2024年3月29日发(作者：蜀山三模数学试卷分析)
《数与式》
考点1 有理数、实数的概念
1、 实数的分类：有理数，无理数。
2、 实数和数轴上的点是___________对应的，每一个实数都可以用数轴上的________来表示，
反过来，数轴上的点都表示一个________。
3、 ______________________叫做无理数。一般说来，凡开方开不尽的数是无理数，但要注意，
用根号形式表示的数并不都是无理数（如
4
），也不是所有的无理数都可以写成根号的形
式（如
）。
1、 把下列各数填入相应的集合内：
7.5,15,4,
8
,
13
2
,
3
3
8,
,0.25,
5
0.1
有理数集{ }，无理数集{ }
正实数集{ }
2、 在实数
4,
3
,
2
2
3
0,21,64,
3
27,
1
中，共有_______个无理数
27
3、 在
3,3.14,,sin45,4
中，无理数的个数是_______
4、 写出一个无理数________，使它与
2
的积是有理数
解这类问题的关键是对有理数和无理数意义的理解。无理数与有理数的根本区别在于能否用既
约分数来表示。
考点2 数轴、倒数、相反数、绝对值
1、 若
a0
，则它的相反数是______，它的倒数是______。0的相反数是________。
2、 一个正实数的绝对值是____________；一个负实数的绝对值是____________；0的绝对值
是__________。
|x|
x0)
____(
____(x0)
3、 一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与______的距离。
1、___________的倒数是
1
；0.28的相反数是_________。
2、 如图1，数轴上的点M所表示的数的相反数为_________
M
-1 0
1
2
3
图1
3、
(1m)
2
|n2|0
,则
mn
的值为________
1
1
2
4、 已知
|x|4,|y|
1
x
，且
xy0
，则的值等于________
2
y
5、 实数
a,b,c
在数轴上对应点的位置如图2所示，下列式子中正确的有（ ）
c
a
b
-2 -1
0
1
3
2
图2
①
bc0
②
abac
③
bcac
④
abac
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6、 ①数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是______数轴上表示1和-3的两点之间的距离是
________。
②数轴上表示
x
和-1的两点A和B之间的距离是_______，如果|AB|=2,那么
x____________
1、 若
a,b
互为相反数，则
ab0
；反之也成立。若
a,b
互为倒数，则
ab1
；反之也成立。
2、 关于绝对值的化简
（1） 绝对值的化简，应先判断绝对值符号内的数或式的值是正、负或0，然后再根据定义把
绝对值符号去掉。
（2） 已知
|x|a(a0)
，求
x
时，要注意
xa
考点3 平方根与算术平方根
1、 若
x
2
a(a0)
，则
x
叫
a
做的_________，记作______；正数
a
的__________叫做算术平
方根，0的算术平方根是____。当
a0
时，
a
的算术平方根记作__________。
2、 非负数是指__________，常见的非负数有（1）绝对值
|a|___0
；（2）实数的平方
a
2
___0
；
（3）算术平方根
a___0(a0)
。
b_____,c_____
3、 如果
a,b,c
是实数，且满足
|a|b
2
c0
，则有
a_____,
1、下列说法中，正确的是（ ）
A.3的平方根是
3
B.7的算术平方根是
7
C.
15
的平方根是
15
D.
2
的算术平方根是
2
2、 9的算术平方根是______
3、
3
8
等于_____
4、
|x2|y30
，则
xy______
考点4 近似数和科学计数法
2
1、 精确位：四舍五入到哪一位。
2、 有效数字：从左起_______________到最后的所有数字。
3、 科学计数法：正数：_________________
负数：_________________
1、 据生物学统计，一个健康的成年女子体内每毫升血液中红细胞的数量约为420万个，用科
学计算法可以表示为___________
2、 由四舍五入得到的近似数0.5600的有效数字的个数是______，精确度是_______
3、 用小数表示：
710
5
＝_____________
考点5 实数大小的比较
1、 正数>0>负数；
2、 两个负数绝对值大的反而小；
3、 在数轴上，右边的数总大于左边的数；
4、 作差法：
若ab0，则ab；若ab0,则ab；若ab0,则ab.
1、 比较大小：
|3|_____
；12_____0
。
2、 应用计算器比较
3
11与5
的大小是____________
111
,,
的大小关系：__________________
234
1
2
4、 已知
0x1，那么在x,,x,x
中，最大的数是___________
x
3、 比较
考点6 实数的运算
1、
当a0时，a
0
_____
。
；a
n
______(n是正整数）
2、 今年我市二月份某一天的最低温度为
5C
，最高气温为
13C
，那么这一天的最高气温
比最低气温高___________
3、 如图1，是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为-1时，则输出的数值为____________
(3)
输入x 输出
2
4、 计算
2
（1）
(2)
11
(20043)
0
||
22
01
（2）
(12)()2cos30
1
2
3
考点7 乘法公式与整式的运算
1、 判别同类项的标准，一是__________；二是________________。
2、 幂的运算法则：（以下的
m,n
是正整数）
(1)a
m
a
n
_____
；
(2)(a
m
)
n
____
；
(3)(ab)
n
_____
；
(4)a
m
a
n
______(a0)
；
b
(5)()
n
______
a
3、 乘法公式：
；
(2)(ab)
2
__________
(1)(ab)(ab)________
__
；
(3)(ab)
2
_____________
4、 去括号、添括号的法则是_________________
1、下列计算正确的是（ ）
A.
x
2
x
3
x
5
B.
x
2
x
3
x
6
C.
(x
3
)
2
x
6
D.
x
6
x
3
x
2
2、 下列不是同类项的是（ ）
A.
2与
B.
2m与2n
C.
1
2
1
2
1
ab与a
2
b
D
x
2
y
2
与x
2
y
2
42
3、 计算：
(2a1)
2
(2a1)(2a1)
4、 计算：
(2x
2
y
2
)
2
(x
2
y
4
)
考点8 因式分解
因式分解的方法：
1、 提公因式：
2、 公式法：
a
2
b
2
__________
;a
2
2abb
2
________
a
2
2abb
2
_______
1、 分解因式
mnmn
2
______
，
a
2
4ab4b
2
______
2、 分解因式
x
2
1________
考点9：分式
4
1、 分式的判别：（1）分子分母都是整式，（2）分母含有字母；
2、 分式的基本性质：
bbmbm
(m0)
aamam
3、 分式的值为0的条件：___________________
4、 分式有意义的条件：_____________________
5、 最简分式的判定：_____________________
6、 分式的运算：通分，约分
1、 当x_______时，分式
x2
有意义
x5
x
2
4
2、 当x_______时，分式的值为零
x2
3、 下列分式是最简分式的是（ ）
6xy
2a
2
a
x
2
1x
2
1
A. B. C. D
3a
x1x1
ab
4、 下列各式是分式的是（ ）
1a16
B. C. D
a32
11
5、 计算：
1x1x
A.
a
2
a1
6、 计算：
a1
考点10 二次根式
1、 二次根式：如
a(a0)
2、 二次根式的主要性质：
__(a0)
（1）
(a)
2
_____(a0)
（2）
a
2
|a|
__(a0)
__(a0)
（3）
ab_______(a0,b0)
（4）
3、 二次根式的乘除法
b
____(a0,b0)
a
5
ab________(a0,b0)
a
b
_____a__0(,b0)
4、 分母有理化：
5、 最简二次根式：
6、 同类二次根式：化简到最简二次根式后，根号内的数或式子相同的二次根式
7、 二次根式有意义，根号内的式子必须大于或等于零
1、下列各式是最简二次根式的是（ ）
A.
12
B.
3x
C.
2x
3
D.
5
3
2、 下列根式与
8
是同类二次根式的是（ ）
A.
2
B.
3
C.
5
D.
6
3、 二次根式
3x4
有意义，则x的取值范围_________
4、 若
3x6
，则x＝__________
5、 计算：
3232233
6、 计算：
5a
2
4a
2
(a0)
7、 计算：
201
5
8、 数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：
(a1)
2
(b1)
2
(ab)
2
.
6
(第8题)
数与式考点分析及复习研究（答案）
考点1 有理数、实数的概念
1、 有理数集{
7.5,4,
2
3
,
3
8,0.25,0.1
5
}
无理数集{
15,
8
13
,
}
正实数集{
15,4,
8
,
2
3
133
,8,
,
2、 2
3、 2
4、 答案不唯一。如（
2
）
考点2 数轴、倒数、相反数、绝对值
1、
2
3
，
0.28
2、
2.5
3、
1
4、
8
5、 C
6、 3 ，4 ；
|x1|
，
3或1
考点3 平方根与算术平方根
1、 B
2、 3
3、
2
4、 6
考点4 近似数和科学计数法
1、
4.210
6
个
2、 4，万分位
3、 0.00007
考点5 实数大小的比较
1、< ， <
2、
5
3
11
3、
111
2
3
4
4、
1
x
考点6 实数的运算
1、
18C
2、 1
7
0.25,0.1
5
}
3、 （1）解：原式＝4＋
11
3
（2）解：原式＝1＋2＋
2
22
2
＝4 ＝3＋
3
考点7 乘法公式与整式的运算
1、 C
2、 B
3、
(2a1)
2
(2a1)(2a1)
解：原式＝
(2a1)(2a1(2a1))
=
(2a1)(2a12a1)
=
2(2a1)
=
4a2
4、
(2x
2
y
2
)
2
(x
2
y
4
)
解：原式＝
4x
4
y
4
(x
2
y
4
)
＝
4x
2
考点8 因式分解
1、
mn(1n),(a2b)
2
2、
(x1)(x1)
考点9：分式
1、
x5
2、
x2
3、 D
4、 A
5、
1
1x
1
1x
解：原式＝
1x1x
(1x)(1x)
(1x)(1x)
＝
1x1x
(1x)(1x)
＝
2
(1x)(1x)
6、
a
2
a1
a1
8
a
2
(a1)
解：原式＝
a1
a
2
(a1)(a1)
＝
a1a1
a
2
(a
2
1)
＝
a1
＝
1
a1
考点10 二次根式
1、 B
2、 A
3、
x
4
3
4、
2
5、
3232233
解：原式＝
3222333
＝
223
6、
5a
2
4a
2
(a0)
解：原式＝
5a2a
＝
3a
7、
201
5
＝
4
1
5
2
5
5
222
8、
(a1)(b1)(ab)
解：
a1,b1,ba
(第8题)
a10,b10,ab0
原式＝
(a1)(b1)(ab)
＝
a1b1ab
＝
2
9
方程与不等式
一、 方程与方程组
二、 不等式与不等式组
知识结构及内容： 1几个概念
2一元一次方程
（一）方程与方程组
3一元二次方程
4方程组
5分式方程
6应用
1、
概念
：方程、方程的解、解方程、方程组、方程组的解
2、
一元一次方程
：
解方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化一（未知项系数不能为零）
例题
：.解方程：
1x1x2x1
（2）
2x
（1）
x
3332
解：
（3） 关于x的方程mx+4=3x+5的解是x=1，则m= 。
解：
3、一元二次方程：
（1） 一般形式：
ax
2
bxc0
a0
（2） 解法：
直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法
bb
2
4ac
2
b4ac0
求根公式
axbxc0
a0
x
2a
2
例题
：
①、
解下列方程：
（1）x
2
－2x＝0； （2）45－x
2
＝0；
（3）(1－3x)
2
＝1； （4）(2x＋3)
2
－25＝0.
（5）（t－2）（t+1）=0； （6）x
2
＋8x－2＝0
(7 )2x
2
－6x－3＝0； （8）3（x－5）
2
＝2（5－x）
解：
10
②
填空：
（1）x
2
＋6x＋（ ）＝（x＋ ）
2
；
（2）x
2
－8x＋（ ）＝（x－ ）
2
；
3
x＋（ ）＝（x＋ ）
2
2
（3）
判别式△＝b²－4ac的三种情况与根的关系
当
0
时 有两个不相等的实数根 ，
（3）x
2
＋
当
0
时 有两个相等的实数根
当
0
时 没有实数根。
当△≥0时 有两个实数根
2
例题
．
①
．（无锡市）若关于x的方程x＋2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k满足
( )
A.k＞1 B.k≥1 C.k＝1 D.k＜1
②
（常州市）关于
x
的一元二次方程
x
2
(2k1)xk10
根的情况是（ ）
（A）有两个不相等实数根 （B）有两个相等实数根
（C）没有实数根 （D）根的情况无法判定
2
x
③
．（浙江富阳市）已知方程
2pxq0
有两个不相等的实数根，则
p
、
q
满足的
关系式是（ ）
2222
pq0pq0
p4q0p4q0
A、 B、 C、 D、
（4）根与系数的关系：x
1
＋x
2
=
bc
，x
1
x
2
=
a
a
例题
：
（浙江富阳市）已知方程
3x
2
2x110
的两根分别为
x
1
、
x
2
，则
（ ）
A、
2
B、
11
C、
2
D、
11
112
112
11
的值是
x
1
x
2
4、
方程组
：
代入消元代入消元
三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程
加减消元加减消元
二元(三元)一次方程组的解法：代入消元、加减消元
例题
：解方程组
解
xy7,
2xy8.
