S】【空间的角、线面角、面面角】【上海中学】高中数学专题

2023年12月27日发(作者：高考模拟文科数学试卷答案)

专题:立体几何【拓展专题方法讲义汇编】

高 中 数 学

上海历年高考经典真题专题汇编

专 题 ： 立体几何[拓展]

姓 名

：

学 号

：

年 级

：

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专题:立体几何【拓展专题方法讲义汇编】

目录

专题一 空间的角 ................................................................................................................................................................. 3

专题二 空间的距离 ........................................................................................................................................................... 12

专题三 空间向量与立体几何 ........................................................................................................................................... 16

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专题:立体几何【拓展专题方法讲义汇编】

专题一 空间的角

1. （1）在正四面体ABCD中，（如图1所示）E、F分别是AB、CD的中点求EF和BC所成的角；

（2）在正四面体ABCD中，（如图2所示），线段MN是棱AC的中点和△BCD的连线，而线段是△ABD的高，所成角的余弦值。

AEABDEMDFNCBFC图1图2第3页 /共 29页

专题一 空间的角 例1

求MN和DE

专题:立体几何【拓展专题方法讲义汇编】

2. 如图所示，四面体ABCD中，SA、SB、SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求：

SAB所成的角；

ABC所成的角的正切值。

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SACMB

专题一 空间的角 例2

（1）BC与平面（2）SC与平面

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3. 如图所示，在圆锥PO中，已知PO=2，⊙O的直径AB=2，点C在弧AB上，且∠CAB=30°，D为AC的⊥平面POD；

OC和平面PAC所成角的正弦值。

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PHDCAOB

专题一 空间的角 例3

中点。

（1）证明：AC（2）求直线

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4. 如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，BB1=3+1，E为BB1上使B1E=1的点，平面AEC1交DD1于A，交A1D的延长线于G，求：

（1）异面直线AD与C1G所成的角的大小；

（2）二面角A-C1G-A1的正弦值。

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ADBCFA1D1GHB1C1专题一 空间的角 例4

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中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3

AC与侧面PBC所成角的大小。

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PNCAOMB专题一 空间的角 例5

5. 如图所示，三棱锥P-ABC（1）求证：AB⊥BC；

（2）AB=BC=23，求

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1B1C1D1是正四棱柱。

ACC1A1

的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成角的大小。

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D1C1A1B1DCAOB专题一 空间的角 例6

6. 如图所示，ABCD-A（1）求证：BD⊥平面（2）二面角C1-BD-C

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7. 如图所示，在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2，将△AEF沿EF折起到△AEF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连结A1B、A1P（如图b）

E⊥平面BEP；

A1E平面A1BP所成角的大小；

B-A1P-F的大小（用反三角函数值表示）。

AEDFBGCa第9页 /共 29页

AEFBQPCb

专题一 空间的角 例7

（1）求证：A1（2）求直线与（3）求二面角

专题:立体几何【拓展专题方法讲义汇编】

B1C1D1是正四棱柱

1A1；

的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成角的大小。

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D1C1A1B1DCAOB

专题一 空间的角 例8

8. 如图所示，ABCD-A1（1）求证：BD⊥平面ACC（2）若二面角C1-BD-C

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9. 如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD

A-PB-C的余弦值。

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PDCAEB

专题一 空间的角 例9

（1）证明：PA⊥BD；

（2）若PD=AD，求二面角

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专题二 空间的距离

1. 已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD=1，E、F分别是AB和BC的中点。

PEF的距离；

到平面PEF的距离。

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专题二 空间的距离 例1

（1）求D点到平面（2）求直线AC

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2. 在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上且CC1=4CP

BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；

D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP；

ABD1的距离。

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zD1OC1A1BH1PDyCxAB

专题二 空间的距离 例2

（1）求直线AP到平面（2）设O点在平面（3）求点P到平面

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3. 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动。

D1E⊥A1D；

为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；

等于何值时二面角D1-EC-D的大小为π4?

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D1C1A1B1DCAEB专题二 空间的距离 例3

（1）求证：（2）当E（3）AE

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4. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1

（1）证明：PC⊥AD；

（2）求二面角A-PC-D的正弦值；

（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长。

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zAByCx

专题二 空间的距离 例4

专题:立体几何【拓展专题方法讲义汇编】

专题三 空间向量与立体几何

1. 如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面为ABCD为正方形，SB⊥底面ABCD为正方形，SB=AB；设Q为SD中点，M为AB中点。

（1）求证：MQ//平面SBC；

（2）求证：平面SDM⊥平面SCD

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SQRDCAMB

专题三 空间向量与立体几何 例1

专题:立体几何【拓展专题方法讲义汇编】

2. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，垂足为A，PA=AB；点M在棱

N在何处时，使得MN⊥平面PAC？

上，当E在何处时，使得AE⊥平面PBD?

