2024年3月29日发(作者：2015北京各区数学试卷)
初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页)
《数与式》
考点1 有理数、实数的概念
1、 实数的分类：有理数，无理数。
2、 实数和数轴上的点是___________对应的，每一个实数都可以用数轴上的________来表示，
反过来，数轴上的点都表示一个________。
3、 ______________________叫做无理数。一般说来，凡开方开不尽的数是无理数，但要注意，
用根号形式表示的数并不都是无理数（如
4
），也不是所有的无理数都可以写成根号的形
式（如
）。
练习：
1、 把下列各数填入相应的集合内：
7.5,15,4,
8
,
13
2
,
3
3
8,
,0.25,
5
0.1
} 有理数集{
正实数集{
2、 在实数
4,
}，无理数集{
}
3
,
2
0,2
1,64,
3
27,
1
中，共有___
27
____个无理数
3、 在
3,3.14,,sin45,4
中，无理数的个数是_______
4、 写出一个无理数_____
解这类问题的关键是对有理数和无理数意义的理解。无理数与有理数的根本区别在于能否
用既约分数来表示。
考点2 数轴、倒数、相反数、绝对值
1、 若
a0
，则它的相反数是___ ___，它的倒数是__ ____。0的相反数是___ _____。
2、 一个正实数的绝对值是____________；一个负实数的绝对值是____________；
0的绝对值是__________。
|x|
___，使它与
2
的积是有理数
2
3
____(x
0)
____(x
0)
3、 一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与______的距离。
练习：
1、___________的倒数是
1
；0.28的相反数是_________。
2、 如图1，数轴上的点M所表示的数的相反数为_________
M
-10
1
2
3
图1
2
3、
(1
m
)
|
n
2|
0
,则
mn
的值为________
1
2
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1
初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页)
4、 已知
|x|4,|y|
x1
，且
xy0
，则的值等于________
y2
） 5、 实数
a,b,c
在数轴上对应点的位置如图2所示，下列式子中正确的有（
ca
b
-2-1
0
1
3
2
图2
①
bc0
②
abac
③
bcac
④
abac
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6、 ①数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是______数轴上表示1和-3的两点之间的距离是
________。
②数轴上表示
x
和-1的两点A和B之间的距离是_______，如果|AB|=2,那么
x____________
1、 若
a,b
互为相反数，则
ab0
；反之也成立。若
a,b
互为倒数，则
ab1
；反之也成立。
2、 关于绝对值的化简
（1） 绝对值的化简，应先判断绝对值符号内的数或式的值是正、负或0，然后再根据定义把
绝对值符号去掉。
（2） 已知
|x|a(a0)
，求
x
时，要注意
xa
考点3 平方根与算术平方根
1、 若
x
2
a
(
a
0)
，则
x
叫
a
做的_________，记作______；正数
a
的__________叫做算术平
方根，0的算术平方根是____。当
a0
时，
a
的算术平方根记作__________。
2、 非负数是指__________，常见的非负数有（1）绝对值
|a|___0
；（2）实数的平方
a
2
___0
；（3）算术平方根
a___0(a0)
。
3、 如果
a,b,c
是实数，且满足
|
a
|
b
2
c
0
，则有
a_____,b_____,c_____
1、下列说法中，正确的是（ ）
A.3的平方根是
3
C.
15
的平方根是
15
2、 9的算术平方根是______
3、
3
8
等于_____
4、
|x2|y30
，则
xy______
考点4 近似数和科学计数法
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2
B.7的算术平方根是
7
D.
2
的算术平方根是
2
初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页)
1、 精确位：四舍五入到哪一位。
2、 有效数字：从左起_______________到最后的所有数字。
3、 科学计数法：正数：_________________
负数：_________________
1、 据生物学统计，一个健康的成年女子体内每毫升血液中红细胞的数量约为420万个，用科
学计算法可以表示为___________
2、 由四舍五入得到的近似数0.5600的有效数字的个数是______，精确度是_______
3、 用小数表示：
7
10
5
＝_____________
考点5 实数大小的比较
1、 正数>0>负数；
2、 两个负数绝对值大的反而小；
3、 在数轴上，右边的数总大于左边的数；
4、 作差法：
若ab0，则ab；若ab0,则ab；若ab0,则ab.
1、 比较大小：
|3|_____
；12_____0
。
2、 应用计算器比较
3
11
与
5
的大小是____________
111
,
,
的大小关系：__________________
234
1
4、 已知
0x1，那么在x,,x,x
2
中，最大的数是___________
x
3、 比较
考点6
实数的运算
1、
当a
0时，a
0
_____；a
n
______(n是正整数）
。
2、 今年我市二月份某一天的最低温度为
5C
，最高气温为
13C
，那么这一天的最高气温
比最低气温高___________
3、 如图1，是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为-1时，则输出的数值为____________
(3)
输入x输出
2
4、 计算
（1）
(
2)
2
（2）
(1
2)
0
()
1
2
cos30
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3
11
(2004
3)
0
|
|
22
1
2
初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页)
考点7 乘法公式与整式的运算
1、 判别同类项的标准，一是__________；二是________________。
2、 幂的运算法则：（以下的
m,n
是正整数）
(1)
a
m
a
n
_____
；
(2)(a
m
)
n
____
；
(3)(ab)
n
_____
；
(4)a
m
a
n
______(a0)
；
b
(5)()
n
______
a
3、 乘法公式：
(1)(ab)(ab)________
；
(2)(ab)
2
____________
；
(3)(
ab
)
2
_____________
4、 去括号、添括号的法则是_________________
1、下列计算正确的是（ ）
A.
x
2
x
3
x
5
B.
x
2
x
3
x
6
C.
(x
3
)
2
x
6
D.
x
6
x
3
x
2
2、 下列不是同类项的是（ ）
A.
2与
B.
2m与2n
C.
1
2
1
2
1
ab
与
a
2
b
D
x
2
y
2
与x
2
y
2
42
3、 计算：
(2
a
1)
2
(2
a
1)(2
a
1)
4、 计算：
(2x
2
y
2
)
2
(x
2
y
4
)
考点8 因式分解
因式分解的方法：
1、 提公因式：
2、 公式法：
a
2
b
2
__________;
a
2
2
abb
2
________
1、 分解因式
mnmn
2
______
，
a
2
4ab4b
2
______
2、 分解因式
x
2
1
________
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4
a
2
2
abb
2
_______
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考点9：分式
1、 分式的判别：（1）分子分母都是整式，（2）分母含有字母；
2、 分式的基本性质：
bb
mb
m
(
m
0)
aa
ma
m
3、 分式的值为0的条件：___________________
4、 分式有意义的条件：_____________________
5、 最简分式的判定：_____________________
6、 分式的运算：通分，约分
1、 当x_______时，分式
x
2
有意义
x
5
x
2
4
2、 当x_______时，分式的值为零
x
2
3、 下列分式是最简分式的是（ ）
2a
2
a
A.
ab
6xy
B.
3a
x
2
1
C.
x
1
x
2
1
D
x
1
4、 下列各式是分式的是（ ）
a
3
11
5、 计算：
1
x
1
x
A.B.
1
a
C.