11
解方程组
解
x2y0
3x2y8
xy1
1
解方程组：
2
3
3x2y10
解
解方程组：
解
x＋y＝9
解方程组：
3（x＋y）＋2x＝33
xy1
2xy8
解
5、分式方程
：
分式方程的解法步骤：
（1） 一般方法：选择最简公分母、去分母、解整式方程，检验
（2） 换元法
例题：①、解方程：
41
1
的解为
x2
x
2
4
x
2
4
0
根为
2
x5x6
x
x
2
x
y
)2()30
时，若设②、当使用换元法解方程
(
，则原方程可变形
x1
x1x1
为（ ）
22
A．
y
＋2
y
＋3＝0 B．
y
－2
y
＋3＝0
C．
y
2
＋2
y
－3＝0 D．
y
2
－2
y
－3＝0
（3）、用换元法解方程
x
2
3x
（A）
y
3
4
时，设
yx
2
3x
，则原方程可化为（ ）
2
x3x
3311
40
（B）
y40
（C）
y40
（D）
y40
yy3y3y
6、应用：
（1）分式方程（行程、工作问题、顺逆流问题）
（2）一元二次方程（增长率、面积问题）
（3）方程组实际中的运用
12
例题：①轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流
的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.（提示：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速
度=静水速度-水流速度）
解：
②乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城.已知A、C两城的距离为450
千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10
千米/时，结果两辆车同时到达C城.求两车的速度
解
③某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百
分率.（精确到0.1%）
解
④
已知等式 (2A-7B) x+(3A-8B)=8x+10对一切实数x都成立，求A、B的值
解
⑤
某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款,共捐款100元.捐款情况如下表：
捐款（元）
人 数
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚.
若设捐款2元的有
x
名同学,捐款3元的有
y
名同学,根据题意,可得方程组
A、
解
1
6
2
3
4
7
xy27
2x3y66
B、
xy27
2x3y100
C、
xy27
xy27
D、
3x2y100
3x2y66
⑥已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数.
13
解
⑦一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，
折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正
方形的边长.
解：
1
几个概念
（二）不等式与不等式组
2
不等式
3不等式（组）
1、几个概念
：不等式（组）、不等式（组）的解集、解不等式（组）
2、不等式
：
（1）怎样列不等式：
1．掌握表示不等关系的记号
2．掌握有关概念的含义，并能翻译成式子．
(1)和、差、积、商、幂、倍、分等运算．
(2)“至少”、“最多”、“不超过”、“不少于”等词语．
例题：用不等式表示：
①a为非负数，a为正数，a不是正数
解：
②
(2)8与y的2倍的和是正数；
(3)x与5的和不小于0；
(5)x的4倍大于x的3倍与7的差；
14
解：
（2）不等式的三个基本性质
不等式的性质1：如果a>b，那么a＋c>b＋c，a－c>b－c
推论：如果a＋c>b，那么a>b－c。
不等式的性质2：如果a>b，并且c>0，那么ac>bc。
不等式的性质3：如果a>b，并且c<0，那么ac （3） 解不等式的过程，就是要将不等式变形成x>a或x 步骤：（与解一元一次方程类似） 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化一 （注：系数化一时，系数为正不等号方向不变；系数为负方向改变） 例题：① 解不等式 （1－2x）> 1 3 3(2x1) 2 解： ②一本有300页的书，计划10天内读完，前五天因各种原因只读完100页.问从第六天起，每 天至少读多少页？ 解： （4） 在数轴上表示解集：“大右小左”“” （5） 写出下图所表示的不等式的解集 3、不等式组 ：求解集口诀：同大取大，同小取小，交叉中间，分开两边 例题：① 不等式组 x2, x2, x3, x3, x2, x3, x2, x3, 数轴表示 解集 15 ② 例题：如果a>b，比较下列各式大小 11 b ，（3） 2a 2b 3 3 （4） 2a1 2b1 ，（5） a1 b1 （1） a3 b3 ，（2） a ③ 3 x1 x3 8 不等式组 2x11x 的解集应为（ ） 1 2 3 A、 x2 B、 2x 解 ④ 求不等式组 2 C、 2x1 D、 x2 或 x ≥1 7 2≤3x－7<8的整数解。 解： 课后练习： 1、下面方程或不等式的解法对不对？ （1） 由－x＝5，得x＝－5；（ ） （2） 由－x>5，得x>－5；（ ） （3） 由2x>4，得x<－2；（ ） （4） 由－ 1 ≤3，得x≥－6。（ ） 2 2、判断下列不等式的变形是否正确： （1） 由a （2） 由x>y，且m 0，得－ xy < ；（ ） m m （3） 由x>y，得xz 2 > yz 2 ；（ ） （4） 由xz 2 > yz 2 ，得x>y；（ ） 3、把一堆苹果分给几个孩子，如果每人分3个，那么多8个；如果前面每人分5个， 那么最后一人得到的苹果不足3个，问有几个孩子？有多少只苹果？ 辅导班方程与不等式资料答案： 16 例题 ：.解方程： （1）解：（ x=1） （x=1） （3） 解： （m=4 ） 例题 ： ①、 解下列方程： 解： （1）（ x 1= 0 x 2= 2 ） （2） （ x 1= 3√5 x 2= — 3√5 ） （3）（ x 1= 0 x 2= 2／3 ） （4）（ x 1= — 4 x 2= 1 ） （5）（ t 1= — 1 t 2= 2 ） （6）（x 1= — 4+3√2 x 2= — 4 — 3√2 ） （7）（ x 1= （ 3+√15 ） /2 x 2= （ 3 — √15 ） /2 ） （8）（ x 1= 5 x 2= 3/13 ） ② 填空： （1）x 2 ＋6x＋（ 9 ）＝（x＋ 3 ） 2 ； （2）x 2 －8x＋（ 16 ）＝（x－ 4 ） 2 ； 3 x＋（ 9/16 ）＝（x＋ 3/4 ） 2 2 例题 ． ① ． ( C ) ② B ③ ．（A） bc （4）根与系数的关系：x 1 ＋x 2 = ，x 1 x 2 = a a 例题 ： （ A ） （3）x 2 ＋ 例题 ：解方程组 xy7, 解得： x=5 2xy8. y=2 解方程组 x2y0 解得： x=2 3x2y8 y=1 xy1 1 解方程组： 2 解得： x=3 3 3x2y10 y=1/2 解方程组： xy1 解得 ： x=3 2xy8 y=2 x＋y＝9 解方程组： 解得： x=3 3（x＋y）＋2x＝33 y=6 例题：①、解方程： 41 1 的解为 （ x = -1 ） x2 x 2 4 17 x 2 4 0 根为 （ x = 2 ） x 2 5x6 ②、（ D ） （3）、（ A ） 例题：①解：设船在静水中速度为x千米/小时 依题意得：80/（x+3）= 60/(x-3) 解得:x=21 答：（略） ②解：设乙车速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x+10）千米/小时 依题意得：450/（x+10）=400/x 解得x=80 x+1=90 答：（略） ③解：设原零售价为a元，每次降价率为x 依题意得：a(1-x )²=a/2 解得：x≈0.292 答：（略） ④ 解 ： A=6/5 B= -4/5 ⑤ 解：A ⑥解：三个连续奇数依次为x-2、x、x+2 依题意得：（x-2）² + x² +（x+2）² =371 解得：x=±11 当x=11时，三个数为9、11、13； 当x= —11时，三个数为 —13、—11、—9 答（略） ⑦解：设小正方形的边长为x cm依题意：（60-2x）（40-2x）=800 解得x1=40 （不合题意 舍去） x2=10 答（略） 例题：用不等式表示：①a为非负数，a为正数，a不是正数 解： a≥0 a﹥0 a≤0 ② 解：（1）2x/3 —5＜1 （2）8+2y＞0 （3）x+5≥0 （4）x/4 ≤2 （5）4x＞3x—7 （6）2（x—8）/ 3 ≤ 0 13(2x1) 例题：① 解不等式 （1－2x）> 32 解得:x＜1/2 ②解：设每天至少读x页 依题意（10-5）x + 100 ≥ 300 解得x≥40 答（略） （6） 写出下图所表示的不等式的解集 x≥ -1/2 x＜0 例题：① ② 例题：如果a>b，比较下列各式 大小 11 ＞ b ，（3） 2a ＜ 2b 3 3 （4） 2a1 ＞ 2b1 ，（5） a1 ＜ b1 ③ （ C ） ④ 求不等式组2≤3x－7<8的整数解。解得：3≤x＜5 （1） a3 ＞ b3 ，（2） a 18 课后练习： 1、下面方程或不等式的解法对不对？ （5） 由－x＝5，得x＝－5；（ 对 ） （6） 由－x>5，得x>－5；（错 ） （7） 由2x>4，得x<－2；（ 错 ） （8） 由－ 1 x≤3，得x≥－6。（对 ） 2 2、判断下列不等式的变形是否正确： （5） 由a （6） 由x>y，且m 0，得－ xy < ；（ 错 ） m m （7） 由x>y，得xz 2 > yz 2 ；（ 错 ） （8） 由xz 2 > yz 2 ，得x>y；（对 ） 3、把一堆苹果分给几个孩子，如果每人分3个，那么多8个；如果前面每人分5个， 那么最后一人得到的苹果不足3个，问有几个孩子？有多少只苹果？ 解：设有x个孩，依题意：3x+8 - 5（x-1）＜3 解得5＜x≤6.5 X=6 答（略） 19 函数及图象 学校： 姓名： 一、学习的目标：掌握正、反比例、一次函数、二次函数的图象及性质 二 、知识点归纳： 1、平面直角坐标系：平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐 标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标。在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形” （平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来。 2、函数的概念：设在某个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个 确定的值，y都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。 3 、自变量的取值范围 ：对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义。对于纯数学问题，自 变量取值应保证数学式子有意义。 4、正比例函数： 如果y=kx(k是常数，k≠0)，那么，y叫做x的正比例函数． 5、、正比例函数y=kx的图象： 过（0，0），（1，K）两点的一条直线． 6、正比例函数y=kx的性质 (1)当k>0时，y随x的增大而增大 (2)当k<0时，y随x的增大而减小 20 7、反比例函数及性质 （1）当k>0时，在每个象限内分别是y随x的增大而减小； （2）当k<0时，在每个象限内分别是y随x的增大而增大． 8、一次函数 如果y=kx+b(k,b是+常数，k≠0),那么y叫做x的一次函数． 9、一次函数y=kx+b的图象 10、一次函数y=kx+b的性质 （ 1）当k>0时，y随x的增大而增大； （2）当k<0时，y随x的增大而减小． 21 9、二次函数的性质 （1）函数y=ax 2 +bx+c(其中a、b、c是常数，且a 0)叫做的二次函数。 b 2 4acb 2 （2）利用配方，可以把二次函数表示成y=a(x+)+或y=a(x-h) 2 +k的形式 2a 4a （3）二次函数的图象是抛物线，当a＞0时抛物线的开口向上，当a＜0时抛物线开口向 下。 抛物线的对称轴是直线x=- b 或x=h 2a b 4acb 2 抛物线的顶点是(-,)或(h,k) 2a 4a 三、学习的过程： 分层练习（A组） 一、选择题： 1．函数 yx1 中，自变量 x 的取值范围是（ ） A． x ＜1 B． x ＞1 C． x ≥1 D． x ≠1 2．在函数 中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3．在函数 y 5 x3 中，自变量x的取值范围是 （A）x≥3 （B）x≠3 （C）x>3 （D）x<3 4. 点P（-1，2）关于y轴对称的点的坐标是（ ）． 22 A．（1，2） B．（-1，2） C．（1，-2） D．（-1，-2） 5. 点M（1，2）关于x轴对称点的坐标为（ ） A、（－1，2） B、（－1，－2） C、（1，－2） D、（2，－1） 6．在直角坐标系中，点 一定在（ ） A. 抛物线 C. 直线 上 B. 双曲线 上 D. 直线 上 上 k (k0) 的图象经过点（-1，2），则k的值为 x 11 A．-2 B． C．2 D． 2 2 7. 若反比例函数 y 8． 函数y=-x+3的图象经过（ ） （A）第一、二、三象限 （B）第一、三、四象限 （C）第二、三、四象限 （D）第一、二、四象限 9．函数 y ＝2 x -1的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10、如图所示，函数 yx2 的图象最可能是（ ） (A) (B) (C) (D) 11．为解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价。若设平均 每次降价的百分率为x，该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系式 是（ ） （A）y＝2m(1－x) （B）y＝2m(1＋x) （C）y＝m(1－x) 2 （D）y＝m(1＋x) 2 13．