中∠1＝∠3,∠2＝∠4,∠1+∠2＝180°,∠3+∠4＝180°,∠1+∠4＝180°,∠2+∠3＝180°．在位置上∠1与∠3,∠2与∠4是对顶角,∠1与∠2,∠3与∠4,∠l与∠4,∠2与∠3是邻补角．
【总结升华】两条相交的直线,两两相配共组成6对角,这6对角中有：4对邻补角,2对对顶角
类型二、垂线
【例】4．以下语句中,正确的有 ( )
①一条直线的垂线只有一条；
②在同一平面内,过直线上一点有且仅有一条直线与直线垂直；
③两直线相交,那么交点叫垂足；
④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】正确的选项是：②④
【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.
举一反三：
【变式1】直线l外有一点P,那么点P到直线l的距离是( ).
A．点P到直线l的垂线的长度.
B．点P到直线l的垂线段.
C．点P到直线l的垂线段的长度.
D．点P到直线l的垂线.
【答案】C
【例】5. 如图,点O在直线AB上,CO⊥DO于点O,假设∠1=145°,那么∠3的度数为〔 〕
A．35°B．45°C．55°D．65°
【答案】C．
【解析】解：∵∠1=145°,
∴∠2=180°﹣145°=35°,
∵CO⊥DO,
∴∠COD=90°,
∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣35°=55°.
【总结升华】此题考查了垂线和邻补角的定义；弄清两个角之间的互补和互余关系是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40,
那么∠EOF=_______.
【答案】130°．
【例】6. 如下图,要把水渠中的水引到水池C,在渠岸AB的什么地方开沟,才能使沟最短?画出图来,并说明原因．
【答案与解析】
解：如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D．所以在点D沿CD开沟,才能使沟最短,原因是从直线外一点到直线上所有各点的连线中,垂线段最短．
【总结升华】 “如何开沟、使沟最短〞,实质上是如何过C点向AB引线段,使线段最短,这就是最熟悉的垂线的性质的应用．
举一反三：
【变式】(1)用三角尺或量角器画直线l的垂线,这样的垂线能画出几条?
(2)经过直线l上一点A画l的垂线,这样的垂线能画出几条?
(3)经过直线l外一点B画l的垂线,这样的垂线能画出几条?
【答案】
解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条．
【稳固练习】
一、选择题
1．如下图,∠1和∠2是对顶角的图形共有〔 〕
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】只有〔3〕中的∠1与∠2是对顶角．
2．以下四个表达中,正确的有( )
①相等的角是对顶角；②互补的角是邻补角；③两条直线相交,可构成2对对顶角；④对顶角、邻补角都有一个共同特点：两个角有公共的顶点．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解析】③④正确．
3．在同一平面内两条直线的位置关系可能是〔 〕
A．相交或垂直B．垂直或平行
C．平行或相交D．平行或相交或重合
【答案】C．
4．如下图,点A到BD的距离是指( )
A．线段AB的长度 B．线段AD的长度 C．线段AE D．线段AE的长度
【答案】D
5．在平面上,过直线上一点可以画这条直线的垂线的条数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
6.如图,AB⊥CD于点O,直线EF经过点O,假设∠1＝26°,那么∠2的度数是〔 〕
A．26° B．64° C．54° D．以上答案都不对
【答案】B
【解析】∠BOE＝90°－∠1＝64°,又∠AOF＝∠BOE＝64°．
二、填空题
7．四条直线两两相交,至多会有 个交点．
【答案】6．
【解析】如图,可看出四条直线两两相交,至多有6个交点．
8．如图,直线a,b相交,∠1＝60°,那么∠2＝________,∠3＝________,∠4＝________．
【答案】120°, 60°, 120°．
9．如下图,直线AB,CD,EF相交于点O,CD⊥AB,假设∠COE＝30°,那么∠AOE＝_____,∠AOF＝______．
【答案】60°, 120°
【解析】∠AOE＝90°－∠COE＝60°,
∠AOF＝∠AOD+∠DOF＝90°＋∠EOC＝90°+30°=120°．
10．如图,直线AB与CD的位置关系是________,记作________于点________,此时∠AOD＝______＝______＝______＝90°．
【答案】垂直,AB⊥CD, O,∠BOD, ∠BOC,∠AOC．
【解析】垂直的定义．
11.如图,∠AOB＝90°,那么AB BO；假设OA＝3 cm,OB＝2 cm,那么A点到OB的距离是________cm,点B到OA的距离是________cm；O点到AB上各点连接的所有线段中________最短．
【答案】＞, 3, 2, 垂线段．
【解析】点到直线的距离的定义
12．如下图,直线AB、CD相交于点O,OA平分∠EOC,∠EOC＝100°,那么∠BOD的度数是 ．
【答案】50°
【解析】由题意知：∠BOD＝∠AOC=1∠EOC＝50°．
2三、解做题
13.如图,OC⊥AB于点O,OD平分∠BOC,求∠COD的度数．
13.【解析】
解：∵OC⊥AB于点O,
∴∠BOC=90°,
∵OD平分∠BOC,
∴∠COD=45°．
14．如图,OA⊥OB,OC⊥OD,OE是OD的反向延长线．
(1) ∠AOC等于∠BOD吗？请说明理由；
(2)假设∠BOD＝32°,求∠AOE的度数．
【解析】
解： (1)∠AOC＝∠BOD．
理由：∵ OA⊥OB,OC⊥OD()．
∴ ∠AOB＝90°,∠COD＝90°．
即∠AOC+∠BOC＝90°,∠BOD+∠BOC＝90°,
∴ ∠AOC＝∠BOD(同角的余角相等)．
(2)∵ ∠AOB＝90°,∠BOD＝32°,
∴ ∠AOE＝180°－∠AOB－∠BOD＝180°－90°－32°＝58°．
15．如下图,小明家在A处,他要去在同一条路上的小丽家或小红家或小华家或小刚家问作业,那么最少要走多少米可以问到作业?
【解析】
解：小明到小红家问作业最近,所以小明至少要走15米．
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