1
2
D
6
a
2
6、 计算：
a
1
a
1
考点10 二次根式
1、 二次根式：如
a(a0)
2、 二次根式的主要性质：
（1）
(a)
2
_____(a0)
__(a
0)
（2）
a
2
|a|
__(a
0)
__(a
0)
b
____(a0,b0)
a
5
（3）
ab_______(a0,b0)
（4）
3、 二次根式的乘除法
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ab________(a0,b0)
a
b
_______(a0,b0)
4、 分母有理化：
5、 最简二次根式：
6、 同类二次根式：化简到最简二次根式后，根号内的数或式子相同的二次根式
7、 二次根式有意义，根号内的式子必须大于或等于零
1、下列各式是最简二次根式的是（ ）
A.
12
B.
3x
C.
2x
3
D.
5
3
2、 下列根式与
8
是同类二次根式的是（ ）
A.
2
B.
3
C.
5
D.
6
3、 二次根式
3x4
有意义，则x的取值范围_________
4、 若
3x6
，则x＝__________
5、 计算：
3232233
6、 计算：
5
a
2
4
a
2
(
a
0)
7、 计算：
201
5
8、 数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：
(a1)
2
(b1)
2
(ab)
2
.
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6
(第8题)
初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页)
数与式考点分析及复习研究（答案）
考点1 有理数、实数的概念
1、 有理数集{
7.5,4,
2
3
,
3
8,0.25,0.1
5
}
无理数集{
15,
8
13
,
}
正实数集{
15,4,
82
3
13
,
3
,8,
,
2、 2
3、 2
4、 答案不唯一。如（
2
）
考点2 数轴、倒数、相反数、绝对值
1、
2
3
，
0.28
2、
2.5
3、
1
4、
8
5、 C
6、 3 ，4 ；
|x1|
，
3或1
考点3 平方根与算术平方根
1、 B
2、 3
3、
2
4、 6
考点4 近似数和科学计数法
1、
4.210
6
个
2、 4，万分位
3、 0.00007
考点5 实数大小的比较
1、< ， <
2、
5
3
11
3、
11
2
3
1
4
4、
1
x
考点6 实数的运算
1、
18C
2、 1
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7
0.25,0.1
5
}
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3、 （1）解：原式＝4＋
311
（2）解：原式＝1＋2＋
2
22
＝4
考点7 乘法公式与整式的运算
1、 C
2、 B
3、
(2
a
1)
2
(2
a
1)(2
a
1)
解：原式＝
(2a1)(2a1(2a1))
=
(2a1)(2a12a1)
=
2(2a1)
=
4a2
4、
(2x
2
y
2
)
2
(x
2
y
4
)
解：原式＝
4
x
4
y
4
(
x
2
y
4
)
＝
4x
2
考点8 因式分解
1、
mn(1n),(a2b)
2
2、
(x1)(x1)
考点9：分式
1、
x5
2、
x2
3、 D
4、 A
5、
1
1
x
1
1
x
解：原式＝
1
x1
x
(1
x)(1
x)
(1
x)(1
x)
＝
1
x
1
x
(1
x)(1
x)
＝
2
(1x)(1x)
a
2
6、
a
1
a
1
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2
＝3＋
3
8
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a
2
解：原式＝
(
a
1)
a
1
a
2
(a
1)(a
1)
＝
a
1
a
1
a
2
(a
2
1)
＝
a
1
＝
1
a
1
考点10 二次根式
1、 B
2、 A
3、
x
4
3
4、
2
5、
3232233
解：原式＝
3222333
＝
223
6、
5
a
2
4
a
2
(
a
0)
解：原式＝
5a2a
＝
3a
7、
201
5
＝
4
1
5
2
5
5
8、
(a1)
2
(b1)
2
(ab)
2
解：
a1,b1,ba
(第8题)
a10,b10,ab0
原式＝
(a1)(b1)(ab)
＝
a1b1ab
＝
2
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9
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方程与不等式
一、 方程与方程组
二、 不等式与不等式组
知识结构及内容：
1几个概念
2一元一次方程
3一元二次方程
4方程组
5分式方程
6应用
1、
概念
：方程、方程的解、解方程、方程组、方程组的解
2、
一元一次方程
：
解方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化一（未知项系数不能为零）
（一）方程与方程组
例题
：.解方程：
1
x1
（1）
x
33
解：
（2）
x
2x
1
2
x
32
（3） 关于x的方程mx+4=3x+5的解是x=1，则m=
解：
。
3、一元二次方程：
（1） 一般形式：
ax
2
bxc0
a0
（2） 解法：
直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法
b
b
2
4ac
2
b4ac0
求根公式
axbxc0
a0
x
2a
2
例题
：
①、
解下列方程：
（1）x
2
－2x＝0；
（3）(1－3x)
2
＝1；
（5）（t－2）（t+1）=0；
(7 )2x
2
－6x－3＝0；
解：
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10
（2）45－x
2
＝0；
（4）(2x＋3)
2
－25＝0.
（6）x
2
＋8x－2＝0
（8）3（x－5）
2
＝2（5－x）
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②
填空：
（1）x
2
＋6x＋（ ）＝（x＋ ）
2
；
（2）x
2
－8x＋（ ）＝（x－ ）
2
；
3
x＋（ ）＝（x＋ ）
2
2
（3）
判别式△＝b²－4ac的三种情况与根的关系
当
0
时 有两个不相等的实数根 ，
（3）x
2
＋
当
0
时 有两个相等的实数根
当
0
时 没有实数根。
当△≥0时 有两个实数根
例题
．
①
．（无锡市）若关于x的方程x
2
＋2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k满足
( )
A.k＞1 B.k≥1 C.k＝1 D.k＜1
②
（常州市）关于
x
的一元二次方程
x
2
(2k1)xk10
根的情况是（ ）
（A）有两个不相等实数根 （B）有两个相等实数根
（C）没有实数根 （D）根的情况无法判定
2
x
③
．（浙江富阳市）已知方程
2
pxq
0
有两个不相等的实数根，则
p
、
q
满足的
关系式是（ ）
2222
p
4
q
0
pq0p4q0p
A、 B、 C、 D、
q0
（4）根与系数的关系：x
1
＋x
2
=
bc
，x
1
x
2
=
aa
11
的值是
x
1
x
2
例题
：
（浙江富阳市）已知方程
3x
2
2x110
的两根分别为
x
1
、
x
2
，则
（ ）
A、
2
B、
11
C、
2
D、
11
112112
4、
方程组
：
代入消元代入消元
三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程
加减消元加减消元
二元(三元)一次方程组的解法：代入消元、加减消元
例题
：解方程组
解
x
y
7,
2x
y
8.