一辆汽车由淮安匀速驶往南京，下列图象中，能大致反映汽车距南京的路程s（千米）和 行驶时间t（小时）的关系的是( ) s ss s O O O tt t O t A BC D 23 14． 8、某小工厂现在年产值150万元，计划今后每年增加20万元，年产值 y （万元）与年 数 x 的函数关系式是（ ） A． y150x20 B． y152x C． y15020x D． y20x 15．关于函数 y2x1 ，下列结论正确的是（ ） （A）图象必经过点（﹣2，1） （B）图象经过第一、二、三象限 （C）当 x 1 时， y0 （D） y 随 x 的增大而增大 2 16．一次函数 y = ax + b 的图像如图所示， 则下面结论中正确的是（ ） A． a ＜0, b ＜0 B． a ＜0, b ＞0 C． a ＞0, b ＞0 D． a ＞0, b ＜0 17．若反比例函数 y k3 的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则有( ) x A.k≠0 B.k≠3 C.k<3 D.k>3 18． 函数 y 1 x1 的图象与坐标轴围成的三角形的面积是（ ） 2 A．2 B．1 C．4 D．3 19．抛物线 y A、x＝－2 1 2 xx4 的对称轴是（ ） 4 B、x＝2 C、x＝－4 D、x＝4 20．抛物线y=2(x-3) 2 的顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 二、填空题： 2 yx2x3 与 x 轴分别交 A 、 B 两点，则 AB 的长为________． 1.抛物线 2．直线 y 21 x 32 不经过第_______象限． 24 3．若反比例函数 y k 图象经过点 A (2，－1)，则 k ＝_______． x 4．若将二次函数y=x 2 -2x+3配方为y=(x-h) 2 +k的形式，则y= . 5．若反比例函数 y 6．函数 y k 的图象过点（3，-4），则此函数的解析式为 . x 1 的自变量x的取值范围是 。 2x3 7．写出一个图象经过点(1，一1)的函数解析式： ． 8．已知一次函数 y2xb ，当 x =3时， y =1，则b=__________ 9．已知点P（－2，3），则点P关于x轴对称的点坐标是（ , ）。 10．函数 yaxb 的图像如图所示，则y随 x 的增大而 。 11．反比例函数 y 12．函数 y3x 2 5 的图像在 象限。 x 4x5 中自变量x的取值范围是______________。 2x1 k (x0) 的图象在第一象限．（只需填一个数） x 13．当k = ________时,反比例函数 y 14． 函数y=中自变量x的取值范围是_____. 15．若正比例函数 y = mx ( m ≠0)和反比例函数 y = n ( n ≠0)的图象都经过点(2,3)，则 x m =______， n =_________ . 三、解答题： 1、求下列函数中自变量x的取值范围： 5x7 ； （2）y=x 2 -x-2； 2 3 （3）y=； （4）y= x3 4x8 （1）y= 解： （1） （2） 25 （3） （4） 2、分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围： （1）某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y（元）关于用电度数x的函数关系式； （2）已知等腰三角形的面积为20cm 2 ，设它的底边长为x（cm），求底边上的高y（cm）关于 x的函数关系式； （3）在一个半径为10 cm的圆形纸片中剪去一个半径为r（cm）的同心圆，得到一个圆环.设 圆环的面积为S（cm 2 ），求S关于r的函数关系式. 3.已知弹簧的长度 y（厘米）在一定的限度内是所挂重物质量 x（千克）的一次函数．现已测 得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米。求这个 一次函数的关系式。 分析 已知y与x的函数关系是一次函数，则解析式必是 y 的形式，所以要 求的就是 和b的值。而两个已知条件就是x和y的两组对应值，也就是当x＝ 时， y＝6，即得到点（ ，6）；当x＝4时，y＝7.2，即得到点（4，7.2）。可以分别将两个点的 坐标代入函数式，得到一个关于k,b的方程组，进而求得 和b的值。 解 设所求函数的关系式是y＝kx＋b，根据题意，得 解这个方程组，得 k b 所以所求函数的关系式是 。 运用待定系数法求解下题 26 4.已知一次函数的图象如下图，写出它的关系式。 分析：由图可知直线经过两点（ ， ）、（ ， ） 解： 5、一次函数中，当 x1 时， y3 ；当 x1 时， y7 ，求出相应的函数关系式。 解：设所求一次函数为 ，则依题意得 k ∴解方程组得 ∴所求一次函数为 b 6、已知一次函数y= kx+b的图象经过点（-1，1）和点（1，-5），求 （1）函数的解析式 （2）当x=5时，函数y的值。 四．综合题：（3分+2分+3分+4分） 已知一个二次函数的图象经过A(-2, 53 )、B(0, )和C(1,-2)三点。 2 2 （1）求出这个二次函数的解析式； （2）通过配方，求函数的顶点P的坐标； 27 （3）若函数的图象与x轴相交于点E、F，（E在F的左边），求出E、F两点的坐标。 （4）作出函数的图象并根据图象回答：当x取什么时，y＞0,y＜0,y=0 28 函数及图象答案 分层练习（A组） 一． 选择题：C B C A C D A D B C C B C D A C C B C 二． 填空题： 1．4 2. 三 3. –2 4.y=(x-1)+2 5. y= - 123 6. x x2 1 且x 1 2 7. y=-x等 8.7 9. (-2,-3) 10. 减小 11. 二、四 13. -1等 14.x＞ 15. 3 6 2 三． 解答题： 1．（1）一切实数 （2）一切实数 （3）x 2 (4)x＞-3 2． (1)y =0.5x (x＞0) (2)y= 3.分析：kx+b k 0 0 k 解： 40 2 (3)s=100 - r(0＜r＜10) x b6 k0.3 y=0.3x+6 4kb7.2 b6 4.分析：（2，0） （0，-3） kxb3 3 3 解：y=kx+b k y=x-3 2 2 b3 b3 5.解：y=kx+b 5．（1） kxb3 b5 y=-2x+5 kb7k2 b2 y=-3x-2 k3 kb1 kb5 (2) y=-17 四. ① y=0.5x-x-1.5 ② y=0.5(x-1)-2 p(1,-2) ③ E( -1,0 ) F(3,0) ④ 图略。当X＜-1或X＞3时y＞0 .当-1＜X＜3时y＜0 当X=-1，X=3时y=0 22 29 统计与概率 学校 姓名 一、知识归纳与例题讲解： 1、总体，个体，样本和样本容量。注意“考查对象”是所要研究的数据。 例1：为了了解某地区初一年级7000名学生的体重情况，从中抽取了500名学生的体重， 就这个问题来说，下面说法中正确的是（ ） （A）7000名学生是总体 （B）每个学生是个体 （C）500名学生是所抽取的一个样本 （D）样本容量是500 例2：某市今年有9068名初中毕业生参加升学考试，从中抽出300名考生的成绩进 行分析。在这个问题中，总体是__________________________；个体是___ ________；样本是_______________________；样本容量是__________. 2、中位数，众数，平均数，加权平均数，注意区分这些概念。 相同点：都是为了描述一组数据的集中趋势的。 不同点：中位数——中间位置上的数据（当然要先按大小排列） 众数——出现的次数多的数据。 例3：某校篮球代表队中，5名队员的身高如下（单位：厘米）：185，178，184，183，180， 则这些队员的平均身高为（ ） （A）183 （B）182 （C）181 （D）180 例4：已知一组数据为3，12，4，x，9，5，6，7，8的平均数为7，则x＝ 例5：某班第二组男生参加体育测试，引体向上成绩（单位：个）如下： 6 9 11 13 11 7 10 8 12 这组男生成绩的众数是____________，中位数是_________。 3、方差，标准差与极差。方差：顾名思义是“差的平方”，因有多个“差的平方”，所以要求 平均数，弄清是“数据与平均数差的平方的平均数”，标准差是它的算术平方根。 会用计算器 计算标准差与方差。 例6：数据90，91，92，93的标准差是（ ） 555 （A）2 （B） （C） （D） 442 例7：甲、乙两人各射靶5次，已知甲所中环数是8、7、9、7、9，乙所中的环数的平 均数x＝8，方差S 2 乙 ＝0.4，那么，对甲、乙的射击成绩的正确判断是（ ） （A）甲的射击成绩较稳定 （B）乙的射击成绩较稳定 （C）甲、乙的射击成绩同样稳定 （D）甲、乙的射击成绩无法比较 例8：一个样本中，数据15和13各有4个，数据14有2个，求这个样本的平均数、 方差、标准差和极差（标准差保留两个有效数字） 4、频数，频率，频率分布，常用的统计图表。 30 例9：第十中学教研组有25名教师，将他的年龄分成3组，在38～45岁组内有8名教师， 那么这个小组的频率是（ ） （A）0.12 （B）0.38 （C）0.32 （D）3.12 例10：如图是某校初一年学生到校方式的条形统计图，根据 图形可得出步行人数占总人数的( ) A．60%； B．50%； C．30%； D．20%. 例11：在市政府举办的“迎奥运登山活动”中，参加白云山景区登山活动的市民约有12000 人，为统计参加活动人员的年龄情况，我们从中随机抽取了100人的年龄作为样本，进行数据 处理，制成扇形统计图和条形统计图（部分）如下： （1）根据图①提供的信息补全图②； （2）参加登山活动的12000余名市民中，哪个年龄段的人数最多？ （3）根据统计图提供的信息，谈谈自己的感想．（不超过30字） 5、确定事件（分为必然事件、不可能事件）、不确定事件（称为随机事件或可能事件）、概率。 并能用树状图和列表法计算概率； 例12：下列事件中，属于必然事件的是（ ） A、明天我市下雨 B、抛一枚硬币，正面朝上 C、我走出校门，看到的第一辆汽车的牌照的末位数字是偶数 D、一口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球 例13：用列表的方法求下列概率：已知 |a|2 ， |b|5 ．求 |ab| 的值为7的概率． 例14：画树状图或列表求下列的概率：袋中有红、黄、白色球各一个，它们除颜色外其余 都相同，任取一个，放回后再任取一个．画树状图或列表求下列事件的概率． (1)都是红色 (2)颜色相同 (3)没有白色 31 6、统计和概率的知识和观念在实际中的应用。能解决一些简单的实际问题。 例15：下列抽样调查： ①某环保网站就“是否支持使用可回收塑料购物袋”进行网上调查; ②某电脑生产商到当地一私立学校向学生调查学生电脑的定价接受程度; ③为检查过往车辆的超载情况，交警在公路上每隔十辆车检查一辆; ④为了解《中考指要》在学生复习用书中受欢迎的程度，随机抽取几个学校的初三年级中的几 个班级作调查. 其中选取样本的方法合适的有：（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 例16：某农户在山上种脐橙果树44株，现进入第三年收获。收获时，先随机采摘5株果 树上的脐橙，称得每株果树上脐橙重量如下（单位：kg）：35，35，34，39，37。 ⑴试估计这一年该农户脐膛橙的总产量约是多少？ ⑵若市场上每千克脐橙售价5元，则该农户这一年卖脐橙的收入为多少？ ⑶已知该农户第一年果树收入5500元，根据以上估算第二年、第三年卖脐橙收入的年平均增 长率。 二、达标训练 （一） 选择题 1、计算机上，为了让使用者清楚、直观地看出磁盘“已用空间”与“可用空间”占“整个磁 盘空间”的百分比，使用的统计图是( ) A 条形统计图 B 折线统计图 C 扇形统计图 D 条形统计图或折线统计图 2、 小明把自己一周的支出情况，用右图所示的统计图来表示，下 面说法正确的是 （ ） A．从图中可以直接看出具体消费数额 B．从图中可以直接看出总消费数额 C．从图中可以直接看出各项消费数额占总消费额的百分比 D．从图中可以直接看出各项消费数额在一周中的具体变化情况3、 下列事件是随机事件的是（ ） （A）两个奇数之和为偶数， （B）三条线段围成一个三角形 32 （C）广州市在八月份下了雪， （D）太阳从东方升起。 4、下列调查方式合适的是 ( ) A．为了了解炮弹的杀伤力，采用普查的方式 B．为了了解全国中学生的睡眠状况，采用普查的方式 C．为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式 D．对载人航天器“神舟六号”零部件的检查，采用抽样调查的方式 5、下列事件：①检查生产流水线上的一个产品，是合格品.②两直线平行，内错角相等.③三 条线段组成一个三角形.④一只口袋内装有4只红球6只黄球，从中摸出2只黑球.其中属于确 定事件的为（ ） A、②③ B、②④ C、③④ D、①③ 6、甲、乙、丙三人随意排成一列拍照，甲恰好排在中间的概率（ ） 214 （A） （B） （C） （D）以上都不对 939 7、从1,2,3,4,5的5个数中任取2个，它们的和是偶数的概率是（ ） 112 （A） （B） （C） （D）以上都不对 1055 （二） 填空题 1、在一个班级50名学生中，30名男生的平均身高是1.60米，20名女生的平均身高是1.50 米，那么这个班学生的平均身高是________米. 2、已知一个样本为1，2，2，－3，3，那么样本的方差是_______；标准差是_________. 3、将一批数据分成五组，列出频数分布表，第一组频率为0.2，第四组与第二组的频率之和 为0.5，那么第三、五组频率之和为_________. 4、已知数据x 1 ,x 2 ,x 3 的平均数是m，那么数据3x 1 ＋7，3x 2 ＋7，3x 3 ＋7的平均数等于_________. 