2023年12月27日发(作者：朝阳区面试数学试卷题)
三角形中的几何计算
考点
有关三角形面积的计算
学习目标
掌握三角形的面积公式的简单推导和应用
能够运用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题
核心素养
逻辑推理、数学运算
三角形的综合问题 数学运算
问题导学
预习教材P53 T10和P54 T18两个题目，思考以下问题：
如何用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积？
三角形的面积公式
111(1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别表示边a，b，c上的高)．
222111(2)S＝absin C＝bcsin A＝acsin B.
2221(3)S＝(a＋b＋c)·r(r为△ABC内切圆的半径)．
2■名师点拨
11三角形的面积公式S＝absin C与原来的面积公式S＝a·h(h为a边上的高)的关系为h22＝bsin C，实质上bsin C就是△ABC中a边上的高．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形．( )
(2)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积．( )
(3)已知三角形的两内角及一边不能求出它的面积．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为( )
1A.
2C.3
B.3
2D．23
1133解析：选B.S△ABC＝AB·ACsin A＝×1×2×＝.
2222
- 1 -
3 已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝3，则A＝( )
2A．30°
C．30°或150°
13解析：选D.由S△ABC＝bcsin A＝，
2233得3sin A＝，sin A＝，
22由0° 在△ABC中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，则△ABC的面积为________． BCAB解析：由＝，知sin C＝1，则C＝90°， sin Asin C所以B＝60°， 13从而S△ABC＝AB·BC·sin B＝. 22答案：3 2 与三角形面积有关的计算问题 (1)(2019·湖南娄底重点中学期末)在△ABC中，已知BC＝6，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积等于( ) A．9 C．93 B．18 D．183 B．60° D．60°或120° π(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知c＝2，C＝，且S△ABC＝3，3则a＝________，b＝________． BC·sin B6×sin 120°ACBC【解析】 (1)在△ABC中，由正弦定理，得＝，所以AC＝＝sin Bsin Asin Asin 30°＝63. 又因为C＝180°－120°－30°＝30°， 11所以S△ABC＝×63×6×＝93. 221(2)由余弦定理，得a2＋b2－ab＝4，又△ABC的面积等于3，所以absin C＝3，得ab2＝4， - 2 - 22a＋b－ab＝4联立方程组， ab＝4解得a＝2，b＝2. 【答案】 (1)C (2)2 2 三角形面积计算的解题思路 111对于此类问题，一般用公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B进行求解，可分为以下两种222情况： (1)若所求面积为多边形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积． (2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解． 1．(2019·黑龙江大庆中学期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积等于( ) A．12 C．28 21B． 2D．63 解析：选D.在△ABC中，由余弦定理可得 64＝49＋9－2×7×3cos C， 143所以cos C＝－，所以sin C＝， 771所以S△ABC＝absin C＝63，故选D. 22．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于( ) A．3 C．63 B．53 D．73 180°－120°解析：选B.连接BD，在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，所2以∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C，知BD2＝22＋ - 3 - 1122－2×2×2cos 120°＝12，所以BD＝23，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×23＋×222×2×sin 120°＝53. 3．在△ABC中，A＝60°，b＝1，△ABC的面积为3，则边a的值为________． 11解析：由S△ABC＝bcsin A＝csin 60°＝3，得c＝4，因为a2＝b2＋c2－2bccos A＝1＋1622－8cos 60°＝13，所以a＝13. 答案：13 三角形中的线段长度和角度的计算 已知四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2. (1)求C和BD； (2)求四边形ABCD的面积． 【解】 (1)连接BD，则由题设及余弦定理得， BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C＝13－12cos C，① BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcos A＝5＋4cos C．② 1由①②得cos C＝， 2故C＝60°，BD＝7. (2)四边形ABCD的面积 11S＝AB·DAsin A＋BC·CDsin C 2211×1×2＋×3×2sin 60°＝23. ＝22 三角形中几何计算问题的解题思路 (1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决． (2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件． 已知四边形ABCD满足∠BAD＝90°，∠BCD＝150°，∠DAC＝60°，AC＝2，AD＝3＋1.求CD的长和△ABC的面积． 解：在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos∠CAD＝6，所以CD＝6. 