2024年4月17日发(作者：高中必修3数学试卷)

等量代换

知识框架

（1） 生活中有很多相等的量，如平衡的天平、平衡的跷跷板两边的重量相等.我们可以根据这些相等的关

系进行推理，进而可以等量代换，找到答案

（2） “等量代换”是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方

法的基础.

重难点

（1） 寻找等量关系

例题精讲

【例 1】 ★+■=24，■+●=30，●+★=36．■=_________ ●=________ ★=_______.

【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答

【关键词】2008年，第八届，春蕾杯，初赛

(243036)245

，所以■表示的数为：

45369

，●表示的数为：

452421

，★表示的数【解析】

为：

453015

．

【答案】■

9

，●

21

，★=

15

【巩固】 甲、乙两人共储蓄32元，乙、丙两人共储蓄30元，甲、丙两人共储蓄22元．三人各储蓄多少元？

【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 可先让学生自己去思考，教师巡视指正．此题要求三个未知数，甲储蓄多少元？乙储蓄多少元？

丙储蓄多少元？关系较为复杂，为了化繁为简，采用消去法来解．首先用加减消去法消去乙和丙，

只剩下甲，然后求出甲储蓄多少元，再求乙、丙各储蓄多少元．

解法1：

甲

+甲

乙→32元

丙→22元

（2甲）乙丙→54元

-乙丙→30元

2甲→24元

由2倍甲储蓄为24元，可求出甲储蓄多少元．

列表：

(322230)2

24212

(元)……甲储蓄款．

3212

3020

(元

20

)……乙储蓄款，

(元

10

)……丙储蓄款．

此题也可用另一种方法求解．

解法2：甲乙

乙丙+甲丙

32223084

(元)，

即2倍的(甲

乙

丙)等于84元．

甲

乙

丙

84242

(元)．

423210

(元)……丙储蓄款，

423012

(元)……甲储蓄款，

422220

(元)……乙储蓄款．

【答案】甲储蓄12元，乙储蓄20元，丙储蓄10元.

【例 2】 小芳在文具店买了5枝彩色铅笔和6个练习本，共用去17元．小花买了同样的铅笔8枝和6个

练习本，共用去20元．一枝彩色铅笔和一个练习本的价格各是多少？

【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 从题设条件进行比较，小芳和小花都买了6个练习本(同样多)，只是买的彩色铅笔枝数不同，引起

付款多少不同．因此我们可以采用消去法先消去购买练习本的钱数而只剩下买彩色铅笔的钱数，

从而先求出彩笔的单价．

8枝彩色铅笔

5枝彩色铅笔

3枝彩色铅笔

6个练习本

6个练习本

0个练习本

共价20元

共价17元

共价3元

列式：

(2017)(85)1

(元)……一枝彩笔价格，

(2018)62

(元)……一个练习本的价格．

【答案】一枝彩笔价格

1

元；一个练习本的价格

2

元

【巩固】 学校第一次买了3个水瓶和20个茶杯，共用去134元；第二次又买了同样的3个水瓶和16个茶

杯，共用去118元．问水瓶和茶杯的单价各是多少元？

【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 引导学生学会审题，找出两次购买的相同点及差异，让学生思考解决．我们用数量关系式来比较

对应的未知数量的情况：

3个水瓶的价钱20个茶杯的价钱134元

-3个水瓶的价钱16个茶杯的价钱118元

4个茶杯的价钱16元

比较上面两个等式，我们可以看出，134元和118元的差正好是4个茶杯的价钱．利用这一条件，

把3个水瓶的价钱消去，先求出每个茶杯的价钱，再求出每个水瓶的价钱．

每个茶杯的价钱：

(134118)(2016)

164

4

(元)

每个水瓶的价钱：

(134420)318

(元)或

(118416)318

(元)