5、 装有5个红球和3个白球的袋中任取4个，那么取到的“至少有1个是红球”与“没有红 球”的概率分别为 与 6、 有甲、乙两把不相同的锁，甲锁配有2把钥匙，乙锁配有1把钥匙，事件A为“从这3把 钥匙中任选2把，打开甲、乙两把锁”，则P（A）＝ 7、 某名牌衬衫抽检结果如下表： 抽检件数 不合格件数 10 0 20 1 100 3 150 4 200 6 300 9 如果销售1000件该名牌衬衫，至少要准备 件合格品，供顾客更换； 8、随意地抛掷一只纸可乐杯，杯口朝上的概率约是0.22，杯底朝下的概率约是 0.38，则横卧的概率是 ； 9、某篮球运动员投3分球的命中率为0.5,投2分球的命中率为0.8,一场比赛中据说他投了 20次2分球, 投了6次3分球,估计他在这场比赛中得了 分; 10、由1到9的9个数字中任意组成一个二位数（个位与十位上的数字可以重复），计算： ① 个位数字与十位数字之积为奇数的概率 ； ②个位数字与十位数字之和为偶数的概率 ； 33 ③个位数字与十位数字之积为偶数的概率 ； 11、某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示： 射击次数（n） 击中靶心次数(m) m 击中靶心频率（ ） n 是 ； 12、某同学进行社会调查，随机抽查了某个地区的20个家庭的收入情况，并绘制了统计图.请你根 据统计图给出的信息回答： (1)填写完成下表： 年收入（万 元） 家庭户数 0.6 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 9.7 10 8 20 19 50 44 100 92 200 178 500 … 455 … … 请填好最后一行的各个频率，由此表推断这个射手射击1次，击中靶心的概率的 这20个家庭的年平均收入为______万元； (2)样本中的中位数是______万元，众数是______ 万元； (3)在平均数、中位数两数中，______更能反映这 个地区家庭的年收入水平. （三）解答题 1、从同一家工厂生产的20瓦日光灯中抽出6支，40瓦日光灯中抽出8支进行使用寿命（单 位：小时）测试，结果如下： 20瓦 40瓦 2、 某样本数据分为五组，第一组的频率是0.3，第二、三组的频率相等，第四、五组的频率 之和为0.2，则第三组的频率是多少？ 3、 小明与小刚做游戏，两人各扔一枚骰子.骰子上只有l、2、3三个数字．其中相对的面上 的数字相同．规则规定．若两枚骰子扔得的点数之和为质数，则小明获胜，否则，若扔得 的点数之和为合数，则小刚获胜，你认为这个游戏公平吗?对谁有利?怎样修改规则才能使 游戏对双方都是公平的? 34 457 466 443 452 459 438 451 467 464 455 438 459 464 439 哪种日光灯的寿命长？哪种日光灯的质量比较稳定？ 三、自我检测 1、 一个班的学生中，14岁的有16人，15岁的有14人，16岁的有8 人，17岁的有4人。这 个班学生的平均年龄是______岁。 2、 布袋里有1个白球和2个红球，从布袋里取两次球，每次取一个，取出后放回， 则两次 取出都是红球的概率是 。 3、 如果数据x 1 ,x 2 ,x 3 ,…x n 的的平均数是x，则(x 1 - x)+(x 2 - x)+…+(x n -x)的值等 于 。 4、抛掷两枚分别标有1，2，3，4的四面体骰子. 写出这个实验中的一个可能事件是 ______________________________； 写出这个实验中的一个必然事件是________________________________; 5、从全市5 000份试卷中随机抽取400份试卷，其中有360份成绩合格，估计全市成绩合格 的人数约为 人． 6、一只不透明的布袋中有三种小球（除颜色以外没有任何区别），分别是2个红球，3个白球 和5个黑球，每次只摸出一只小球，观察后均放回搅匀．在连续9次摸出的都是黑球的情况下， 第10次摸出红球的概率是 ． 7、四张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一 张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为( ) A．1/4 B．1/2 C．3/4 D．1 8、从1至9这九个自然数中任取一个，是2的倍数也是3的倍数的概率是（ ） 1225 （A） （B） （C） （D） 9939 9、数学老师布置10道选择题作为课堂练习，课代表 班同学的答题情况绘制成条形统计图（如图），根据 全班每位同学答对的题数所组成样本的中位数和众 别为 A、8, 8 B、8，9 C、9, 9 D、9, 8 10、有十五位同学参加智力竞赛，且他们的分数互不相同，取八位同学进入决赛，某人知道了 自己的分数后，还需知道这十五位同学的分数的什么量，就能判断他能不能进入决赛 （ ） A、平均数 B、众数 C、最高分数 D、中位数 11、如图，某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一 次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进 行中的一组统计数据： ⑴ 计算并完成表格； 转动转盘的次数 n 100 150 200 500 800 1000 将全 图表， 数分 35 落在“铅笔”的次数 m 落在“铅笔”的频率 68 111 136 345 564 701 m n ⑵ 请估计当n很大时，频率将会接近多少？ ⑶ 假如你去转动该转盘一次，你获得可乐的概率是多少？在该转盘中，表示“可乐”区域的 ．．．． 扇形的圆心角约是多少度？ ⑷ 如果转盘被一位小朋友不小心损坏, 请你设计一个等效的模拟实验方案(要求 交代清楚替代工具和游戏规则). 36 平行线与三角形复习材料 一、相关知识点复习： （一）平行线 1. 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2. 判定： （1） 同位角相等，两直线平行。 （2） 内错角相等，两直线平行。 （3） 同旁内角相等，两直线平行。 （4） 垂直于同一直线的两直线平行。 3. 性质： (1) 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 (2) 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。 (3) 两直线平行，同位角相等。 (4) 两直线平行，内错角相等。 (5) 两直线平行，同旁内角互补。 （二）三角形 4. 一般三角形的性质 (1) 角与角的关系： 三个内角的和等于180°； 一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角。 (2) 边与边的关系： 三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。 (3) 边与角的大小对应关系： 在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。 (4) 三角形的主要线段的性质(见下表)： 名称 基本性质 ① 三角形三条内角平分线相交于一点（内心）；内心到三角形三边 角平分线 距离相等； ② 角平分线上任一点到角的两边距离相等。 中线 三角形的三条中线相交于一点。 高 三角形的三条高相交于一点。 边的垂直平分三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）； 线 外心到三角形三个顶点的距离相等。 中位线 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 5. 几种特殊三角形的特殊性质 (1) 等腰三角形的特殊性质： ①等腰三角形的两个底角相等； 37 ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高是同一条线段，这条线段所在的 直线是等腰三角形的对称轴。 (2) 等边三角形的特殊性质： ①等边三角形每个内角都等于60°； ②等边三角形外心、内心合一。 (3) 直角三角形的特殊性质： ①直角三角形的两个锐角互为余角； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③ 勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和 （其逆命题也成立）； ④ 直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半； ⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 6. 三角形的面积 1 a h（ h 是a边上的高 ） 2 11 (2) 直角三角形：S △ = a b = c h（a、b是直角边，c是斜边，h是斜边上的高） 22 (1) 一般三角形：S △ = (3) 等边三角形： S △ = 3 2 a（ a是边长 ） 4 (4) 等底等高的三角形面积相等；等底的三角形面积的比等于它们的相应的高的比；等高的三 角形的面积的比等于它们的相应的底的比。 7. 相似三角形 (1) 相似三角形的判别方法： ① 如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似； ② 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三 角形相似； ③ 如果一个三角形的三边和另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。 (2) 相似三角形的性质： ① 相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比； ② 相似三角形的周长比等于相似比； ③ 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8. 全等三角形 两个能够完全重合的三角形叫全等三角形，全等三角形的对应角相等，对应边相等，其他的对 应线段也相等。 判定两个三角形全等的公理或定理： ①一般三角形有SAS、ASA、AAS、SSS； ②直角三角形还有HL 二、巩固练习： 一、选择题： 1． 如图，若AB∥CD，∠C = 60º，则∠A＋∠E＝（ ） A．20º B．30º C．40º D．60º 2． 如图，∠1=∠2，则下列结论一定成立的是（ ） A．AB∥CD B．AD∥BC C．∠B=∠D 38 D．∠3=∠4 3． 如图，AD⊥BC，DE∥AB，则∠B和∠1的关系是（ ） A. 相等 B. 互补 C. 互余 D. 不能确定 4． 如图，下列判断正确的是（ ） A．∠1和∠5是同位角； B．∠2和∠6是同位角； C．∠3和∠5是内错角； D．∠3和∠6是内错角． 5． 下列命题正确的是（ ） A．两直线与第三条直线相交，同位角相等； B．两直线与第三条直线相交，内错角相等； C．两直线平行，内错角相等； D．两直线平行，同旁内角相等。 6． 如图，若AB∥CD，则（ ） A．∠1 = ∠4 B．∠3 = ∠5 C．∠4 = ∠5 D．∠3 = ∠4 7． 如图， l 1 ∥l 2 ，则α= （ ） A．50° B．80° C．85° D．95° 8． 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A.3cm，4cm，8cm B.5cm，6cm，11cm C.5cm，6cm，10cm D.3cm，8cm，12cm 9． 等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） A.150° B.80° C.50°或80° D.70° 10． 如图，点D、E、F是线段BC的四等分点，点A在BC外， 连接AB、AD、AE、AF、AC，若AB = AC，则图中的全等三角形 共有（ ）对 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11． 三角形的三边分别为 a、b、c，下列哪个三角形是直角三角形？（ ） A. a = 3，b = 2，c = 4 B. a = 15，b = 12，c = 9 39 C. a = 9，b = 8，c = 11 D. a = 7，b = 7，c = 4 12． 如图，△AED ∽ △ABC，AD = 4cm，AE = 3cm， AC = 8cm，那么这两个三角形的相似比是（ ） A E D B C 313 A． B． C． D．2 428 13． 下列结论中，不正确的是（ ） A．有一个锐角相等的两个直角三角形相似； B．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似； C．各有一个角等于120°的两个等腰三角形相似； D．各有一个角等于60°的两个等腰三角形相似。 二、填空题： 14． 如图，直线a∥b，若∠1 = 50°， 则∠2 = 。 15． 如图，AB∥CD，∠1 = 40°， 则∠2 = 。 16． 如图，DE∥BC，BE平分∠ABC， 若∠ADE = 80°，则∠1 = . 17． 如图， l 1 ∥l 2 ，∠1 = 105°，∠2 = 140°， 则∠α = ． 18． △ABC中，BC = 12cm，BC边上的高 AD = 6cm，则△ABC的面积为 。 19． 如果一个三角形的三边长分别为x，2，3， 那么x的取值范围是 。 20． 在△ABC中，AB = AC，∠A = 80°，则∠B = ，∠C = 。 21． 在△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 4cm，则AB = 。 22． 已知直角三角形两直角边分别为6和8，则斜边上的中线长是 。 23． 等腰直角三角形的斜边为2，则它的面积是 。 40 24． 在Rt△ABC中，其中两条边的长分别是3和4，则这个三角形的面积等于 。 25． 已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为10，则它的周长为 。 26． 等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，则它的顶角度数为 。 27． 如图，A、B两点位于一个池塘的两端，冬冬想用绳子 测量A、B两点间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他 想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的 点C，找到AC，BC的中点D、E，并且测得DE的长 为15m，则A、B两点间的距离为__________. 28． 如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE， ∠B=∠E．要使△ABC≌△DEF，需要补充的 是一个条件： 。 ．． 29． 太阳光下，某建筑物在地面上的影长为36m，同时 量得高为1.2m的测杆影长为2m，那么该建筑物的高为 。 三、解答题： 30． 如图，已知△ABC中，AB = AC，AE = AF，D是BC的中点 求证： ∠1 = ∠2 31． 如图，已知D是BC的中点，BE⊥AE于E，CF⊥AE于F 求证：BE = CF 41 32． 如图，CE平分∠ACB且CE⊥BD，∠DAB =∠DBA，AC = 18，△CDB的周长是28。 求BD的长。 33． 已知：如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝EC， 求证：AB＝AC 34． *一条河的两岸有一段是平行的，在河的这一岸每隔5m有一棵树，在河的对岸每隔50m 有一根电线杆，在此岸离岸边25m处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵 树遮住，并且这两棵树之间还有三棵树。 (1) 根据题意，画出示意图； (2) 求河宽。 42 A B D E C 43 练习答案： 一、选择题 1、D 2、B 3、C 4、A 5、C 6、C 7、C 8、C 9、C 10、C 11、B 12、B 13、B 二、填空题 14、130° 15、140° 16、40° 17、65° 18、36cm 2 19、1 24、6或 25、22或26 26、120° 27、30m 28、BC=EF或∠A=∠D或∠C=∠F 29、21.6m 三、证明题 30、BE=CF、∠B=∠C、BD=DC→△BED≌△CFD→∠1=∠2 31、△BED≌△CFD→BE=CF 32、∠A=∠DBA→AD=BD→CD+BD=AC=18、△CDB的周长是28→BC=10 33、AD=AE→∠ADE=∠AED→∠ADB=∠AEC→△ABD≌△AEC→AB=AC 34、 解：如图，根据题意，有AB∥CD，PM⊥CD于N点， 交AB于M点，且AB=20m， CD=50m， PM=25m， AB∥CD→△PAB∽△PCD→ 37 2 C A P M B N PMAB = PNCD D → = →PN=62.5→MN=37.5 2520 PN50 四边形及平移旋转对称 一、 知识框图： １、 矩形 四 边 形 平行四边形 菱形 梯形 ２、 正方形 44 一组对边平行 四边形 一组对边不平行 ３、 有一个角是直角 梯形 两腰相等 直角梯形 等腰梯形 图 形 之 间 的 变 换 关 系 轴对称 连结对应点的线段平行(或在同 一直线上)且相等,对应线段平 行(或在同一直线上)且相等 对应点与旋转中心的距离不变; 每一点都绕旋转中心旋转了同 样大小的角度 旋转对称 中心对称 平移 旋转 在轴对称、平移、旋转这些图形变换中, 线段的长度不变,角的大小不变;图形的 形状、大小不变 二、 例题分析 1、四边形 例1（1）凸五边形的内角和等于______度，外角和等于______度， （2）若一凸多边形的内角和等于它的外角和， 则它的边数是_______. 2．平行四边形的运用 例2 如图,∠1=∠2,则下列结论一定成立的是( ) A. AB∥CD B. AD∥BC C. ∠B=∠D D. ∠3=∠4 若ABCD是平行四边形，则上述四个结论中那些是 可以得到什么结论？ 3．矩形的运用 例3 如图1，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、则阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的……………………………………………（ ） A、 4．菱形的运用 例4 1. 一个菱形的两条对角线的长的比是2 : 3 ,面积是12 cm , 2 A D 正确？你还 4 1 2 3 B C 1113 B、 C、 D、 53 410 A E B O 图1 D F C 则它的两条对角线的长分别为_____、____. 45 2、已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_______. 5．等腰梯形的有关计算 例5 已知:如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,AB=4, BC=7.求∠B的度数.. 6．轴对称的应用 例6 如图,牧童在A处放牛,其家在B处,若牧童从A处出发牵牛到河岸CD边饮水后再回家,试问 在何处饮水所走路程最短? 7．中心对称的运用 例7 如图,作△ABC关于点O的中心对称图形△DEF 8．平移作图 法是（ ）. (A)先向下移动1格，再向左移动1格 (B)先向下移动1格，再向左移动2格 (C)先向下移动2格，再向左移动1格 (D)先向下移动2格，再向左移动2格 9．旋转的运用 例9 如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠C和∠ 是直角,点C在AD上,如果△ABC经旋转后能与△ADE重合,那么 是旋转中心?旋转了多少度? 解:_____是旋转中心,_______方向旋转了______. AED都 哪一点 M 图(1) A D B E C _ A _ C _ B _ D A O B C 例8 ．在5 × 5方格纸中将图（1）中的图形 N 平移后的位置如图（2）中所示，那么正确的平移方 N N M (2) 图1 图 图2 （第1题） B 46 A C D E 基础达标 一、选择题： 1. 一个内角和是外角和的2倍的多边形是 边形. 2. 有以下四个命题: (1)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. (2)两条对角线相等的四边形是菱形. (3)两条对角线互相垂直的四边形是正方形. (4)两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形,其中正确的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 3．下面条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（ ） A．一组对角相等 B．对角线互相平分 C．一组对边相等 D．对角线互相垂直 4．在一个平面上有不在同一直线上的三点，则以这三点为顶点的平行四边形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5. 如图, □ ABCD中,∠C=108°,BE平分∠ABC,则∠ABE等于( ) A.18° B.36° C.72° D.108° 6、下列说法中，正确的是（ ） A 、等腰梯形既是中心对称图形又是轴对称图形． B 、正方形的对角线互相垂直平分且相等 C 、矩形是轴对称图形且有四条对称轴 D 、菱形的对角线相等 7、如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（ ） A． 12180 B． 23180 C． 34180 D． 24180 8、在平行四边形ABCD中， B110 ，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则 EF （ ） （A） 110 （B） 30 （C） 50 ④AB⊥BC，其中正确的结论有_________。 47 _ F _ E _ A D_ _ B _ C 00 00 A E D BC （D） 70 9、如图7，直线 l 是四边形ABCD的对称轴，若AB=CD，有下面的结论：①AB∥CD；②AC⊥BD；③AO=OC； 10.如图,观察下列图形,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( ) . A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 11．下列基本图形中，经过平移、旋转或轴对称变换后，不能得到右图的是( ) ．． A． B． C. Ｄ． 12．右图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的则 每次旋转的度数可以是（ ） A．90 0 B．60 0 C．45 0 D．30 0 13．图2是我国古代数学赵爽所著的《勾股圆方图注》中 所画的图形，它是由四个相同的直角三角形拼成的，下面关 于此图形的说法正确的是( ) A．它是轴对称图形，但不是中心对称图形 B．它是中心对称图形，但不是轴对称图形 C．它既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．它既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 14、下图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的则每次旋转的度数可以是（ ） A．90 0 48 (图2) B．60 0 C．45 0 D．30 0 14 图15 15、如上图，O是正六边形ABCDE的中心，下列图形中可由△OBC平移得到的是 （ ） A．△OCD B．△OAB C．△OAF D．OEF 16.如图,D、E、F是△ABC三边的中点,且DE∥AB,DF∥AC,EF ∥BC, 平移△AEF可以得到的三角形是 ( ) A.△BDF B.△DEF C.△CDE D.△BDF和△CDE A F A C E O B D 图16 图17 BD C 17.将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图17的位置, 若∠AOD=110°,则∠BOC=____° 18、如图将四个全等的矩形分别等分成四个全等的小矩形，其中阴影部分面积相等的是( ) ① ② ③ ④ A．只有①和②相等 B．只有③和④相等 C．只有①和④相等 D．①和②，③和④分别相等 19.如图,已知△ABC,画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形. A C B 20、矩形纸片ABCD中，AD=4cm ，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF， 则DE= cm. E B A D F C C 1 21、若四边形的两条对角线相等，则顺次连结该四边形各边中点所得的四边形是( ) A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 49 22． 如图：已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C＝60°，边AB=6cm. （1） 求边AC和BC的值； （2） 求以直角边AB所在的直线l为轴旋转一周所得的几何体的侧面积. (结果用含π的代数式表示) 解： E 、 F 分别在 AB 、 AC 、 BC 上， DE//BC ， EF//AB ，23、（2005常州市）如图，在 ABC 中，点 D 、 且 F 是 BC 的中点． 求证： DECF A D E B FC 24．三月三，放风筝，小明制了一个风筝，如右图，且DE=DF，EH=FH，小明不用度量就知道 ∠DEH = ∠DFH。请你用所学过的数学知识证明之。（提示：可连结DH，证明 ΔDHE≌ΔDHF 或连结EF，通过证明等腰三角形得证。） 50 25.如图,E、F是 □ ABCD的对角线AC上两点,AE=CF. 求证:(1)△ABE≌△CDF.(2)BE∥DF. D E A C F B （B层） 25、 如图，在□ ABCD 中， O 是对角线 AC 的中点，过点 O 作 AC 的垂线与边 AC 、 BD 分别交于 E 、 F ，求证：四边形 AFCE 是菱形. 26.(2004.上海)如图1,边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30 °后得到正方形EFCG,EF 交AD于点H,那么DH的长为________. A E 1 D O B 2 F C 51 E A H D F B 27．如图，已知正方形ABCD的边长为2.如果将线段BD 绕着点B 后，点D落在CB的延长线上的D′点处， 那么 tanBAD ′等于__________ 旋转 G C 29、（2005广东省）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别 是BM、CM的中点。 （1）求证：四边形MENF是菱形； （2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和 BC的数量关系，并证明你的结论。 底边 52 四边形及平移旋转对称答案 二、考题例析 例1 (n - 2)·180 =360.解得 n=4. 例2 答案:B. 例3（ B ） 例4 _____4cm,6cm ___ 例5答案:∠B=60°. 例6．中心对称的运用 例7 例8 ．(C) 例9 点A是旋转中心,顺时针方向旋转了45. _____. 00 A C B M M \' D A \' 基础达标 一、选择题： 1. 6 2. D.3．（ B ） 4．（ C）5 ( B )6、（B 7、（D8、（D）9、（①AB∥CD；②AC⊥ BD；③AO=OC； 10.( B ).11．C. 12．（ C ）13．B．14（C）15、 D． 16. (D ) 17.(_70° 18、 ( D) 19. 20、DE= 5。8 cm.21、 C.菱形 22．解：（1）AC＝ 43 cm，BC＝ 23 cm 1 (2 23)4324 （ cm 2 ） 2 （2）所求几何体的侧面积S＝ 23、∵ DE//BC ， EF//AB ∴四边形DBFE是平行四边形 ∴ DE=BF, ∵ F 是 BC 的中点． ∴BF=CF ∴ DECF 24．：可连结DH，证明 ΔDHE≌ΔDHF或连结EF，通过证明等腰三角形得证。 25.(1)证明:∵在△ABC与△EFD中,AB=EF,由EF∥AB得∠BAC=∠FED.由AD= CE得AC=ED. ∴△ABC≌△EFD. (2)四边形BDFC是平行四边形. 证明:∵△ABC≌△EFD, ∴BC=FD,∠BCA=∠EDF. ∴BC∥FD ∴四边形BDFC是平行四边形. 26剖析：解题时，注意区分判定定理与性质定理的不同使用. ∵□ ABCD 中， AE ∥ CF ，∴ 12 . 53 又 AOECOF ， AOCO . A ∴△ AOE ≌△ COF ，∴ EOFO . ∴四边形 AFCE 是平行四边形 . 