在△ACD中，由正弦定理得 CDAC＝， sin∠CADsin∠ADC - 4 - 则sin∠ADC＝2，又0°<∠ADC<120°， 2所以∠ADC＝45°，从而有∠ACD＝75°， 由∠BCD＝150°，得∠ACB＝75°，又∠BAC＝30°， 所以△ABC为等腰三角形，即AB＝AC＝2， 故S△ABC＝1. 三角形中的综合问题 (2019·郑州一中期末检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcos A＝(2c＋a)cos(π－B)． (1)求角B的大小； (2)若b＝4，△ABC的面积为3，求△ABC的周长． 【解】 (1)因为bcos A＝(2c＋a)cos(π－B)， 所以bcos A＝(2c＋a)(－cos B)． 由正弦定理可得，sin Bcos A＝(－2sin C－sin A)cos B， 即sin(A＋B)＝－2sin Ccos B＝sin C. 2π1又角C为△ABC的内角，所以sin C>0，所以cos B＝－.又B∈(0，π)，所以B＝. 231(2)由S△ABC＝acsin B＝3，得ac＝4. 2又b2＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝16. 所以a＋c＝25，所以△ABC的周长为4＋25. [变条件、变问法]在本例(2)中，去掉条件“△ABC的面积为3”，求 (1)△ABC周长的取值范围； (2)△ABC面积的最大值． 解：(1)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 即b2＝a2＋c2＋ac. 又b＝4， a＋c所以16＝a＋c＋ac＝(a＋c)－ac≥(a＋c)－2. 22222364所以(a＋c)2≤16，所以(a＋c)2≤. 438383即4 33(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， - 5 - 即b2＝a2＋c2＋ac，又b＝4， 16所以16＝a2＋c2＋ac≥2ac＋ac＝3ac，即ac≤. 31116343所以S△ABC＝acsin B≤××＝. 2232343即△ABC面积的最大值为. 3 解三角形综合问题的方法 (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解． (2)解三角形还常与向量、三角函数及三角恒等变换知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解． ππ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝，bsin＋C44π－csin＋B＝a. 4π(1)求证：B－C＝； 2 (2)若a＝2，求△ABC的面积． πππ解：(1)证明：由bsin＋C－csin＋B＝a及正弦定理，得sin Bsin＋C－sin 444πCsin＋B＝sin A， 4即sin B＝222sin B＋2cos B sin C＋cos C－sin C22222， 2整理得sin Bcos C－cos Bsin C＝1，即sin(B－C)＝1. 3π3ππ由于0 4423ππ(2)因为B＋C＝π－A＝，B－C＝， 425ππ所以B＝，C＝. 88π5ππasin Basin C由a＝2，A＝，得b＝＝2sin，c＝＝2sin， 4sin A8sin A8 - 6 - 5ππππ11所以△ABC的面积S＝bcsin A＝2sin sin ＝2cossin ＝. 288882 1．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝A．3 C．7 B．3 D．7 3，则边BC的长为( ) 21解析：选A.因为S△ABC＝AB·ACsin A， 213所以×2·ACsin 60°＝. 22所以AC＝1. 又BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A ＝4＋1－2×2cos 60°＝3. 所以BC＝3. ππ2．已知△ABC的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.b＝2，∠B＝，∠C＝，64则△ABC的面积为( ) A．2＋23 C．23－2 B．3＋1 D．3－1 ππ7πc2解析：选B.由正弦定理，得＝，解得c＝22.又∠A＝π－－＝，则△ABC6412ππsinsin467π1的面积S＝bcsin＝3＋1. 2123．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝3，b＝1，C＝120°. (1)求B的大小； (2)求△ABC的面积S. 解：(1)由正弦定理bc＝， sin Bsin Cbsin C1得sin B＝＝， c2因为在△ABC中，b (2)因为A＋B＋C＝180°， 所以A＝180°－120°－30°＝30°， 13所以S＝bcsin A＝. 24 - 7 - [A 基础达标] 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为( ) A．3 C．6 B．33 D．63 113解析：选B.△ABC的面积为absin C＝×4×3×＝33. 2222．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，cos 2A＝sin A，bc＝2，则△ABC的面积为( ) 1A． 2C．1 1B． 4D．2 1解析：选A.由cos 2A＝sin A，得1－2sin2 A＝sin A，解得sin A＝或sin A＝－1(舍去)，21111所以S△ABC＝bcsin A＝×2×＝. 222273．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，且a＝6，cos A＝，则△ABC的面积等于( ) 8A．15 2B．15 D．3 C．2 解析：选A.因为b2－bc－2c2＝0， 所以(b－2c)(b＋c)＝0，所以b＝2c. 由a2＝b2＋c2－2bccos A，解得c＝2，b＝4， 715因为cos A＝，所以sin A＝， 88111515所以S△ABC＝bcsin A＝×4×2×＝. 22824．已知△ABC的周长为20，面积为103，A＝60°，则BC边的长为( ) A．5 C．7 B．6 D．8 1解析：选C.由题设a＋b＋c＝20，bcsin 60°＝103， 2所以bc＝40. a2＝b2＋c2－2bccos 60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120. 所以a＝7.即BC边的长为7. - 8 - 5．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，其面积S＝3，则△ABC外接圆的半径为( ) A．