2023年12月27日发(作者：数学试卷批改济南)

导数在三次函数中的应用

新课程的高考增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考察的要求逐渐加强，导数已经由前两年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具。三次函数是中学数学研究导数的一个重要载体，三次函数的问题涉及高中数学中较多的知识点和数学思想方法，近几年多个省高考数学试卷中都出现了以三次函数为载体，通过研究其图象性质，从而来考察学生的创新能力和探究能力的试题。本人结合教学实践，就导数在三次函数中的应用及应用中的误区作初步的探讨。

一、 关于三次函数的切线问题

函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率。也就是说，曲线yf(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f\'(x0)，相应的，切线的方程为yy0f\'(x0)(xx0)

例1：已知曲线S:yx33x21，过原点作S的切线，求切线方程。

误解：y\'3x26x，根据导数的几何意义可知，曲线的切线斜率ky\'/x00，所以所求的切线方程为y0

分析：此种解法错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率应该是在切点处的导数，而原点（0，0）不在曲线S上，所以本题应该先设切点，再求斜率，最后求出切线方程。

322正解：设切点为(x0,x03x01)，则切线的斜率k3x06x0

322 所以切线方程为：y(x03x01)(3x06x0)(xx0)

因为原点在切线上，得到(x01)2(2x01)0

1 所以x01或x0

2 所以所求的切线方程为y3x或y15x

4例2：已知曲线S:yx33x2，求过原点O（0，0）的切线方程。

误解：y\'3x26x，根据导数的几何意义可知，曲线的切线斜率ky\'/x00，所以所求的切线方程为y0

分析：此种解法少了一条切线，错误的原因在于混淆了两个不同的概念：“点O处的切线”与“过点O的切线”。“点O处切线的斜率”等于该点的导数值，而“过点O的切线”则仅表明，切线是经过点O的，但直线未必在点O处与曲线相切，“过点O的切线的斜率不一定是该点的导数值，所以本题也应该先设切点，在求斜率，最后求出切线方程。

322正解：设切点为(x0,x03x0)，则切线的斜率k3x06x0

322 所以切线方程为：y(x03x0)(3x06x0)(xx0)

2 因为原点在切线上，得到x0(2x03)0

所以x00或x03

29 所以所求的切线方程为y0或yx

4二、 关于三次函数的单调性问题

设三次函数f(x)的导函数f\'(x)ax2bxc(a0,a,b,c为常数），b24ac。

①若0，则当a0时，f\'(x)0，f(x)在R上为单调递增函数；当a0时，f\'(x)0，f(x)在R上为单调递减函数。

②若0，则当a0时，f\'(x)0，f(x)在R上为单调递增函数；当a0时，f\'(x)0，f(x)在R上为单调递减函数。

③若0，设f\'(x)0的两根分别为x1和x2，x1x2，则当a0时，f\'(x)在(,x1)，(x2,)上为正，在(x1,x2)上为负，所以f(x)在(,x1)，(x2,)上为单调递增函数，在(x1,x2)上为单调递减函数。当a0时，f\'(x)在(x1,x2)上为正，在(,x1)，(x2,)上为负，所以在(x1,x2)上为单调递增函数，在(,x1)，(x2,)上为单调递减函数。

例3：已知函数f(x)mx3mx23x在R上是增函数，求实数m的取值范围。

解：f\'(x)3mx22mx3

1）当m=0时，f\'(x)30，f(x)在R上是增函数。

2）当m0时，f\'(x)0的4m236m4m(m9)

① 当m<0时，f\'(x)开口向下且0，说明存在区间使f\'(x)0，所以m<0时，f(x)在R上不是增函数；

② 当0m9时，f\'(x)开口向上且0，则f\'(x)0，所以0m9时f(x)在R上是增函数；

③ 当m=9时，f\'(x)开口向上且0，则f\'(x)0，所以m=9时，f(x)在R上是增函数；

④ 当m>9时，f\'(x)开口向上且0，说明存在区间使f\'(x)0，所以m>9时，f(x)在R上不是增函数。

综上可得，所求的实数m的取值范围为0,9

例4：已知f(x)误解：f\'(x)ax在（-1，）内单调递减，求实数a的取值范围。

x1a

(x1)2a0在（-1，）上恒成立，所以a0

2(x1) 由已知，f\'(x)分析：错误的原因在于未验证f\'(x)是否恒为0。f(x)在区间D上单调递增（或递减）的充要条件是f\'(x)0（或f\'(x)0)且在任一子区间上不