又 EFAC ，∴□ AFCE 是菱形. 27. _ E 1 D O B 2 F C 3 _______. 28___ 2 _______ 29、 54 解直角三角函数 一、知识点回顾 1、锐角∠ A 的三角函数（按右图Rt△ ABC 填空） ∠ A 的正弦：sin A = , ∠ A 的余弦：cos A = , ∠ A 的正切：tan A = , ∠ A 的余切：cot A = 2、锐角三角函数值，都是 实数（正、负或者0）； 3、正弦、余弦值的大小范围： ＜sin A ＜ ； ＜cos A ＜ 4、tan A •cot A = ； tan B •cot B = ； 5、sin A = cos（90°- ）； cos A = sin（ - ） tan A =cot（ ）； cot A = 6、填表 7、在Rt△ABC中，∠C＝90゜，AB＝c,BC＝a，AC＝b, 1）、三边关系（勾股定理）： 2）、锐角间的关系：∠ +∠ = 90° 3）、边角间的关系：sin A = ； sinB = ； cos A = ； cosB= ； tan A = ； tanB = ； cot A = ；cotB = 8、图中角 可以看作是点A的 角 也可看作是点B的 角； 9、（1）坡度（或坡比）是坡面的 高度（ h ）和 长 的比。 （1） 度（l） 记作 i ,即 i = ； （2）坡角——坡面与水平面的夹角。记作α，有 i ＝ h =tanα l （3）坡度与坡角的关系：坡度越大，坡角α就越 ，坡面就越 二、巩固练习 （1）、三角函数的定义及性质 55 1、在△ ABC 中, C90 0 , AC5,AB13 ,则cos B 的值为 tanA______ ； 2、在Rt⊿ABC中，∠C＝90°，BC＝10，AC＝4，则 cosB_____, 3、Rt△ ABC 中,若 C90 0 , AC4,BC2 ,则tan B______ 4、在△ABC中，∠C＝90°， a2,b1 ，则 cosA 5、已知Rt△ ABC 中,若 C90 0 , cos A 5 ,BC24 ,则 AC_______. 13 6、Rt△ ABC 中, C90 0 , BC3,tanB 5 ，那么 AC________. 3 7、已知 sin 2m3 ，且 a 为锐角，则 m 的取值范围是 ； 8、已知：∠ 是锐角， sin cos36 ，则 的度数是 9、当角度在 0 到 90 之间变化时，函数值随着角度的增大反而减小的三角函是 （ ） A．正弦和正切 B．余弦和余切 C．正弦和余切 D．余弦和正切 10、当锐角A的 cosA 2 时，∠A的值为（ ） 2 A 小于 45 B 小于 30 C 大于 45 D 大于 60 11、在 Rt ⊿ABC中，若各边的长度同时都扩大2倍，则锐角A的正弦址与余弦值的情况（ ） A 都扩大2倍 B 都缩小2倍 C 都不变 D 不确定 1 ，则12、已知 为锐角，若 sin cos30 0 ， tan ＝ ；若 tan70 0 tan ； _______ 13、在△ ABC 中, C90 0 , sin A 3 , 则cos B 等于( ) 2 A、 1 B、 1 32 C、 D、 2 22 （2）、特殊角的三角函数值 1、在Rt△ABC中，已知∠C＝90 0 ，∠A=45 0 则 sinA = 1 2 ，tan =______； 2 A 3、已知∠A是锐角，且 tanA3,则sin______ ； 2 4、在平面直角坐标系内P点的坐标（ cos30 ， tan45 ），则P点关于 x 轴对称点P ／ 的坐标为 2、已知： 是锐角， cos （ ） A． ( 3 333 ,1) B． (1,) C． (,1) D． (,1) 2 222 5、下列不等式成立的是（ ） A． tan45sin60cos45 B． cot45sin60tan45 C． cos45cot30tan45 D． cos45sin60cot30 56 6、若 3tan( 10 0 )1 ，则锐角 的度数为（ ） A．20 0 B．30 0 C．40 0 D．50 0 7、计算 （1） sin30 0 cos60 0 _______, ； tan45 0 cot60 0 _______ （2） cos60sin 2 45 1 tan 2 30cos30sin30 4 tan30 0 tan45 0 sin45 0 cos30 0 000 sin30(cos45sin60) (3) (4) 000 1tan30tan4532cos60 （3）、解直角三角形 1、在△ ABC 中, C90 0 , 如果 a3,b4 ，求 A 的四个三角函数值. 解：（1）∵ a + b ＝ c 22 2 ∴ c = ∴ sin A = cos A = ∴ tan A = cot A = 2、在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，由下列条件解直角三角形： （1）已知 a ＝4 3 ， b ＝2 3 ，则 c= ； （2）已知 a ＝10， c ＝10 2 ，则∠ B= ； （3）已知 c ＝20，∠ A ＝60°，则 a= ； （4）已知 b ＝35，∠ A ＝45°，则 a= ； b______ ； 3、若∠A = 30 ， c10 ，则 a_____, 4、在下列图中填写各直角三角形中字母的值． 57 7、设Rt△ ABC 中，∠ C ＝90゜，∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，根据下列所给条件求 ∠B的四个三角函数值. （1） a =3, b =4; （2） a =6, c =10. 8、在Rt△ABC中，∠C＝90゜，BC：AC＝3：4，求∠A的四个三角函数值. 9、△ ABC 中,已知 AC22,B60 0 ,C45 0 ，求 AB 的长 B 9题 （4）、实例分析 1、斜坡的坡度是 1:3 ，则坡角 ____________. 2、一个斜坡的坡度为 ︰ 3 ，那么坡角 的余切值为 ； 3、一个物体 A 点出发，在坡度为 1:7 的斜坡上直线向上运动到 B ，当 AB30 m时，物体升 高 （ ） A 3030 m B m C 32 m D 不同于以上的答案 78 4、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度 i1:3 ，坝外斜坡的坡度 i1:1 ，则两个 坡角的和为 （ ） A 90 B 60 C 75 D 105 5、电视塔高为 350 m，一个人站在地面，离塔底 O 一定的距离 A 处望塔顶 B ，测得仰角为 60 0 ， 若某人的身高忽略不计时， OA__________ m. 6、如图沿AC方向修隧道,为了加快施工进度,要在小山的另一边同时进行.已知∠ ABD=150 0 ,BD=520m,∠B=600,那么开挖点E到D的距离DE=____m时,才能使A,C,E成一直线. A C 58 7、一船向东航行，上午8时到达 B 处，看到有一灯塔在它的南偏东 60 0 ，距离为72海里的 A 处，上午10时到达 C 处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（ ） A 18 海里/小时 B 183 海里/小时 C 36 海里/小时 D 363 海里/小时 8、如图，河对岸有铁塔AB，在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进14米到达D，在 D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高。 A C D B 9、如图，一铁路路基横断面为等腰梯形 ABCD ，斜坡 BC 的坡度为 2:3 ，路基高 AE 为 3 m， 底 CD 宽 12 m，求路基顶 AB 的宽 B C A E D 10、如图，已知两座高度相等的建筑物AB、CD的水平距离BC＝60米，在建筑物CD上有一 铁塔PD，在塔顶P处观察建筑物的底部B和顶部A，分别测行俯角 筑物AB的高。（计算过程和结果一律不取近似值） 59 45 0 , 30 0 ，求建 11、如图，A城气象台测得台风中心在A城的正西方300千米处，以每小时10 7 千米的速 度向北偏东60º的BF方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域。 （1） 问A城是否会受到这次台风的影响？为什么？ （2） 若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响的时间有多长？ F 60º B A 60 解直角三角形总复习答案 二、巩固练习 （1）三角函数的定义和性质 1、 125 5295 2、 、 3、24、 132 295 5、10 6、 5 7、 1.5m2 8、54 0 9、B 10、 A 11、C 12、 3 13、B （2）特殊角的三角函数值 1、 1 2 2、1 3、 4、A 5、D 6、A 2 2 7、（1）1、 3335635 （2） 或 321212 3 2 （3） 23 (4) （3）解直角三角形 A 1、 c5 sin 3434 cosA tanA cotA 5543 2、（1） 215 （2）10 （3） 103 （4）35 3、 5 、 52 4、 a10 b53 5、 c103 d10 6、 343173 f 33 B 7、（1） c5 sin 4343 B tanB cotB cos 5534 4343 B cosB tanB cotB （2） b8 sin 5534 8、解：设BC=3k，AC=k C90 AB5k 3434 sinA,cosA tanA,cotA 5543 9、解：过A作AD BC，垂足为D。 ADCADB90 A45,AC22 AD2 61 B60,AD2 AB3 （4）实例分析 1、 30 2、 3 3、C 4、C 5、 6、 7、B 8、解：设铁塔AB高x米 B30 cotC 3503 3 BC14BD 3 ABAB 在 RTABD 中 ADB45 即 14x 3 x 解得：x= (737) m 答：铁塔AB高 (737) m。 9、解：过B作BF CD，垂足为F AEBF 在等腰梯形ABCD中 AD=BC CD iBC2:3 AE=3m DE=4.5m AD=BC， CD , CFBDEA90 BCF ADE CF=DE=4.5m EF=3m BFEAEF90 BF//CD 四边形ABFE为平行四边形 AB=EF=3m 10、 解： 45 BPC45 在RT BPC中 BC60m CP60m 在矩形ABCD中 AD=BC=60m 62 30 APD60 在RT APD中 AD=60m, APD60 PD203 CDAB(60203)m 答：AB高 (60203) 米。 11、（1）过A作AC BF，垂足为C 160 ABC30 在RT ABC中 AB=300km ABC30 AC150km A城会受到这次台风的影响 (2) 在BF上取D ， 使AD200km 在BF上取E ， 使AEAD AC150km,ad200km CD507km DE1007km v107kmh t 1007km 107 km 10h h 答：A城遭遇这次台风影响10个小时。 63 圆 学校 姓名 一、知识点 1、与圆有关的角——圆心角、圆周角 （1）图中的圆心角 ；圆周角 ； C O （2）如图，已知∠AOB=50度，则∠ACB= 度； A B （3）在上图中，若AB是圆O的直径，则∠AOB= 度； 2、圆的对称性： （1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条 的直线； 圆是中心对称图形，对称中心为 ． （2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 如图，∵CD是圆O的直径，CD⊥AB于E A D O E B C ∴ = ， = 3、点和圆的位置关系有三种：点在圆 ，点在圆 ，点在圆 ； 例1：已知圆的半径 r 等于5厘米，点到圆心的距离为 d ， （1）当 d =2厘米时，有 d r ，点在圆 （2）当 d =7厘米时，有 d r ，点在圆 （3）当 d =5厘米时，有 d r ，点在圆 4、直线和圆的位置关系有三种：相 、相 、相 ． 例2：已知圆的半径 r 等于12厘米，圆心到直线 l 的距离为 d ， （1）当 d =10厘米时，有 d r ，直线 l 与圆 （2）当 d =12厘米时，有 d r ，直线 l 与圆 （3）当 d =15厘米时，有 d r ，直线 l 与圆 5、圆与圆的位置关系： 例3：已知⊙O 1 的半径为6厘米，⊙O 2 的半径 为 8厘米，圆心距为 d ， 64 则：R+r= ， R－r= ； （1）当 d =14厘米时，因为d R+r，则⊙O 1 和⊙O 2 位置关系是： （2）当 d =2厘米时， 因为d R－r，则⊙O 1 和⊙O 2 位置关系是： （3）当 d =15厘米时，因为 ，则⊙O 1 和⊙O 2 位置关系是： （4）当 d =7厘米时， 因为 ，则⊙O 1 和⊙O 2 位置关系是： （5）当 d =1厘米时， 因为 ，则⊙O 1 和⊙O 2 位置关系是： 6、切线性质： 例4：（1）如图，PA是⊙O的切线，点A是切点，则∠PAO= 度 （2）如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B是切点， 则 = ，∠ =∠ ； 7、圆中的有关计算 （1）弧长的计算公式： 例5：若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的弧长是多少？ 解：因为扇形的弧长= O A P B () 180 () 所以 l == (答案保留π) 180 （2）扇形的面积： 例6：①若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的面积为多少？ 65 解：因为扇形的面积S= () 360 () 所以S== (答案保留π) 360 ②若扇形的弧长为12πcm，半径为6㎝，则这个扇形的面积是多少？ 解：因为扇形的面积S= 所以S= = （3）圆锥： 例7：圆锥的母线长为5cm，半径为4cm，则圆锥的侧面积是多少？ 