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PMADBC

专题三 空间向量与立体几何 例2

PD上，PB//平面ACM

（1）试确定M的位置；（2）设点N在棱上，当（3）设点E在棱PC

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3. 如图所示，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ，）

VAB⊥面VCD；

变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围。

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VHCBDA专题三 空间向量与立体几何 例3

（0<θ<π2（1）求证：面（2）当角θ

专题:立体几何【拓展专题方法讲义汇编】

4. 平面α内有一个半圆，直径为AB，过A作SA⊥平面α，在半圆上任取一点M，连结SM、SB，且N、H分别是A在SM、SB上的射影。

（1）求证：NH⊥SB；

（2）这个图形中有多少个线面垂直关系？

（3）这个图形中有多少个直角三角形？

（4）这个图形中有多少对相互垂直的直线？

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专题三 空间向量与立体几何 例4

专题:立体几何【拓展专题方法讲义汇编】

5. 已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB//CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线BC1与BD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）

专题三 空间向量与立体几何 例5

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专题:立体几何【拓展专题方法讲义汇编】

6. 在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点。

所成的角。

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DFEHzxACMBy

专题三 空间向量与立体几何 例6

（1）求证：CM⊥EM；

（2）求CM与平面CDE

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7. 如图所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，

（1）求证：AB1平面A1BD；

（2）求二面角A-A1D-B的大小；

（3）求点C到平面A1BD的距离。

专题三 空间向量与立体几何 例7

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专题:立体几何【拓展专题方法讲义汇编】

8. 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，

∠ABD=60°，∠BDC=45°，FD垂直底面ABCD，PD=22R，E、F分别是CD上的点，且PEDF，过点=E作BC的平行线交PC于G

（1）求BD与平面ABP所成角θ的正弦值；

（2）证明：AEFG是直角三角形；

（3）当PEEB=12时，求△EFG的面积.

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EBFCzPEGADyFBCx

专题三 空间向量与立体几何 例8

专题:立体几何【拓展专题方法讲义汇编】

9. （1）如图所示，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为………………………………………………（ ）

A.

（2）如图a所示，已知A、B、C、D在同一个球面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=6，AC=23，AD=8，则B、C两点间的球面距离是

B、C三点，AB=1，BC=2，A、C两点的球面距离为（3）如图b所示，在体积为43π的球的表面上有A、则球心到平面ABC的距离为

AODCabAO\'BOC2

2 B.

1 C.

1+2

2 D.

2

3π，3B

专题三 空间向量与立体几何 例9

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专题:立体几何【拓展专题方法讲义汇编】

10. 如图所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边场为4cm的正三角形，侧棱AA1与底面两边AB、AC均成60°角，AA1=7

（1）求证：AA1⊥BC；

（2）求斜三棱柱的全面积；

（3）求斜三棱柱ABC-A1B1C1的体积；

（4）求AA1到侧面BB1C1C的距离。

第25页 /共 29页A1C1M1B1HAOCMB专题三 空间向量与立体几何 例10

专题:立体几何【拓展专题方法讲义汇编】

11. （1）正三棱锥A-BCD的高为1，底面边长为26，内有一个球O与四个面都相切，求该球的体积；

（2）已知一个圆锥的底面半径为4cm，高是6cm，在其中有一个高为x的内接圆柱，问为x为何值时，圆柱的侧面积有最大值？并求出这个最大值。

专题三 空间向量与立体几何 例11

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12. 如图所示，等腰△ABC的底边AB=66，高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点，点F在BC边上，用EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，设PE⊥AE，记BE=x，V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积。

（1）求V(x)的表达式；

（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？

（3）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。

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zFxAGDEBCy

专题三 空间向量与立体几何 例12

专题:立体几何【拓展专题方法讲义汇编】

13. 如图所示，圆柱OO1内有一个三棱柱ABC-A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径。

（1）证明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；

（2）设AB=AA1，在圆柱OO1内随机选取一点P，记该点取自于三棱柱ABC-A1B1C1内的概率为P

（i）当点C在圆周上运动时，求P的最大值；

（ii）记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为θ(0°<θ≤90°)，当P取最大值时，求cosθ的值。

A1C1O1B1ACOB

专题三 空间向量与立体几何 例13

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