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11
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x
2y
0
解方程组
3x
2y
8
解
xy
1
1
解方程组：
2
3
3x
2y
10
解
解方程组：
解
解方程组：
解
x
y
1
2x
y
8
{
x
＋y＝9
3（
x
＋
y
）＋2
x
＝33
)
5、分式方程
：
分式方程的解法步骤：
（1） 一般方法：选择最简公分母、去分母、解整式方程，检验
（2） 换元法
例题：①、解方程：
41
1
的解为
x
2
x
2
4
x
2
4
0
根为
2
x
5x
6
x
x
2
x
y
)
2(
)30
时，若设②、当使用换元法解方程
(
，则原方程可变形
x1
x
1
x
1
为（ ）
A．
y
2
＋2
y
＋3＝0 B．
y
2
－2
y
＋3＝0
C．
y
2
＋2
y
－3＝0 D．
y
2
－2
y
－3＝0
（3）、用换元法解方程
x
2
3x
（A）
y
3
4
时，设
y
x
2
3x
，则原方程可化为（ ）
2
x
3x
3311
40
（B）
y
4
0
（C）
y
4
0
（D）
y
4
0
yy3y3y
6、应用：
（1）分式方程（行程、工作问题、顺逆流问题）
（2）一元二次方程（增长率、面积问题）
（3）方程组实际中的运用
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初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页)
例题：①轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流
的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.（提示：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速
度=静水速度-水流速度）
解：
②乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城.已知A、C两城的距离为450
千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10
千米/时，结果两辆车同时到达C城.求两车的速度
解
③某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百
分率.（精确到0.1%）
解
④
已知等式 (2A-7B) x+(3A-8B)=8x+10对一切实数x都成立，求A、B的值
解
⑤
某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款,共捐款100元.捐款情况如下表：
捐款（元）
人 数
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚.
若设捐款2元的有
x
名同学,捐款3元的有
y
名同学,根据题意,可得方程组
A、
解
1
6
2
3
4
7
x
y
27
2x
3y
66
B、
x
y
27
2x
3y
100
C、
x
y
27
x
y
27
D、
3x
2y
663x
2y
100
⑥已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数.
第 13 页 共 92 页
13
初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页)
解
⑦一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，
折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正
方形的边长.
解：
1
几个概念
2
不等式
3不等式（组）
1、几个概念
：不等式（组）、不等式（组）的解集、解不等式（组）
2、不等式
：
（1）怎样列不等式：
1．掌握表示不等关系的记号
（二）不等式与不等式组
2．掌握有关概念的含义，并能翻译成式子．
(1)和、差、积、商、幂、倍、分等运算．
(2)“至少”、“最多”、“不超过”、“不少于”等词语．
例题：用不等式表示：
①a为非负数，a为正数，a不是正数
解：
②
(2)8与y的2倍的和是正数；
(3)x与5的和不小于0；
(5)x的4倍大于x的3倍与7的差；
第 14 页 共 92 页
14
初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页)
解：
（2）不等式的三个基本性质
不等式的性质1：如果a>b，那么a＋c>b＋c，a－c>b－c
推论：如果a＋c>b，那么a>b－c。
不等式的性质2：如果a>b，并且c>0，那么ac>bc。
不等式的性质3：如果a>b，并且c<0，那么ac （3） 解不等式的过程，就是要将不等式变形成x>a或x 步骤：（与解一元一次方程类似） 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化一 （注：系数化一时，系数为正不等号方向不变；系数为负方向改变） 例题：① 解不等式 13(2x1) （1－2x）> 32 解： ②一本有300页的书，计划10天内读完，前五天因各种原因只读完100页.问从第六天起，每 天至少读多少页？ 解： （4） 在数轴上表示解集：“大右小左”“” （5） 写出下图所表示的不等式的解集 3、不等式组 ：求解集口诀：同大取大，同小取小，交叉中间，分开两边 例题：① 不等式组 x 2, x 2, x 3,x 3, x 2, x 3, x 2, x 3, 数轴表示 解集 第 15 页 共 92 页 15 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) ② 例题：如果a>b，比较下列各式大小 11 b ，（3） 2a 2b 33 （4） 2a1 2b1 ，（5） a1 b1 （1） a3 b3 ，（2） a ③ 3 x 1 x 3 8 不等式组 2x 11 x 的解集应为（ ） 1 2 3 A、 x2 B、 2x 解 ④ 求不等式组 2 C、 2x1 D、 x2 或 x ≥1 7 2≤3x－7<8的整数解。 解： 课后练习： 1、下面方程或不等式的解法对不对？ （1） 由－x＝5，得x＝－5；（ ） （2） 由－x>5，得x>－5；（ （3） 由2x>4，得x<－2；（ （4） 由－ ） ） 1 ≤3，得x≥－6。（ ） 2 2、判断下列不等式的变形是否正确： （1） 由a （2） 由x>y，且m0，得－ ） xy <；（ mm ） （3） 由x>y，得xz 2 > yz 2 ；（ （4） 由xz 2 > yz 2 ，得x>y；（ ） ） 3、把一堆苹果分给几个孩子，如果每人分3个，那么多8个；如果前面每人分5个， 那么最后一人得到的苹果不足3个，问有几个孩子？有多少只苹果？ 辅导班方程与不等式资料答案： 第 16 页 共 92 页 16 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) 例题 ：.解方程： （1）解：（ x=1） （3） 解： （m=4 ） 例题 ： ①、 解下列方程： （x=1） 解： （1）（ x 1= 0 x 2= 2 ） （2） （ x 1= 3√5 x 2= — 3√5 ） （3）（ x 1= 0 x 2= 2／3 ） （4）（ x 1= — 4 x 2= 1 ） （5）（ t 1= — 1 t 2= 2 ） （6）（x 1= — 4+3√2 x 2= — 4 — 3√2 ） （7）（ x 1= （ 3+√15 ） /2 x 2= （ 3 — √15 ） /2 ） （8）（ x 1= 5 x 2= 3/13 ） ② 填空： （1）x 2 ＋6x＋（ 9 ）＝（x＋ 3 ） 2 ； （2）x 2 －8x＋（ 16 ）＝（x－ 4 ） 2 ； 3 x＋（ 9/16 ）＝（x＋ 3/4 ） 2 2 例题 ． ① ． ( C ) ② B ③ ．