【答案】每个茶杯的价钱：

4

元；每个水瓶的价钱：

18

元

【例 3】 3头牛和8只羊每天共吃青草93千克，5头牛和15只羊每天共吃青草165千克．问一头牛和一

只羊每天各吃青草多少千克？

【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 3头牛吃草的重量

8

只羊吃草的重量

93

千克 ⑴

5头牛吃草的重量

15

只羊吃草的重量

165

千克 ⑵

如果把⑴式扩大5倍，⑵式扩大3倍，那么两个式子中牛的数量就一样多了．这样就得到：

⑴

5

：15头牛吃草的重量

40

只羊吃草的重量

465

千克

⑵

3

：15头牛吃草的重量

45

只羊吃草的重量

495

千克

⑷

⑶：5只羊吃草的重量

30

千克

1只羊吃草的重量

6

千克

1头牛每天吃草的重量：

(9368)3

45315

(千克)

【答案】1只羊吃草

6

千克；1头牛每天吃草

15

千克

⑶

⑷

【巩固】 学校要买足球和排球．买3个足球和4个排球共需190元，如果买6个足球和2个排球需要230

元．一个足球和一个排球各需要多少元？

【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 我们可以把两次情况进行比较；

3个足球的价钱

4

个排球的价钱

190

(元)

6个足球的价钱

2

个排球的价钱

230

(元)

⑴

⑵

我们发现两组条件不管相加还是相减，都不可能求出足球和排球的单价，因为这里没有一个相同

的条件可减去．再观察，我们发现，如果把⑴式扩大2倍，可以得到6个足球和8个排球共380

元，即⑴

2

：6个足球的价钱

8

个排球的价钱

380

元 ⑶

⑶

⑵，可知6个排球的价钱

150

元．容易得出排球和足球的价钱各是多少．

排球：

150625

(元)，足球：

(190254)330

(元)

【答案】排球为

25

元，足球为

30

元

【例 4】 李宁的妈妈去菜市场买菜，买了

6

斤土豆和

5

斤柿子椒，共花了

13

元

5

角．己知

3

斤土豆的价钱

与

2

斤柿子椒的价钱相等．那么

1

斤土豆和

1

斤柿子椒各多少钱？

【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 可引导学生读题、审题，让学生自己思考解答．老师可以画图进行分析，已知条件为：

6

斤土豆

+

5

斤柿子椒=

13

元

5

角．

3

斤土豆=

2

斤柿子椒．从第一个式子不能算出

1

斤土豆、

1

斤柿子椒的价

钱．若把土豆转化成柿子椒或把柿子椒转化成土豆的价钱就可求该种菜的价钱了．由第二个式子

知

3

斤土豆=

2

斤柿子椒，则

6

斤土豆应等于

4

斤柿子椒的价钱．即：

6

斤土豆+

5

斤柿子椒=

13

元

5

角，

6

斤土豆=

4

斤柿子椒．

4

斤柿子椒+

5

斤柿子椒=

13

元

5

角，

9

斤柿子椒=

13

元

5

角．

13

元

5

角

等于

135

角，

135

角买了

9

斤柿子椒，所以

1

斤柿子椒的价钱为：

135915

(角)=

1

元

5

角．

4

斤

柿子椒的价钱为：

15460

(角)=

6

(元)．

1

斤土豆的价钱为：

661

(元)．所以

1

斤土豆的价钱

为

1

元，

1

斤柿子椒的价钱为

1

元

5

角．

【答案】

1

斤土豆的价钱为

1

元，

1

斤柿子椒的价钱为

1

元

5

角

【巩固】 3米绵绸的价格与6米花布的价格相等．王云买了6米绵绸和18米花布，共花费了120元．棉绸

和花布的单价各是多少？

【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 由题意可知3米棉绸与6米花布的价格相等，由此可推知1米棉绸与2米花布的价格相等．因此

可用花布的价格去替换棉绸的价格，而使棉绸价格转变为花布的价格．消去棉绸价格这个未知数

量可以先求出花布的单价，进而求出棉绸的单价．

120(2618)

120304

(元)……每米花布

的单价

428

(元)……每米棉绸的单价．

【答案】每米花布的单价

4

元 每米棉绸的单价

8

元

【例 5】 学校买2张桌子和3把椅子共用90元钱，每张桌子的价钱是每把椅子价钱的3倍．每张桌子多

少钱？

【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 引导学生读题、审题，让学生自己思考解答，教师集体订正．