解：∵圆锥的侧面展开图是 形，展开图的弧长等于 ∴圆锥的侧面积= 8、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的 交点； 三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的 交点； 例8：画出下列三角形的外心或内心 （1）画三角形ABC的内切圆， （2）画出三角形DEF的外接圆， 并标出它的内心； 并标出它的外心 二、练习： （一）填空题 1、如图，弦AB分圆为1：3两段，则 AB 的度数= 度， A C O A D B C F E B ACB 的度数等于 度；∠AOB＝ 度，∠ACB＝ 度， 2、如图，已知A、B、C为⊙O上三点，若 AB 、 CA 、 BC 的 第1小题 66 A 度数之比为1∶2∶3，则∠AOB＝ ，∠AOC＝ ， ∠ACB＝ ， 3、如图1－3－2，在⊙O中，弦AB=1.8cm，圆周角∠ACB=30 ○ ， 则 ⊙O的半径等于=_________cm． 4、⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离OD=3， 则AD= ，AB的长为 ； 5、如图，已知⊙O的半径OA=13㎝，弦AB＝24㎝， 则OD= ㎝。 6、如图,已知⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝8cm, 则弦心距OD等于 cm. 7、已知：⊙O 1 的半径为3，⊙O 2 的半径为4，若⊙O 1 与⊙O 2 外切，则O 1 O 2 ＝ 。 A BOC 第2小题 O · D B 第4、5小题 A D C O B 第6小题 8、已知：⊙O 1 的半径为3，⊙O 2 的半径为4，若⊙O 1 与⊙O 2 内切，则O 1 O 2 ＝ 。 9、已知：⊙O 1 的半径为3，⊙O 2 的半径为4，若⊙O 1 与⊙O 2 相切，则O 1 O 2 ＝ 。 10、已知：⊙O 1 的半径为3，⊙O 2 的半径为4，若⊙O 1 与⊙O 2 相交，则两圆的圆心距 d的取值范围是 11、已知⊙O 1 和⊙O 2 外切，且圆心距为10cm，若⊙O 1 的半径为3cm，则⊙O 2 的半径 为_____ ___cm． 12、已知⊙O 1 和⊙O 2 内切，且圆心距为10cm，若⊙O 1 的半径为3cm，则⊙O 2 的半径 为______ __cm． 13、已知⊙O 1 和⊙O 2 相切，且圆心距为10cm，若⊙O 1 的半径为3cm，则⊙O 2 的半径 为______ _cm． 14、如图1－3－35是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图， 则围成这个灯罩的铁皮的面积为________cm 2 (不考虑接缝等因 素，计算结果用π表示）． 15、如图，两个同心圆的半径分别为２和１，∠AOB= 120 , 则阴影部分的面积是_________ 16、一个圆锥的母线与高的夹角为30°，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的弧长 67 与半径的比是 （二）选择题 1、如图1－3－7，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30° 则∠BOC的大小是（ ） A．60 ○ B．45 ○ C．30 ○ D．15 ○ 2、如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠BAC＝20°， AD ＝ CD ， D 则∠DAC的度数是( ) (A)30° (B) 35° (C) 45° (D) 70° 3、如图1－3－16，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交 ⊙O于 点B，PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为（ ） A. 3 B. 3 C. 4 D. 4 4553 C A O B 4、PA切⊙O于A，PA = 3 ，∠APO = 30 0 ，则PO的为（ ） A 23 B 2 C 1 D 43 5、圆柱的母线长5cm，为底面半径为1cm，则这个圆拄的侧面积是（ ） A．10cm 2 B．10πcm 2 C．5cm 2 D．5πcm 2 6、如图，一个圆柱形笔筒，量得笔筒的高是20cm，底面圆的半径为5cm， 那么笔筒的侧面积为( ) A.200cm 2 B.100πcm 2 C.200πcm 2 D.500πcm 2 7、制作一个底面直径为30cm，高40cm的圆柱形无盖铁桶，所需铁皮至少为（ ）， A．1425πcm 2 B．1650πcm 2 C．2100πcm 2 D．2625πcm 2 8、已知圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面积为（ ） （A）10π （B）12π （C）15π （D）20π 9、如图，圆锥的母线长为5cm，高线长为4cm，则圆锥的底面积是（ ） A．3πcm Z B．9πcm Z C．16πcm Z D．25πc 10、如图，若四边形ABCD是半径为1cm的⊙O的内接正方形， 则图中四个弓形（即四个阴影部分）的面积和为（ ）． 68 B A . C D （A） 2 2 cm 2 （B） 2 1 cm 2 （C） 2 cm 2 （D） 1 cm 2 （三）解答题 1、如图，直角三角形ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，过点C 作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连结CO。请写出六个你认为正确的结论； （不准添加辅助线）； 解：（1） ； A C （2） ； OB D （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； 2、⊙O 1 和⊙O 2 半径之比为 R:r4:3 ，当O 1 O 2 = 21 cm时，两圆外切，当两圆内切时， O 1 O 2 的长度应多少？ 3、如图，⊙O的内接四边形ABCD的对角线交于P,已知AB＝BC， 求证：△ABD∽△DPC 4、如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=20°， 求∠P的度数。 69 A P O B C 5、以点O（3，0）为圆心，5个单位长为半径作圆，并写出圆O与坐标轴的交点坐标； 解：圆O与x轴的交点坐标是： 圆O与y轴的交点坐标是： 6、如图，半圆的半径为2cm，点C、D三等分半圆，求阴影部分面积 70 C D B A O 7、如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切与点B，弦AC∥OP，PC交BA的延长线于点D，求证： PD是⊙O的切线， P D A C O B 8、已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD， 垂足为D，连接BC。 求证：（1）BC平分∠PBD； （2） BC 2 ＝ABBD 。 D C P A O B 71 9、如图，CB、CD是⊙O的切线，切点分别为B、D，CD的延长线与⊙O的 直径BE的延长线交于A点，连OC，ED． （1）探索OC与ED的位置关系，并加以证明； （2）若OD＝4，CD=6，求tan∠ADE的值． 72 圆 答案 一、知识点： 1、（1）∠AOB ∠ACB （2）25； （3）90； 2、（1）直径所在的直线；圆心 （2）AE=BE，弧AC=弧BC； 3、内，上，外，例1：（1）<，内；（2），> ，外，（3）=，上； 4、交，切，离 例2：（1）<，相交；（2）， =，相切，（3）>，相离； 5、例3：14，2；（1）=，外切；（2）=，内切；(3)d>R+r,外离；（4）R-r （5）d 6、例4（1）90；（2）PA=PB，∠APO=∠BPO； 7、（1）例5：π；（2）例6：① 3 π ；② 2 36πcm 2 ；（3）例7：20πcm 2 ； 8、三角形的三边垂直平分线，角平分线； 二、练习 （一）填空题：1，90，270，90，45； 2，60度，120度，30度； 3，1.8； 4，4，8；5， 5； 6，3； 7，7； 8，1； 9，7或1； 10，1 7或13； 14，300π； 15，π； 16，π； （二）1A，2B，3C，4B，5B，6C，7A，8B，9B，10C （三）解答题 1、略；2、3cm； 3、∵AB=BC，∴ ABBC ，∴∠ADB=∠CDB，∵∠ABD=∠ACD，∴ △ABD∽△DPC； 2 4、40度；5、（-2，0），（8，0）； （0，4）、（0，-4） ；6、 cm ； 2 3 7、连结OC，证明△POC≌△POB，得∠PCO=∠ PBO =90度，所以PD是圆O的切线； 8、证明：（1）连结OC。 ∵PD切⊙O于点C， 又∵BD⊥PD， ∴OC∥BD。 ∴∠1＝∠3。 又∵OC＝OB， ∴∠2＝∠3。 ∴∠1＝∠2，即BC平分∠PBD。 （2）连结AC。 ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°。 又∵BD⊥PD， ∴∠ACB＝∠CDB＝90° 又∵∠1＝∠2， ∴△ABC∽△CBD ∴ ABBC ， CBBD ∴ BC 2 ＝ABBD 73 DCO 9、（1）OC∥ED；（2） tan∠ADEtan∠ OD2 CD3 74 初中几何综合复习 学校 姓名 一、典型例题 例1（2005重庆）如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在AE上，已 知∠ABD＝∠ACD,∠BDE＝∠CDE．求证：BD＝CD。 例2（2005南充）如图2-4-1，⊿ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE 的中点．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若AE＝14，BC＝12，求BF的长． 例3.用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分,其中M为AD的中点.用这两部 分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt△BCE就是拼成的一个图形. 的四边形分别画在图3、图4的虚框内. (2)若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别 为a厘米、b厘米,且a、b恰好是关于x的方程 x 出原矩形纸片的面积. 二、强化训练 练习一：填空题 1.一个三角形的两条边长分别为9和2，第三边长为奇数，则第三边长为 . 2.已知∠a=60°,∠AOB=3∠a,OC是∠AOB的平分线,则∠AOC = ___ ． 75 2 A D B E C E A M D A M B 图1 C B 图2 C 图3 图4 (1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt△BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好 (m1)xm10 的两个实数根,试求 3.直角三角形两直角边的长分别为5cm和12cm，则斜边上的中线长为 4.等腰Rt△ABC, 斜边AB与斜边上的高的和是12厘米, 则斜边AB= 厘米． 5.已知：如图△ABC中AB=AC, 且EB=BD=DC=CF, ∠A=40°, 则∠EDF的度数为________． 6.点O是平行四边形ABCD对角线的交点，若平行四边行ABCD的面积为 8cm，则△AOB的面积为 . 7.如果圆的半径R增加10% , 则圆的面积增加_________ . 8.梯形上底长为2，中位线长为5，则梯形的下底长为 . 9. △ABC三边长分别为3、4、5，与其相似的△A′B′C′的最大边长是 10，则△A′B′C′的面积是 . 10.在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，如果BC=a，∠B=30°，那么AD等于 . 练习二：选择题 1.一个角的余角和它的补角互为补角，则这个角等于 [ ] A.30° B.45° C.60° D.75° 2.将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到 的平面图形是 [ ] A．矩形 B．三角形 C．梯形 D．菱形 3.下列图形中，不是中心对称图形的是 [ ] A. B. C. D. 4.既是轴对称，又是中心对称的图形是 [ ] A.等腰三角形 B.等腰梯形 C.平行四边形 D.线段 5.依次连结等腰梯形的各边中点所得的四边形是 [ ] A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.梯形 6.如果两个圆的半径分别为4cm和5cm,圆心距为1cm，那么这两个圆的位置关系是 [ ] A.相交 B.内切 C.外切 D.外离 7.已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm,那么扇形的面积为 [ ] 在⊙O上的位置如图所示， 若∠AOB＝80°，则∠ACB等于 [ ] A．160° B．80° C．40° D．20° 9.已知：AB∥CD，EF∥CD,且∠ABC=20°，∠CFE=30°,则∠BCF的度数是[ ] A.160° B.150° C.70° D.50° 76 8.A.B.C三点 （第9题图） （第10题图） [ ] A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 练习三：几何作图 1．下图左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，要求大小 与左边四边形不同。 10.如图OA=OB，点C在OA上，点D在OB上，OC=OD，AD和BC相交于E，图中全等三角形共有 2. 正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同实线上各 取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连结三个格点，使之构成直角三角形，小华在左边 的正方形网格中作出了Rt△ABC，请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三 角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等。 3.将图中的△ ABC 作下列运动，画出相应的图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化. （1）沿 y 轴正向平移2个单位；（2）关于 y 轴对称； 4. 