（A） bc （4）根与系数的关系：x 1 ＋x 2 = ，x 1 x 2 = aa 例题 ： （ A ） （3）x 2 ＋ 例题 ：解方程组 x y 7, 解得： 2x y 8. x=5 y=2 x=2 y=1 解方程组 x 2y 0 解得： 3x 2y 8 xy 1 1 解方程组： 2 解得： x=3 3 3x 2y 10 y=1/2 x y 1 解方程组： 解得 ： x=3 2x y 8 解方程组： y=2 { x ＋y＝9 解得： x=3 3（ x ＋ y ）＋2 x ＝33 ) 例题：①、解方程： y=6 41 1 的解为 （ x = -1 ） x 2 x 2 4 第 17 页 共 92 页 17 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) x 2 4 0 根为 （ x = 2 ） x 2 5x 6 ②、（ D ） （3）、（ A ） 例题：①解：设船在静水中速度为x千米/小时 依题意得：80/（x+3）= 60/(x-3) 解得:x=21 答：（略） ②解：设乙车速度为x千米/小时，则甲车的速度为（x+10）千米/小时 依题意得：450/（x+10）=400/x 解得x=80 x+1=90 答：（略） ③解：设原零售价为a元，每次降价率为x 依题意得：a(1-x )²=a/2 解得：x≈0.292 答：（略） ④ 解 ： A=6/5 B= -4/5 ⑤ 解：A ⑥解：三个连续奇数依次为x-2、x、x+2 依题意得：（x-2）² + x² +（x+2）² =371 解得：x=±11 当x=11时，三个数为9、11、13； 当x= —11时，三个数为 —13、—11、—9 答（略） ⑦解：设小正方形的边长为x cm依题意：（60-2x）（40-2x）=800 解得x1=40 （不合题 意舍去） x2=10 答（略） 例题：用不等式表示：①a为非负数，a为正数，a不是正数 解： a≥0 a﹥0 a≤0 ② 解：（1）2x/3 —5＜1 （2）8+2y＞0 （3）x+5≥0 （4）x/4 ≤2 （5）4x＞3x—7 （6）2（x—8）/ 3 ≤ 0 13(2x1) 例题：① 解不等式 （1－2x）> 32 解得:x＜1/2 ②解：设每天至少读x页 依题意（10-5）x + 100 ≥ 300 解得x≥40 答（略） （6） 写出下图所表示的不等式的解集 x≥ -1/2 x＜0 例题：① ② 例题：如果a>b，比较下列各式 大小 11 ＞ b ，（3） 2a ＜ 2b 33 （4） 2a1 ＞ 2b1 ，（5） a1 ＜ b1 ③ （ C ） ④ 求不等式组2≤3x－7<8的整数解。解得：3≤x＜5 （1） a3 ＞ b3 ，（2） a 第 18 页 共 92 页 18 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) 课后练习： 1、下面方程或不等式的解法对不对？ （5） 由－x＝5，得x＝－5；（ 对 ） （6） 由－x>5，得x>－5；（错 ） （7） 由2x>4，得x<－2；（ 错 ） （8） 由－ 1 x≤3，得x≥－6。（对 ） 2 2、判断下列不等式的变形是否正确： （5） 由a （6） 由x>y，且m0，得－ xy <；（ 错 mm ） （7） 由x>y，得xz 2 > yz 2 ；（ 错 （8） 由xz 2 > yz 2 ，得x>y；（对 ） ） 3、把一堆苹果分给几个孩子，如果每人分3个，那么多8个；如果前面每人分5个， 那么最后一人得到的苹果不足3个，问有几个孩子？有多少只苹果？ 解：设有x个孩，依题意：3x+8 - 5（x-1）＜3 解得5＜x≤6.5 X=6 答（略） 第 19 页 共 92 页 19 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) 函数及图象 学校： 姓名： 一、学习的目标：掌握正、反比例、一次函数、二次函数的图象及性质 二 、知识点归纳： 1、平面直角坐标系：平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐 标平面内一点对应的有序实数对叫做这点的坐标。在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形” （平面内的点）和“数”（有序实数对）紧密结合起来。 2、函数的概念：设在某个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个 确定的值，y都有唯一确定的值与它相对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。 3 、自变量的取值范围 ：对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义。对于纯数学问题，自 变量取值应保证数学式子有意义。 4、正比例函数： 如果y=kx(k是常数，k≠0)，那么，y叫做x的正比例函数． 5、、正比例函数y=kx的图象： 过（0，0），（1，K）两点的一条直线． 6、正比例函数y=kx的性质 (1)当k>0时，y随x的增大而增大 (2)当k<0时，y随x的增大而减小 第 20 页 共 92 页 20 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) 7、反比例函数及性质 （1）当k>0时，在每个象限内分别是y随x的增大而减小； （2）当k<0时，在每个象限内分别是y随x的增大而增大． 8、一次函数 如果y=kx+b(k,b是+常数，k≠0),那么y叫做x的一次函数． 9、一次函数y=kx+b的图象 10、一次函数y=kx+b的性质 （ 1）当k>0时，y随x的增大而增大； （2）当k<0时，y随x的增大而减小． 第 21 页 共 92 页 21 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) 9、二次函数的性质 （1）函数y=ax 2 +bx+c(其中a、b、c是常数，且a 0)叫做的二次函数。 b 2 4ac b 2 （2）利用配方，可以把二次函数表示成y=a(x+)+或y=a(x-h) 2 +k的形式 4a2a （3）二次函数的图象是抛物线，当a＞0时抛物线的开口向上，当a＜0时抛物线开口向 下。 抛物线的对称轴是直线x=- b 或x=h 2a 4ac b 2 b 抛物线的顶点是(-,)或(h,k) 4a2a 三、学习的过程： 分层练习（A组） 一、选择题： 1．函数 yx1 中，自变量 x 的取值范围是（ ） A． x ＜1 B． x ＞1 C． x ≥1 D． x ≠1 2．在函数 中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3．在函数 y 5 x 3 中，自变量x的取值范围是 （A）x≥3 （B）x≠3 （C）x>3 （D）x<3 4. 点P（-1，2）关于y轴对称的点的坐标是（ ）． 第 22 页 共 92 页 22 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) A．（1，2） B．（-1，2） C．（1，-2） D．（-1，-2） 5. 点M（1，2）关于x轴对称点的坐标为（ ） A、（－1，2） B、（－1，－2） C、（1，－2） D、（2，－1） 6．在直角坐标系中，点 A. 抛物线 一定在（ ） 上 B. 双曲线 上 C. 直线 上 上 D. 直线 7. 若反比例函数 y A．-2 k ，则k的值为 (k0) 的图象经过点（-1，2） x 1 1 B． C．2 D． 2 2 8． 函数y=-x+3的图象经过（ ） （A）第一、二、三象限 （B）第一、三、四象限 （C）第二、三、四象限 （D）第一、二、四象限 9．函数 y ＝2 x -1的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10、如图所示，函数 yx2 的图象最可能是（ ） (A) (B) (C) (D) 11．为解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价。若设平均 每次降价的百分率为x，该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系式 是（ ） （A）y＝2m(1－x) （B）y＝2m(1＋x) （C）y＝m(1－x) 2 （D）y＝m(1＋x) 2 13．一辆汽车由淮安匀速驶往南京，下列图象中，能大致反映汽车距南京的路程s（千米）和 行驶时间t（小时）的关系的是( ) s ss s O t A O t B O 第 23 页 共 92 页 23 C O t t D 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) 14． 8、某小工厂现在年产值150万元，计划今后每年增加20万元，年产值 y （万元）与年 数 x 的函数关系式是（ ） A． y150x20 B． y152x C． y15020x D． y20x 15．关于函数 y2x1 ，下列结论正确的是（ （A）图象必经过点（﹣2，1） （C）当 x ） （B）图象经过第一、二、三象限 （D） y 随 x 的增大而增大 1 时， y0 2 16．一次函数 y = ax + b 的图像如图所示， 则下面结论中正确的是（ ） A． a ＜0, b ＜0 B． a ＜0, b ＞0 C． a ＞0, b ＞0 D． a ＞0, b ＜0 17．若反比例函数 y k3 的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，则有( ) x A.k≠0 B.k≠3 C.k<3 D.k>3 18． 函数 y 1 x1 的图象与坐标轴围成的三角形的面积是（ ） 2 A．2 B．1 C．4 D．3 19．抛物线 y A、x＝－2 1 2 xx4 的对称轴是（ ） 4 B、x＝2 C、x＝－4 D、x＝4 20．