2张桌子的价钱

3

把椅子的价钱

90

(元) ⑴

1张桌子的价钱

3

把椅子的价钱 ⑵

将⑵代入⑴式，消去桌子这个未知量，问题就可以解决．

(

32

)把椅子的价钱

3

把椅子的价钱

90

(元)

9

把椅子的价钱

90

(元)

1把椅子的价钱

10

(元)

1张桌子的价钱

10330

(元)

【答案】1张桌子的价钱

30

元

【巩固】 红、黄、蓝三个纸盒里共有彩票56张，其中红色纸盒里的彩票是黄色纸盒里彩票张数的2倍，蓝

色纸盒里的彩票是红色纸盒里彩票张数的2倍．红、黄、蓝三个纸盒里各有多少张彩票？

【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 以黄色纸盒里的彩票张数为1倍数．红纸盒里的彩票张数是这样的2倍．蓝纸盒是红纸盒里彩票

张数的2倍，也就是黄纸盒里彩票张数的4倍．一共是

(124)

倍．这样就可以消去两个未知量

而先求出黄纸盒里彩票的张数，再分别求出红色和蓝色盒子里彩票的张数．

56(124)

5678

(张)……黄盒里的彩票张数，

8216

(张)……红盒里的彩票张数，

8432

(张)……蓝盒里的彩票张数．

【答案】黄盒里的彩票张数

8

张 红盒里的彩票张数

16

张 蓝盒里的彩票张数

32

张

【例 6】 甲、乙两队共同整修一段公路.甲队工作6小时，乙队工作8小时，一共整修公路300米.已知甲

队5小时的工作量等于乙队2小时的工作量.两队每小时各整修公路多少米？

【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 甲队5小时的工作量=乙队2小时的工作量

甲队20小时的工作量=乙队8小时的工作量

甲队6小时的工作量+乙队8小时的工作量=甲队6小时的工作量+甲队20小时的工作量

=甲队26小时的工作量

甲队25小时的工作量=312米，甲队每小时修312÷26=12（米）

乙队每小时修

125230

（米）

【答案】甲队每小时修12米，乙队每小时修30米.

【巩固】 甲、乙二人合做一批零件，甲做了8小时，乙做了6小时，一共做了360个零件.甲2小时的工作

量等于乙3小时的工作量.两人每小时各做多少个零件？

【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 甲2小时的工作量=乙3小时的工作量

甲4小时的工作量=乙6小时的工作量

甲8小时的工作量+乙6小时的工作量=甲8小时的工作量+甲4小时的工作量

=甲12小时的工作量

甲12小时的工作量=360个，甲每小时做360÷12=30（个）

乙每小时做

302320

（个）

【答案】甲每小时做30个，乙每小时做20个.

【例 7】 第一只茶壶能装

10

大杯水，第二只茶壶可以装

15

小杯水．已知

5

大杯水与

9

小杯水同样多，哪个

茶壶大？

【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 读题，抓住大杯数目，引导学生进行扩倍来解决题目．因为

5

大杯水与

9

小杯水同样多，那么

10

大

杯水就等于

18

小杯的水，而现在只有

15

小杯的水，

10

大杯水和

15

小杯水比较，

10

大杯水要多一

些，所以第一个茶壶大．

【答案】第一个茶壶大

【巩固】 如图，第一只壶里的茶只有一半，小华倒出了

5

大杯，第二只壶里的茶是一满壶，小明倒出了

15

小

杯．已知

3

小杯的茶与

2

大杯的茶同样多，现在问你哪个壶大？

【考点】等量代换 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 我们可以按以下三个步骤来思考：

⑴第二只壶满壶茶倒出

15

小杯，而每

3

小杯可以倒满

2

杯，所以第二只壶可以装茶

10

大杯．

⑵一只壶的一半倒出了

5

大杯，那么满壶茶可以倒出

10

大杯．

由⑴⑵可知，两个茶壶一样大．

【答案】两个茶壶一样大

【例 8】 1只鸡的重量＋1只猴的重量＝15千克

1只鸭的重量＋1只猴的重量＝18千克


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