3 C．23 1解析：选B.因为S＝bcsin A， 21所以3＝×2csin 120°，所以c＝2， 2所以a＝b2＋c2－2bccos A ＝1－＝23， 4＋4－2×2×2×2B．2 D．4 设△ABC外接圆的半径为R， 所以2R＝a23＝＝4，所以R＝2. sin A3216．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝，则△ABC的面积为________． 31解析：因为cos C＝，0 322所以sin C＝， 31所以S△ABC＝absin C 2122＝×32×23×＝43. 23答案：43 7．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________． 解析：由2B＝A＋C，及A＋B＋C＝π知， πB＝. 3在△ABD中，AB＝1，BD＝BC＝2， 2π所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos＝3. 3因此AD＝3. 答案：3 8．在△ABC中，已知A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面积为103，则其周长为________． 1解析：设AB＝8k，AC＝5k，k>0，所以S△ABC＝AB·ACsin A＝103k2＝103，所以k＝2 - 9 - 11，AB＝8，AC＝5，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝82＋52－2×8×5×＝49，2所以BC＝7，所以△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝20. 答案：20 49．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cos B＝，b＝2. 5π(1)当A＝时，求a的值； 6(2)若△ABC的面积为3，求a＋c的值． π4解：(1)因为cos B＝>0，所以B∈0，， 523所以sin B＝. 5ab由正弦定理＝， sin Asin B得105＝，解得a＝. 3π3sin 6a113(2)由△ABC的面积S＝acsin B，得ac×＝3，得ac＝10. 2258由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20， 5所以(a＋c)2－2ac＝20，即(a＋c)2＝40， 所以a＋c＝210. 10．(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin bsin A. (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围． 解：(1)由题设及正弦定理得 sin AsinA＋C＝sin Bsin A. 2A＋C＝2A＋C因为sin A≠0，所以sin＝sin B. 2由A＋B＋C＝180°，可得sinBBB故cos＝2sincos. 222BB1因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°. 222A＋CB＝cos， 22 - 10 - (2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝3a. 4csin Asin（120°－C）31由正弦定理得a＝＝＝＋. sin Csin C2tan C2由于△ABC为锐角三角形，故0° 由(1)知A＋C＝120°， 133所以30° 282因此，△ABC面积的取值范围是33. ，28[B 能力提升] π11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若c＝2，C＝，且a＋b＝3，3则△ABC的面积为( ) 133A. 125C. 1253B. 453D. 12解析：选D.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C， π所以22＝a2＋b2－2abcos， 3即4＝(a＋b)2－3ab， 5又a＋b＝3，所以ab＝， 3π531所以S△ABC＝absin＝，故选D. 231212．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，πB＝，则△ABC的面积为________． 3解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， π又因为b＝6，a＝2c，B＝， 31所以36＝4c2＋c2－2×2c2× 2所以c＝23，a＝43， 113所以S△ABC＝acsin B＝×43×23×＝63. 222答案：63 - 11 - 13．(2019·株洲二中期末)如图，在△ABC中，D是AC边上的点，且AB＝AD＝BC＝2BD，则sin C的值是________． 3BD，2 2343解析：设AB＝x，则AD＝x，BD＝x，BC＝x.在△ABD中，由余弦定理，得cos A33443x2＋x2－x2x33122xBC＝＝，则sin A＝.在△ABC中，由正弦定理，得＝＝，解得sin C2x233sin Csin A223＝6. 6答案：6 6π7，AC＝，4214.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠CAD＝cos∠ADB＝－2. 10(1)求sin C的值； (2)若BD＝5，求△ABD的面积． 解：(1)因为 cos∠ADB＝－72所以sin∠ADB＝， 10π又因为∠CAD＝， 4π所以∠C＝∠ADB－， 4π所以 sin C＝sin∠ADB－ 4ππ＝sin∠ADB·cos－cos∠ADB·sin 44＝722224×＋×＝. 10210252 ， 10ADAC(2)在△ACD中，由＝，得 sin Csin∠ADC - 12 - 74×AC·sin C25AD＝＝＝22. sin∠ADC72101所以S△ABD＝AD·BD·sin∠ADB 2172＝×22×5×＝7. 210[C 拓展探究] 15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝3222(a＋b－c)． 4(1)求角C的大小； (2)求sin A＋sin B的最大值． 13解：(1)由题意可知absin C＝×2abcos C. 24所以tan C＝3， 因为0 π所以C＝. 3π(2)由已知sin A＋sin B＝sin A＋sinπ－A－ 3＝sin A＋sin＝sin A＋2π－A 331cos A＋sin A 222π30 3π＝3sinA＋≤ 6π当A＝， 3即△ABC为等边三角形时取等号． 所以sin A＋sin B的最大值为3. - 13 -
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