抛物线y=2(x-3) 2 的顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 二、填空题： D. y轴上 2 yx 2 x 3 与 x 轴分别交 A 、 B 两点，则 AB 的长为________． 1.抛物线 第 24 页 共 92 页 24 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) 2．直线 y 21 x 32 不经过第_______象限． 3．若反比例函数 y k 图象经过点 A (2，－1)，则 k ＝_______． x 4．若将二次函数y=x 2 -2x+3配方为y=(x-h) 2 +k的形式，则y= 5．若反比例函数 y 6．函数 y . . k 的图象过点（3，-4），则此函数的解析式为 x 。 1 的自变量x的取值范围是 2x 3 7．写出一个图象经过点(1，一1)的函数解析式： ． 8．已知一次函数 y2xb ，当 x =3时， y =1，则b=__________ 9．已知点P（－2，3），则点P关于x轴对称的点坐标是（ 10．函数 yaxb 的图像如图所示，则y随 x 的增大而 11．反比例函数 y 12．函数 y 3x 2 。 , ）。 5 的图像在 x 象限。 4x 5 中自变量x的取值范围是______________。 2x 1 k （只需填一个数） (x 0) 的图象在第一象限． x 13．当k = ________时,反比例函数 y 14． 函数y=中自变量x的取值范围是_____. 15．若正比例函数 y = mx ( m ≠0)和反比例函数 y = n ( n ≠0)的图象都经过点(2,3)，则 x m =______， n =_________ . 三、解答题： 1、求下列函数中自变量x的取值范围： 5x7 ； 2 3 （3）y=； 4 x 8 （1）y= 解： 第 25 页 共 92 页 （2）y=x 2 -x-2； （4）y= x3 25 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) （1） （2） （3） （4） 2、分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围： （1）某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y（元）关于用电度数x的函数关系式； （2）已知等腰三角形的面积为20cm 2 ，设它的底边长为x（cm），求底边上的高y（cm）关于 x的函数关系式； （3）在一个半径为10 cm的圆形纸片中剪去一个半径为r（cm）的同心圆，得到一个圆环.设 圆环的面积为S（cm 2 ），求S关于r的函数关系式. 3.已知弹簧的长度 y（厘米）在一定的限度内是所挂重物质量 x（千克）的一次函数．现已测 得不挂重物时弹簧的长度是6厘米，挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米。求这个 一次函数的关系式。 分析 已知y与x的函数关系是一次函数，则解析式必是 y 求的就是 的形式，所以要 时，y和b的值。而两个已知条件就是x和y的两组对应值，也就是当x＝ ＝6，即得到点（ ，6）；当x＝4时，y＝7.2，即得到点（4，7.2）。可以分别将两个点的坐 和b的值。 标代入函数式，得到一个关于k,b的方程组，进而求得 解 设所求函数的关系式是y＝kx＋b，根据题意，得 解这个方程组，得 k b 。 26 所以所求函数的关系式是 第 26 页 共 92 页 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) 运用待定系数法求解下题 4.已知一次函数的图象如下图，写出它的关系式。 分析：由图可知直线经过两点（ ， ）、（ ， ） 解： 5、一次函数中，当 x1 时， y3 ；当 x1 时， y7 ，求出相应的函数关系式。 解：设所求一次函数为 ∴解方程组得 6、已知一次函数y= kx+b的图象经过点（-1，1）和点（1，-5），求 （1）函数的解析式 （2）当x=5时，函数y的值。 四．综合题：（3分+2分+3分+4分） ，则依题意得 k ∴所求一次函数为 b 第 27 页 共 92 页 27 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) 已知一个二次函数的图象经过A(-2, 53 )、B(0, )和C(1,-2)三点。 22 （1）求出这个二次函数的解析式； （2）通过配方，求函数的顶点P的坐标； （3）若函数的图象与x轴相交于点E、F，（E在F的左边），求出E、F两点的坐标。 （4）作出函数的图象并根据图象回答：当x取什么时，y＞0,y＜0,y=0 第 28 页 共 92 页 28 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) 分层练习（A组） 函数及图象答案 一． 选择题：C B C A C D A D B C C B C D A C C B C 二． 填空题： 1．4 2. 三 3. –2 4.y=(x-1)+2 5. y= - 123 6. x x2 1 且x 1 2 7. y=-x等 8.7 9. (-2,-3) 10. 减小 11. 二、四 13. -1等 14.x＞ 15. 3 6 2 三． 解答题： 1．（1）一切实数 （2）一切实数 （3）x 2 (4)x＞-3 2． (1)y =0.5x (x＞0) (2)y= 3.分析：kx+b k 0 0 k 解： 40 2 (3)s=100 - r(0＜r＜10) x b 6 k 0.3 y=0.3x+6 4k b 7.2 b 6 4.分析：（2，0） （0，-3） kx b 3 33 解：y=kx+b k y=x-3 22 b 3 b 3 5.解：y=kx+b 5．（1） kx b 3 b 5 y=-2x+5 k b 7k 2 k b 1 b 2 y=-3x-2 k b 5 k 3 (2) y=-17 四. ① y=0.5x 2 -x-1.5 ② y=0.5(x-1) 2 -2 p(1,-2) ③ E( -1,0 ) F(3,0) ④ 图略。当X＜-1或X＞3时y＞0 .当-1＜X＜3时y＜0 当X=-1，X=3时y=0 第 29 页 共 92 页 29 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) 一、知识归纳与例题讲解： 统计与概率 学校 姓名 1、总体，个体，样本和样本容量。注意“考查对象”是所要研究的数据。 例1：为了了解某地区初一年级7000名学生的体重情况，从中抽取了500名学生的体重， 就这个问题来说，下面说法中正确的是（ ） （A）7000名学生是总体 （B）每个学生是个体 （C）500名学生是所抽取的一个样本 （D）样本容量是500 例2：某市今年有9068名初中毕业生参加升学考试，从中抽出300名考生的成绩进 行分析。在这个问题中，总体是__________________________；个体是___ ________；样本是_______________________；样本容量是__________. 2、中位数，众数，平均数，加权平均数，注意区分这些概念。 相同点：都是为了描述一组数据的集中趋势的。 不同点：中位数——中间位置上的数据（当然要先按大小排列） 众数——出现的次数多的数据。 例3：某校篮球代表队中，5名队员的身高如下（单位：厘米）：185，178，184，183， 180，则这些队员的平均身高为（ ） （A）183 （B）182 （C）181 （D）180 例4：已知一组数据为3，12，4，x，9，5，6，7，8的平均数为7，则x＝ 例5：某班第二组男生参加体育测试，引体向上成绩（单位：个）如下： 6 9 11 13 11 7 10 8 12 这组男生成绩的众数是____________，中位数是_________。 3、方差，标准差与极差。方差：顾名思义是“差的平方”，因有多个“差的平方”，所以要求 平均数，弄清是“数据与平均数差的平方的平均数”，标准差是它的算术平方根。 会用计算 器计算标准差与方差。 例6：数据90，91，92，93的标准差是（ ） 55 5 （A） 2 （B） （C） （D） 442 例7：甲、乙两人各射靶5次，已知甲所中环数是8、7、9、7、9，乙所中的环数的平 均数x＝8，方差S 2 乙 ＝0.4，那么，对甲、乙的射击成绩的正确判断是（ ） （A）甲的射击成绩较稳定 （B）乙的射击成绩较稳定 （C）甲、乙的射击成绩同样稳定 （D）甲、乙的射击成绩无法比较 例8：一个样本中，数据15和13各有4个，数据14有2个，求这个样本的平均数、 方差、标准差和极差（标准差保留两个有效数字） 4、频数，频率，频率分布，常用的统计图表。 第 30 页 共 92 页 30 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) 例9：第十中学教研组有25名教师，将他的年龄分成3组，在38～45岁组内有8名教师， 那么这个小组的频率是（ ） （A）0.12 （B）0.38 （C）0.32 （D）3.12 例10：如图是某校初一年学生到校方式的条形统计图，根据 图形可得出步行人数占总人数的( ) A．