恒为0。而当a=0时，f\'(x)=0在（-1，）上恒成立，此时f(x)=0不是单调递减函数，所以实数a<0。

三、关于三次函数的极值和最值问题

设三次函数f(x)的导函数f\'(x)ax2bxc(a,b,c为常数），b24ac，

讨论当a0时三次函数在闭区间S,T上的最值问题（a0请读者自行证明）

（1）当0时，f\'(x)0，f(x)在R上为单调递增函数，所以f(x)没有极值点，在区间端点S处达到最小，T处达到最大。

（2）当0时，设f\'(x)0的两根分别为x1和x2，x1x2，则x1是f(x)的极大值点，x2是f(x)的极小值点。最值讨论如下：

①当Tx1或Sx2时，f(x)在[S，T]上单调递增，在区间端点S处达到最小，T处达到最大。

②当Sx1Tx2时，f(x)在x1处达到最大，最小值通过比较f(S)和f(T)加以确定。

③当x1STx2时，f(x)在[S，T]上单调递减，在区间端点T处达到最小，S处达到最大。

④当x1Sx2T时，f(x)在x2处达到最小，最大值通过比较f(S)和f(T)加以确定。

⑤当Sx1x2T时，通过比较f(x1)和f(T)可以确定最大值，通过比较f(x2)和f(S)可以确定最小值。

例5：设函数yf(x)x(xa)(xb)(a,bR)

（1） 若ab,ab0，过两点（0，0）、（a,0)的中点作与x轴垂直的直线，此直线与函数yf(x)的图象交于点P(x0,f(x0))，求证：函数yf(x)在点P处的切线过点（b,0）；

（2） 若ab(a0)，且当x[0,a1]时f(x)2a2恒成立，求实数a的取值范围。

aa2a解：（1）由已知P(,(b))

242

y\'3x2(2a2b)xab

a2aa2 所以，所求的切线斜率为3()(2a2b)ab

224a2aa2a(b)(x) 切线方程为y4242 令y0，解得xb

所以函数yf(x)在点P处的切线过点（b,0）

（2）因为ab 所以yf(x)x(xa)2

a

y\'3x24axa23(xa)(x)

3aa ①当a0时，函数yf(x)在(,)上单调递增，在(,a)上

33单调递减，在(a,)上单调递增

此时，x[0,a1] 即x[0,a1]

a43f()2a2a2a2 所以，由题意有 即27

322f(a1)2aa12a271或a

2227 结合a0，所以1a

2 解得1aa ②当a0时，函数yf(x)在(,)上单调递增

3 此时，x[0,a1] 即x[0,a1]

所以，由题意有f(1a)2a2

即(1a)(1aa2)2a2

整理得：4a36a25a10

因为a0，所以上述方程无解

综上可得，所求实数a的取值范围为(1,27)

2例6：已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值为10，求a,b的值。

误解：f\'(x)3x22axb0

f\'(1)032ab0 由题意 即

2f(1)101aba10a3a4 解得 或

b3b11 分析：可导函数的某点是其极值点的必要条件是这点的导数为零，其充要条件是这点两侧的导数异号。因此，此题在求出a,b的值后，还需要检验两侧导数的符号。

a43当时，f\'(x)3x28x11(3x11)(x1)，当x1时，11b11f\'(x)0；当x1时，f\'(x)0，这时x1是极值点，符合题意。

a3 当时，f\'(x)3(x1)20，这时f(x)在x1处无极值，不合题意，b3应舍去。所以，所求的a4,b11

总之，导数作为一种工具，在解决数学问题时应用非常的方便，尤其是可以利用导数方便的解决函数的单调性、极值、最值以及切线问题，在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，注意应用过程中的误区，以避免出现一些不必要的错误。


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