如图, 要在河边修 送水．修在河边什么地 出已知, 求作, 并画图) 77 建一个水泵站, 分别向张村, 李村 方, 可使所用的水管最短?(写 练习四：计算题 1. 求值：cos45°+ tan30°sin60°. 2．如图：在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，AB=4cm ,AD= 4 (1)判定△AOB的形状. （2）计算△BOC的面积. 带根号) 4.如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm, BC=10cm ,求AE的长. B C A O D 3 cm. 3. 如图,某厂车间的人字屋架为等腰三角形,跨度AB=12米,∠A=30°,求中柱CD和上弦AC的长(答案可 A D E B F C 练习五：证明题 1．阅读下题及其证明过程： 已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE， 求证：∠BAE=∠CAE. 证明：在△AEB和△AEC中， EBEC ABEACE AEAE ∴△AEB≌△AEC(第一步) ∴∠BAE=∠CAE(第二步) 问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出 你认为正确的推理过程； 2. 已知：点C.D在线段AB上，PC＝PD。请你添加一个条件，使图中存在全等三角形并给予证明。所加 条件为＿＿＿＿＿，你得到的一对全等三角形是△＿＿＿≌△＿＿＿。 证明： P 78 A C DB 3.已知：如图 , AB=AC , ∠B=∠C．BE、DC交于O点． 求证：BD=CE 练习六：实践与探索 1．用两个全等的等边△ABC和△ACD拼成如图的菱形ABCD。现把一个含60°角的三角板与这个菱形叠 合，使三角板的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合。将三角板绕点A逆时针方向旋转。 （1）当三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时（图a） ①猜想BE与CF的数量关系是__________________； ②证明你猜想的结论。 （2）当三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时（图b）,连结EF，判断△AEF 的形状，并证明你的结论。 A D F B E C 图a F A D B C E 图b 2．如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A 1 B 1 C 1 D 1 ； 再顺次连接四边形A 1 B 1 C 1 D 1 各边中点，得到四边形A 2 B 2 C 2 D 2 ……，如此进行下去得到四边形A n B n C n D n 。 （1）证明：四边形A 1 B 1 C 1 D 1 是矩形； 79 A A 1 A 2 B B 1 D 3 … A 3 B 2 C D 2 C 3 C 2 B 3 C 1 D D 1 ·仔细探索·解决以下问题：（填空） （2）四边形A 1 B 1 C 1 D 1 的面积为____________ A 2 B 2 C 2 D 2 的面积为___________； （3）四边形A n B n C n D n 的面积为____________（用含n的代数式表示）； （4）四边形A 5 B 5 C 5 D 5 的周长为____________。 3.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点C的坐标是（4，0）。 （1）直接写出A、B两点的坐标。A ______________ B____________ （2）若E是BC上一点且∠AEB=60°，沿AE折叠正方形ABCO，折叠后点B落在平面内点F处，请画 出点F并求出它的坐标。 （3）若E是直线 ．． BC上任意一点，问是否存在这样的点E，使正方形ABCO沿AE折叠后，点B恰好落 在 x 轴上的某一点P处？若存在，请写出此时点P与点E的坐标；若不存在，请说明理由。 y A B E O C x 80 参考答案 例1证明：因为∠ABD＝∠ACD，∠BDE＝∠CDE。而∠BDE＝∠ABD＋ ∠BAD，∠CDE＝∠ACD＋∠CAD 。所以 ∠BAD＝∠CAD，而∠ADB ＝180°－∠BDE，∠ADC＝180°－∠CDE，所以∠ADB ＝∠ADC 。 在△ADB和△ADC中， ∠BAD＝∠CAD AD＝AD ∠ADB ＝∠ADC 所以 △ADB≌△ADC 所以 BD＝CD。 例2（1）证明：连接OD，AD． AC是直径， ∴ AD⊥BC． ⊿ABC中，AB＝AC， ∴ ∠B＝∠C，∠BAD＝∠DAC． 又∠BED是圆内接四边形ACDE的外角，∴∠C＝∠BED． 故∠B＝∠BED，即DE＝DB．∴ 点F是BE的中点，DF⊥AB且OA和OD是半径，即∠DAC＝∠BAD＝∠ ODA．∴OD⊥DF ，DF是⊙O的切线． （2）解：设BF＝x，BE＝2BF＝2x．又 BD＝CD＝ 2 BC＝6， 根据 BEABBDBC ， 2 化简，得 x7x180 ，解得 x 1 2,x 2 9 （不合题意，舍去）．则 2x(2x14)612 ． 1 BF的长为2． 例3答案：（1）如图 A M E A M E B （2）由题可知AB＝CD＝AE，又BC＝BE＝AB＋AE。∴BC＝2AB， 即 b2a 图3 C B 图4 C 由题意知 a,2a 是方程 x(m1)xm10 的两根 2 a2am1 1 ∴ 消去a，得 2m 2 13m70 解得 m7 或 m 2 a2am1 经检验：由于当 m ∴ S 矩形 abm18 131 ， a2a0 ，知 m 不符合题意，舍去. m7 符合题意. 22 2 答：原矩形纸片的面积为8cm 2 . 练习一. 填空 1.9 2. 90° 3. 6.5 4.8 5. 70° 6.2 7.21% 8.8 9.24 10. 练习二. 选择题 1.B 2.D 3.B 4.D 5.C 6.B 7.A 8.C 9.D 10.C 练习三： 1.3略 2. 下面给出三种参考画法： 3 4 81 4.作法：（1）作点A关于直线a的对称点A\'． （2）连结A\'B交a于点C．则点C就是所求的点． 证明：在直线a上另取一点C\', 连结AC,AC\', A\'C\', C\'B． ∵直线a是点A, A\'的对称轴, 点C, C\'在对称轴上 ∴AC=A\'C, AC\'=A\'C\'∴AC+CB=A\'C+CB=A\'B ∵在△A\'C\'B中,A\'B＜A\'C\'+C\'B ∴AC+CB＜AC\'+C\'B 即AC+CB最小． 练习四：计算 1. 1 2.①等边三角形 ②4 3 3. 2 3 、4 3 4. 5 5 练习五：证明 1.第一步、推理略 2.略 3. 证：∵∠A=∠A , AB=AC , ∠B=∠C．∴△ADC≌△AEB(ASA)∴AD=AE ∵AB=AC, ∴BD=CE． 练习六；实践与探索 1.（1）①相等 ②证明△AFD≌△AEC即可 （2）△AEF为等边三角形，证明略 2..（1）证明略 （2）12， 6 （3） 24 2 n （4） 7 2 3. （1）A（0，4）B（4，4） （2）图略，F（2， 423 ） （3）存在。P（0，0），E（4，0） 82 初三代数总复习 一、 填空题： 1. 一种细菌的半径约为0.000045米，用科学记数法表示为 米． 2. 8 的立方根是 ， 2 的平方根是 ； b1 3. 如果|a+2|+=0，那么a、b的大小关系为a b(填“＞”“=”或“<”)； 4. 计算： (31)(31) = 。 5. 计算： 2 + 8 ― 18 = 。 6. 在实数范围内分解因式：ab 2 －2a＝___ ______. x－1 1 7. 计算： ＋ ＝ 。 x－22－x x21 8. 不等式组 的解集是___________。 2x10 9. 方程 23 的解是________________. x3x2 22334455 10. 观察下列等式， ×2 = +2， ×3 = +3， ×4 = +4， ×5 = +5 11223344 设 n 表示正整数，用关于 n 的等式表示这个规律为_______ ____； 11. 在函数 y 1 中，自变量x的取值范围是__________。 x2 12. 如果反比例函数的图象经过点（1，-2），那么这个反比例函数的解析式为 _________________。 13. 函数 y5x2 与 x 轴的交点是 ，与 y 轴的交点是 ，与 两坐标轴围成的三角形面积是 ； 14. 某地的电话月租费24元，通话费每分钟0.15元，则每月话费 y （元）与通话时间 x （分 钟）之间的关系式是 ，某居民某月的电话费是38.7元，则通话时 间是 分钟，若通话时间62分钟，则电话费为 元； 15. 函数 y 2 的图像，在每一个象限内， y 随 x 的增大而 ； x 16. 把函数 y2x 2 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的二次函数解析式 是 ； 17. 把二次函数 yx 2 4x8 化成 y(xh) 2 n 的形式是 ，顶点坐标 是 ，对称轴是 ； 18. 1，2，3， x 的平均数是3，则3，6， x 的平均数是 ； 83 19. 2004年5月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31 35 31 34 30 32 31 这组数据的中位数是 ； 20. 为了调查某校初中三年级240名学生的身高情况，从中抽测了40名学生的身高，在这个 问题中总体是 ，个体是 ，样本是 ； 21. 点P( 1 ， 2 )关于 x 轴的对称点的坐标是 ，关于 y 轴的对称点的坐标 是 ，关于原点的对称点的坐标是 ； 22. 若点 P 1m，2m 在第一象限，则 m 的取值范围是 ； 2 23. 已知 0x1 ，化简 x(x1) 的结果是 ； 24. 方程 x 2 2x20 的根是 x13 ，则 x 2 2x2 可分解为 ； 25. 方程 x 2 20 的解是 x______ ； 26. 方程 x 2 kx30 的一根是 3 ，则它的另一根是 ， k_____ ； 27. 已知 x2 时，分式 xb 无意义， x4 时此分式值为0，则 ab_____ ； xa 28. 若方程组 axby7 x2 的解是 ，则a＝_________，b＝_______； axby13y1 29. 10张卡片分别写有0至9十个数字,将它们放入纸箱后,任意摸出一张,则P(摸到数字 2)= ,P(摸到奇数)= ； 30. 甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击 10 次他们的平均成绩均为 7 环10 次 2 2 射击成绩的方差分别是： S 甲 （填“甲”或 1.2 ．成绩较为稳定的是________． 3 ， S 乙 “乙” ） 二、选择题： 4 ， 2 ，tan45°中，有理数的个数是 （ ） 31、在实数π，2， 3.1 A、 2个 B、3个 C、 4个 D、5个 32、下列二次根式中与 3 是同类二次根式的是 （ ） A、 18 B、 0.3 C、 30 D、 300 84 33、在下列函数中，正比例函数是 （ ） A y2x B y 1 C yx 2 D yx4 2x 34、李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽 误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速前进，结果准时到校，在课堂上， 李老师请学生画出：自行车行进路程Ｓ（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图， 同学们画出的示意图如下，你认为正确的是 （ ） Ｏ Ｏ t Ａ B t Ｏ Ｃ t Ｏ Ｄ t s s s s 35、正比例函数 ykx 和反比例函数 y （ ） y o A k (k0) 在同一坐标系内的图象为 x y y o x y x o x C 36、二次函数 yx 2 axb中,若ab0 ，则它的图象必经过点 （ ） o B x D A （ 1 ， 1 ） B （ 1 ， 1 ） C （ 1 ， 1 ） D （ 1 ， 1 ） 37、不等式组 2x30 的整数解的个数是 （ ） 3x50 A 1 B 2 C 3 D 4 38、在同一坐标系中，作出函数 ykx 2 和 ykx2(k0) 的图象，只可能是 （ ） O x -2 -2 B y y O x O -2 x y y 2 Ox x 2 axa20 有两个相等的实根，则39、若关于 x 的方程 2 A a的值是 D （ ） C A －4 B 4 C 4或－4 D 2 40、某中学为了了解初中三年级数学的学习情况，在全校学生中 抽取了50名学生进行测试(成绩均为整数，满分为100分)，将 50名学生的数学成绩进行整理，分成5组画出的频率分布直方 85 图如图所示，已知从左至右4个小组的频率分别是0.06，0.08，0.20，0.28，那么这次测试学 生成绩为优秀的有(分数大于或等于80分为优秀)。 （ ） A 30人 B 31人 C 33人 D 34人 41、某学校用420元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原 价多买了20瓶，求原价每瓶多少元？若设原价每瓶 x 元，则可列出方程为 （ ） 42 20 B 20 xx0.5x0.5x 42 0.5 D 0.5 C xx20x20x A 42、在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图1），把余下的部分拼 成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ） （A） (ab) 2 a 2 2abb 2 （B） (ab) 2 a 2 2abb 2 b a ab a b b 图1 图2 （C） ab(ab)(ab) （D） (a2b)(ab)a 2 ab2b 2 三、解答题： 43、计算： 22 22 0 1 ； 3 1 a 2 1a 2 a 44、计算： a 2 2a1 a1 4x53(x2) 45、解不等式组 x1x 53 86
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