60%； B．50%； C．30%； D．20%. 例11：在市政府举办的“迎奥运登山活动”中，参加白云山景区登山活动的市民约有12000 人，为统计参加活动人员的年龄情况，我们从中随机抽取了100人的年龄作为样本，进行数据 处理，制成扇形统计图和条形统计图（部分）如下： （1）根据图①提供的信息补全图②； （2）参加登山活动的12000余名市民中，哪个年龄段的人数最多？ （3）根据统计图提供的信息，谈谈自己的感想．（不超过30字） 5、确定事件（分为必然事件、不可能事件）、不确定事件（称为随机事件或可能事件）、概率。 并能用树状图和列表法计算概率； 例12：下列事件中，属于必然事件的是（ ） A、明天我市下雨 B、抛一枚硬币，正面朝上 C、我走出校门，看到的第一辆汽车的牌照的末位数字是偶数 D、一口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球 例13：用列表的方法求下列概率：已知 |a|2 ， |b|5 ．求 |ab| 的值为7的概率． 例14：画树状图或列表求下列的概率：袋中有红、黄、白色球各一个，它们除颜色外其余 都相同，任取一个，放回后再任取一个．画树状图或列表求下列事件的概率． (1)都是红色 (2)颜色相同 (3)没有白色 第 31 页 共 92 页 31 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) 6、统计和概率的知识和观念在实际中的应用。能解决一些简单的实际问题。 例15：下列抽样调查： ①某环保网站就“是否支持使用可回收塑料购物袋”进行网上调查; ②某电脑生产商到当地一私立学校向学生调查学生电脑的定价接受程度; ③为检查过往车辆的超载情况，交警在公路上每隔十辆车检查一辆; ④为了解《中考指要》在学生复习用书中受欢迎的程度，随机抽取几个学校的初三年级中的几 个班级作调查. 其中选取样本的方法合适的有：（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 例16：某农户在山上种脐橙果树44株，现进入第三年收获。收获时，先随机采摘5株果 树上的脐橙，称得每株果树上脐橙重量如下（单位：kg）：35，35，34，39，37。 ⑴试估计这一年该农户脐膛橙的总产量约是多少？ ⑵若市场上每千克脐橙售价5元，则该农户这一年卖脐橙的收入为多少？ ⑶已知该农户第一年果树收入5500元，根据以上估算第二年、第三年卖脐橙收入的年平均增 长率。 二、达标训练 （一） 选择题 1、计算机上，为了让使用者清楚、直观地看出磁盘“已用空间”与“可用空间”占“整个磁 盘空间”的百分比，使用的统计图是( ) A 条形统计图 B 折线统计图 C 扇形统计图 D 条形统计图或折线统计图 2、 小明把自己一周的支出情况，用右图所示的统计图来表示， 下面说法正确的是 （ ） A．从图中可以直接看出具体消费数额 B．从图中可以直接看出总消费数额 C．从图中可以直接看出各项消费数额占总消费额的百分比 D．从图中可以直接看出各项消费数额在一周中的具体变化情况3、下 列事件是随机事件的是（ ） （A）两个奇数之和为偶数， （B）三条线段围成一个三角形 第 32 页 共 92 页 32 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) （C）广州市在八月份下了雪， （D）太阳从东方升起。 4、下列调查方式合适的是 ( ) A．为了了解炮弹的杀伤力，采用普查的方式 B．为了了解全国中学生的睡眠状况，采用普查的方式 C．为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式 D．对载人航天器“神舟六号”零部件的检查，采用抽样调查的方式 5、下列事件：①检查生产流水线上的一个产品，是合格品.②两直线平行，内错角相等.③三 条线段组成一个三角形.④一只口袋内装有4只红球6只黄球，从中摸出2只黑球.其中属于确 定事件的为（ ） A、②③ B、②④ C、③④ D、①③ 6、甲、乙、丙三人随意排成一列拍照，甲恰好排在中间的概率（ ） 214 （A） （B） （C） （D）以上都不对 939 7、从1,2,3,4,5的5个数中任取2个，它们的和是偶数的概率是（ ） 112 （A） （B） （C） （D）以上都不对 1055 （二） 填空题 1、在一个班级50名学生中，30名男生的平均身高是1.60米，20名女生的平均身高是1.50 米，那么这个班学生的平均身高是________米. 2、已知一个样本为1，2，2，－3，3，那么样本的方差是_______；标准差是_________. 3、将一批数据分成五组，列出频数分布表，第一组频率为0.2，第四组与第二组的频率之和 为0.5，那么第三、五组频率之和为_________. 4、已知数据x 1 ,x 2 ,x 3 的平均数是m，那么数据3x 1 ＋7，3x 2 ＋7，3x 3 ＋7的平均数等于_________. 5、 装有5个红球和3个白球的袋中任取4个，那么取到的“至少有1个是红球”与“没有红 球”的概率分别为 与 6、 有甲、乙两把不相同的锁，甲锁配有2把钥匙，乙锁配有1把钥匙，事件A为“从这3把 钥匙中任选2把，打开甲、乙两把锁”，则P（A）＝ 7、 某名牌衬衫抽检结果如下表： 抽检件数 不合格件数 10 0 20 1 100 3 150 4 200 6 300 9 如果销售1000件该名牌衬衫，至少要准备 件合格品，供顾客更换； 8、随意地抛掷一只纸可乐杯，杯口朝上的概率约是0.22，杯底朝下的概率约是 0.38，则横卧的概率是 ； 9、某篮球运动员投3分球的命中率为0.5,投2分球的命中率为0.8,一场比赛中据说他投了20 次2分球, 投了6次3分球,估计他在这场比赛中得了 分; 10、由1到9的9个数字中任意组成一个二位数（个位与十位上的数字可以重复），计算： ① 个位数字与十位数字之积为奇数的概率 ； ②个位数字与十位数字之和为偶数的概率 ； 第 33 页 共 92 页 33 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) ③个位数字与十位数字之积为偶数的概率 ； 11、某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示： 射击次数（n） 击中靶心次数(m) m 击中靶心频率（） n 是 ； 12、某同学进行社会调查，随机抽查了某个地区的20个家庭的收入情况，并绘制了统计图.请你根 据统计图给出的信息回答： (1)填写完成下表： 年收入（万 元） 家庭户数 0.6 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 9.7 10 8 20 19 50 44 100 92 200 178 500 … 455 … … 请填好最后一行的各个频率，由此表推断这个射手射击1次，击中靶心的概率的 这20个家庭的年平均收入为______万元； (2)样本中的中位数是______万元，众数是______ 万元； (3)在平均数、中位数两数中，______更能反映这 个地区家庭的年收入水平. （三）解答题 1、从同一家工厂生产的20瓦日光灯中抽出6支，40瓦日光灯中抽出8支进行使用寿命（单 位：小时）测试，结果如下： 20瓦 40瓦 2、 某样本数据分为五组，第一组的频率是0.3，第二、三组的频率相等，第四、五组的频率 之和为0.2，则第三组的频率是多少？ 3、 小明与小刚做游戏，两人各扔一枚骰子.骰子上只有l、2、3三个数字．其中相对的面上 的数字相同．规则规定．若两枚骰子扔得的点数之和为质数，则小明获胜，否则，若扔得 的点数之和为合数，则小刚获胜，你认为这个游戏公平吗?对谁有利?怎样修改规则才能使 游戏对双方都是公平的? 第 34 页 共 92 页 34 457 466 443 452 459 438 451 467 464 455 438 459 464 439 哪种日光灯的寿命长？哪种日光灯的质量比较稳定？ 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) 三、自我检测 1、 一个班的学生中，14岁的有16人，15岁的有14人，16岁的有8 人，17岁的有4人。这 个班学生的平均年龄是______岁。 2、 布袋里有1个白球和2个红球，从布袋里取两次球，每次取一个，取出后放回， 则两次取 出都是红球的概率是 。 3、 如果数据x 1 ,x 2 ,x 3 ,…x n 的的平均数是x，则(x 1 - x)+(x 2 - x)+…+(x n -x)的值等 于 。 4、抛掷两枚分别标有1，2，3，4的四面体骰子. 写出这个实验中的一个可能事件是 ______________________________； 写出这个实验中的一个必然事件是________________________________; 5、从全市5 000份试卷中随机抽取400份试卷，其中有360份成绩合格，估计全市成绩合格 的人数约为 人． 6、一只不透明的布袋中有三种小球（除颜色以外没有任何区别），分别是2个红球，3个白球 和5个黑球，每次只摸出一只小球，观察后均放回搅匀．在连续9次摸出的都是黑球的情况下， 第10次摸出红球的概率是 ． 7、四张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一 张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为( ) A．1/4 B．1/2 C．3/4 D．1 8、从1至9这九个自然数中任取一个，是2的倍数也是3的倍数的概率是（ ） （A） 9、数学老师布置10道选择题作为课堂练习，课代表 班同学的答题情况绘制成条形统计图（如图），根据图 班每位同学答对的题数所组成样本的中位数和众数分 A、8, 8 B、8，9 C、9, 9 D、9, 8 10、有十五位同学参加智力竞赛，且他们的分数互不相同，取八位同学进入决赛，某人知道了 自己的分数后，还需知道这十五位同学的分数的什么量，就能判断他能不能进入决赛 （ ） A、平均数 B、众数 C、最高分数 D、中位数 11、如图，某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一 次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进 行中的一组统计数据： ⑴ 计算并完成表格； 转动转盘的次数 n 落在“铅笔”的次数 m 第 35 页 共 92 页 1 9 （B） 2 9 （C） 2 3 （D） 5 9 将全 表，全 别为 100 68 150 111 35 200 136 500 345 800 564 1000 701 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) 落在“铅笔”的频率 m n ⑵ 请估计当n很大时，频率将会接近多少？ ⑶ 假如你去转动该转盘一次，你获得可乐的概率是多少？在该转盘中，表示“可乐”区域的 扇形的圆心角约是多少度？ ⑷ 如果转盘被一位小朋友不小心损坏, 请你设计一个等效的模拟实验方案(要求 交代清楚替代工具和游戏规则). 第 36 页 共 92 页 36 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) 平行线与三角形复习材料 一、相关知识点复习： （一）平行线 1. 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2. 判定： （1） 同位角相等，两直线平行。 （2） 内错角相等，两直线平行。 （3） 同旁内角相等，两直线平行。 （4） 垂直于同一直线的两直线平行。 3. 性质： (1) 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 (2) 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。 (3) 两直线平行，同位角相等。 (4) 两直线平行，内错角相等。 (5) 两直线平行，同旁内角互补。 （二）三角形 4. 一般三角形的性质 (1) 角与角的关系： 三个内角的和等于180°； 一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角。 (2) 边与边的关系： 三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。 (3) 边与角的大小对应关系： 在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。 (4) 三角形的主要线段的性质(见下表)： 名称 基本性质 ① 三角形三条内角平分线相交于一点（内心）；内心到三角形三边 角平分线 距离相等； ② 角平分线上任一点到角的两边距离相等。 中线 三角形的三条中线相交于一点。 高 三角形的三条高相交于一点。 边的垂直平分三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）； 线 外心到三角形三个顶点的距离相等。 中位线 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 5. 几种特殊三角形的特殊性质 (1) 等腰三角形的特殊性质： ①等腰三角形的两个底角相等； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高是同一条线段，这条线段所在的 第 37 页 共 92 页 37 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) 直线是等腰三角形的对称轴。 (2) 等边三角形的特殊性质： ①等边三角形每个内角都等于60°； ②等边三角形外心、内心合一。 (3) 直角三角形的特殊性质： ①直角三角形的两个锐角互为余角； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③ 勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和 （其逆命题也成立）； ④ 直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半； ⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 6. 三角形的面积 1 a h（ h 是a边上的高 ） 2 11 (2) 直角三角形：S △ = a b = c h（a、b是直角边，c是斜边，h是斜边上的高） 22 (1) 一般三角形：S △ = (3) 等边三角形： S △ = 3 2 a （ a是边长 ） 4 (4) 等底等高的三角形面积相等；等底的三角形面积的比等于它们的相应的高的比；等高的三 角形的面积的比等于它们的相应的底的比。 7. 相似三角形 (1) 相似三角形的判别方法： ① 如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似； ② 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三 角形相似； ③ 如果一个三角形的三边和另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。 (2) 相似三角形的性质： ① 相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比； ② 相似三角形的周长比等于相似比； ③ 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8. 全等三角形 两个能够完全重合的三角形叫全等三角形，全等三角形的对应角相等，对应边相等，其他的对 应线段也相等。 判定两个三角形全等的公理或定理： ①一般三角形有SAS、ASA、AAS、SSS； ②直角三角形还有HL 二、巩固练习： 一、选择题： 1． 如图，若AB∥CD，∠C = 60º，则∠A＋∠E＝（ A．20º B．30º C．40º D．60º ） 2． 如图，∠1=∠2，则下列结论一定成立的是（ ） A．AB∥CD B．AD∥BC C．∠B=∠D D．∠3=∠4 ） 3． 如图，AD⊥BC，DE∥AB，则∠B和∠1的关系是（ 第 38 页 共 92 页 38 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) A. 相等 4． B. 互补 C. 互余 D. 不能确定 如图，下列判断正确的是（ ） A．∠1和∠5是同位角； C．∠3和∠5是内错角； 5． 下列命题正确的是（ ） B．∠2和∠6是同位角； D．∠3和∠6是内错角． A．两直线与第三条直线相交，同位角相等； B．两直线与第三条直线相交，内错角相等； C．两直线平行，内错角相等； D．两直线平行，同旁内角相等。 6． 如图，若AB∥CD，则（ ） A．∠1 = ∠4 C．∠4 = ∠5 7． A．50° C．85° 8． B．∠3 = ∠5 D．∠3 = ∠4 ） 如图， l 1 ∥l 2 ，则α= （ B．80° D．95° 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ B.5cm，6cm，11cm D.3cm，8cm，12cm ） A.3cm，4cm，8cm C.5cm，6cm，10cm 9． 等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ A.150° B.80° C.50°或80° D.70° ） 10． 如图，点D、E、F是线段BC的四等分点，点A在BC外， 连接AB、AD、AE、AF、AC，若AB = AC，则图中的全等三角形 共有（ A. 2 ）对 B. 3 C. 4 D. 5 ） 11． 三角形的三边分别为 a、b、c，下列哪个三角形是直角三角形？（ A. a = 3，b = 2，c = 4 C. a = 9，b = 8，c = 11 B. a = 15，b = 12，c = 9 D. a = 7，b = 7，c = 4 A E D 12． 如图，△AED ∽ △ABC，AD = 4cm，AE = 3cm， 第 39 页 共 92 页 39 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) AC = 8cm，那么这两个三角形的相似比是（ A． ） D．2 3 4 B． 1 2 C． 3 8 ） 13． 下列结论中，不正确的是（ A．有一个锐角相等的两个直角三角形相似； B．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似； C．各有一个角等于120°的两个等腰三角形相似； D．各有一个角等于60°的两个等腰三角形相似。 二、填空题： 14． 如图，直线a∥b，若∠1 = 50°， 则∠2 = 15． 如图，AB∥CD，∠1 = 40°， 则∠2 = 16． 如图，DE∥BC，BE平分∠ABC， 若∠ADE = 80°，则∠1 = 17． 如图， l 1 ∥l 2 ，∠1 = 105°，∠2 = 140°， 则∠α = ． . 。 。 18． △ABC中，BC = 12cm，BC边上的高 AD = 6cm，则△ABC的面积为 19． 如果一个三角形的三边长分别为x，2，3， 那么x的取值范围是 。 ，∠C = 。 。 。 。 20． 在△ABC中，AB = AC，∠A = 80°，则∠B = 21． 在△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 4cm，则AB = 22． 已知直角三角形两直角边分别为6和8，则斜边上的中线长是 23． 等腰直角三角形的斜边为2，则它的面积是 。 24． 在Rt△ABC中，其中两条边的长分别是3和4，则这个三角形的面积等于 25． 已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为10，则它的周长为 第 40 页 共 92 页 40 。 。 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) 26． 等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，则它的顶角度数为 27． 如图，A、B两点位于一个池塘的两端，冬冬想用绳子 测量A、B两点间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他 想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的 点C，找到AC，BC的中点D、E，并且测得DE的长 为15m，则A、B两点间的距离为__________. 28． 如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE， ∠B=∠E．要使△ABC≌△DEF，需要补充的 是一个条件： 29． 太阳光下，某建筑物在地面上的影长为36m，同时 量得高为1.2m的测杆影长为2m，那么该建筑物的高为 三、解答题： 30． 如图，已知△ABC中，AB = AC，AE = AF，D是BC的中点 求证： ∠1 = ∠2 。 。 。 31． 如图，已知D是BC的中点，BE⊥AE于E，CF⊥AE于F 求证：BE = CF 32． 如图，CE平分∠ACB且CE⊥BD，∠DAB =∠DBA，AC = 18，△CDB的周长是28。 求BD的长。 第 41 页 共 92 页 41 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) 33． 已知：如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝EC， 求证：AB＝AC 34． *一条河的两岸有一段是平行的，在河的这一岸每隔5m有一棵树，在河的对岸每隔50m 有一根电线杆，在此岸离岸边25m处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵 树遮住，并且这两棵树之间还有三棵树。 (1) 根据题意，画出示意图； (2) 求河宽。 第 42 页 共 92 页 42 A B D E C 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) 第 43 页 共 92 页 43 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) 练习答案： 一、选择题 1、D 2、B 3、C 4、A 5、C 6、C 7、C 8、C 9、C 10、C 11、B 12、B 13、B 二、填空题 14、130° 15、140° 16、40° 17、65° 18、36cm 2 19、1 24、6或 20、50°、50° 21、8cm 22、5 23、1 37 25、22或26 2 26、120° 27、30m 28、BC=EF或∠A=∠D或∠C=∠F 29、21.6m 三、证明题 30、BE=CF、∠B=∠C、BD=DC→△BED≌△CFD→∠1=∠2 31、△BED≌△CFD→BE=CF 32、∠A=∠DBA→AD=BD→CD+BD=AC=18、△CDB的周长是28→BC=10 33、AD=AE→∠ADE=∠AED→∠ADB=∠AEC→△ABD≌△AEC→AB=AC 34、 解：如图，根据题意，有AB∥CD，PM⊥CD于N点， 交AB于M点，且AB=20m， CD=50m， PM=25m， AB∥CD→△PAB∽△PCD→ C A P M B N PMAB = PNCD D 2520 →PN=62.5→MN=37.5 → = PN50 四边形及平移旋转对称 一、 知识框图： １、 矩形 四 边 形 平行四边形 菱形 梯形 ２、 正方形 第 44 页 共 92 页 44 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) 四边形 ３、 一组对边平行 一组对边不平行 有一个角是直角 梯形 两腰相等 直角梯形 等腰梯形 图 形 之 间 的 变 换 关 系 轴对称 连结对应点的线段平行(或在同 一直线上)且相等,对应线段平 行(或在同一直线上)且相等 对应点与旋转中心的距离不变; 每一点都绕旋转中心旋转了同 样大小的角度 旋转对称 中心对称 平移 旋转 在轴对称、平移、旋转这些图形变换中, 线段的长度不变,角的大小不变;图形的 形状、大小不变 二、 例题分析 1、四边形 例1（1）凸五边形的内角和等于______度，外角和等于______度， （2）若一凸多边形的内角和等于它的外角和， 则它的边数是_______. 2．平行四边形的运用 例2 如图,∠1=∠2,则下列结论一定成立的是( ) A. AB∥CD B. AD∥BC C. ∠B=∠D D. ∠3=∠4 若ABCD是平行四边形，则上述四个结论中那些是 可以得到什么结论？ 3．矩形的运用 例3 如图1，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、则阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的……………………………………………（ ） A、 4．菱形的运用 例4 1. 一个菱形的两条对角线的长的比是2 : 3 ,面积是12 cm 2 2 3 A D 正确？你还 4 1 B C 1 5 B、 11 C、 43 D、 3 10 , 则它的两条对角线的长分别为_____、____. 第 45 页 共 92 页 45 初三数学总复习资料_分专题试题及答案(90页) 2、已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_______. 5．等腰梯形的有关计算 例5 已知:如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,AB=4, BC=7.求∠B的度数.. 6．轴对称的应用 例6 如图,牧童在A处放牛,其家在B处,若牧童从A处出发牵牛到河岸CD边饮水后再回家,试问 在何处饮水所走路程最短? 7．中心对称的运用 例7 如图,作△ABC关于点O的中心对称图形△DEF 8．平移作图 是（ ）. A D B E C A_ C_ B_ D_ A O B C 例8 ．在5 × 5方格纸中将图（1）中的图形 N 平移后的位置如图（2）中所示，那么正确的平移方法 (A)先向下移动1格，再向左移动1格 (B)先向下移动1格，再向左移动2格 (C)先向下移动2格，再向左移动1格 (D)先向下移动2格，再向左移动2格 9．旋转的运用 例9 如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠C和∠ 是直角,点C在AD上,如果△ABC经旋转后能与△ADE重合,那么 是旋转中心?旋转了多少度? 解:_____是旋转中心,_______方向旋转了______. AED都 哪一点 图1 图2 （第1题） B 第 46 页 共 92 页 46 A C D E
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