2024年3月31日发(作者：数学试卷安微月考)
北京市人大附中2022-2023学年高一下学期期中模拟数学试
题
学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
一、单选题
1．
cos
4
=（
3
1
2
）
B．
2
D．
3
2
1
A．
C．
am,6
b1,3
2．已知向量
，
，且
a
b
，则
m
3
2
A
．
18
B
．
2
C
．
18
D
．
2
3．若角
的终边经过点
(1,y
0
)
，则下列三角函数值恒为正的是
A
．
sin
4．
B
．
cos
C
．
tan
D
．
sin(π
)
C．
cos
D．
cos
6
3
5．如图，在矩形
ABCD
中，
M
是
CD
的中点，若
AC
AM
AB
，则
（）
31
cos
sin
（）
22
A．
cos
B．
cos
3
6
A．
2
6．若
arctan(3)
（
A．
1
B．1
）
B．
π
3
C．
3
2
D．2
2π
3
4
5
C．
5π
6
D．
）
D．
π
6
7
．已知
tan
2
，则
sin
2
sin
cos
2cos
2
（
A．B．
π
4
5
C．
1
3
5
8．要得到函数
y
sin
2
x
的图象，只需将函数
ysin2x
的图象（
3
A．向左平移
）
π
个单位长度
6
B．向右平移
π
个单位长度
6
试卷第1页，共6页
C．向左平移
π
个单位长度
3
D．向右平移
π
个单位长度
3
9
．如图，在平面直角坐标系
xOy
中，角
以
Ox
为始边，终边与单位圆
O
相交于点
P
.
过点
P
的圆
O
的切线交
x
轴于点
T
，点
T
的横坐标关于角
的函数记为
f(
)
.
则下列关
于函数
f(
)
的说法正确的
A．
f(
)
的定义域是
{
|
2
k
π
π
,
kZ
}
2
π
,0),
kZ
2
B．
f(
)
的图象的对称中心是
(
k
π
C
．
f(
)
的单调递增区间是
[2kπ,2kππ],kZ
D
．
f(
)
对定义域内的
均满足
f(π
)f(
)
1}
，则
10．已知单位向量
a
､
b
､
c
，满足
abc
.若常数
1
､
2
､
3
的取值集合为
M{1，
1
a
2
b
3
c
的最大值为（
A．
3
B．
2
）
C．
22
D．
23
二、双空题
11．已知
a(1,2),b(3,4)
，则
ab
；
|a2b|
．
三、填空题
12．已知向量
a(1,2)
,与向量
a
垂直的单位向量的坐标是．
四、双空题
已知扇形的半径为
6cm
，扇形的弧长为
18cm
，则该扇形的圆心角为
13
．
扇形的面积为
cm
2
．
rad
，
五、填空题
试卷第2页，共6页
14．计算
cos
7π5π
sin
64
的结果为
4π
tan
3
．
六、双空题
2
x
1
,
x
a
,
15．已知函数
f
(
x
)
2
x
2
a
,
x
a
.
（
Ⅰ
）若函数
f(x)
没有零点，则实数
a
的取值范围是；
（
Ⅱ
）称实数
a
为函数
f(x)
的包容数，如果函数
f(x)
满足对任意
x
1
(,a)
，都存在
x
2
(a,)
，使得
f(x
2
)f(x
1
)
.
3
1
1
在①
；②
2
；③
1
；④
2
；⑤中，函数
f(x)
的包容数是
2
2
．（填出所有正
确答案的序号）
七、解答题
π
16．已知函数
f
(
x
)
2sin
2
x
．
3
(1)
求
f(x)
的最小正周期
T
；
(2)
求
f(x)
的单调递增区间；
ππ
(3)在给定的坐标系中用五点法作出函数
f
(
x
)
x
,
T
的简图．
66
π
π
17．已知函数
f
(
x
)
sin(
x
)
0,|
|
，
x
是函数
f(x)
的对称轴，且
f(x)
在区间
2
6
π2π
,
上单调．
63
(1)
从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得
f(x)
的解析式存在，并求出其解
析式；
1
条件①：函数
f(x)
的图象经过点
A
0,
；
2
试卷第3页，共6页
π
条件②：
,0
是
f(x)
的对称中心；
3
5π
条件③：
,0
是
f(x)
的对称中心．
12
1
π
(2)根据（1）中确定
f
x
，若
y
f
(
x
)
x
m
,
的值域为
,1
，求
m
的取值范围．
2
2
BOAD1
.
ÐD=90°
18．如图，在四边形
OBCD
中，
CD2BO
，
OA2AD
，，且
（Ⅰ）用
OA
,
OB
表示
CB
；
（
Ⅱ
）点
P
在线段
AB
上，且
AB3AP
，求
cosPCB
的值
.
八、单选题
19．函数
f
(
x
)
4
3
cos
x
cos3
x
3
(
π
x
π)
的部分图象大致为（）
A．B．
C．D．
20．已知集合
M
2
{a
|a
x,y
,xN
且
x1,yN
且
y1
，O为坐标原点，当
OA
x
1
,y
1
M
2
,OB
x
2
,y
2
M
2
时，定义：
d
A,B
x
1
x
2
y
1
y
2
，若
OC
x
M
3
,y
32
，则“存在
0
使
AB
BC
”是“
d
A,B
d
B,C
d
A,C
”的（
A
．充分不必要条件
B
．必要不充分条件
C
．充要条件
D
．既不充分也不必要条件
试卷第4页，共6页
）
，
ACB
，BC=1，
2
3
P为BC中点．过点P作PQ⊥BC交AC所在直线于Q，则
AQ
在
BC
方向上投影的最大
21．在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且∠BAC=
值是（
A．
1
3
）
B．
1
2
C．
3
3
D．
2
3
22
．高斯是德国著名数学家，近代数学莫基者之一，享有
“
数学王子
”
称号，他和阿基米
德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的
“
高斯函数
”
为：设
x
R
，用
[x]
表示
不超过
x
的最大整数，则
y[x]
称为高斯函数，例如
[2.1]3
，
[2.1]2
．已知函数
f(x)sin|x||sinx|
，函数
g(x)[f(x)]
，则下列
4
个命题中，真命题的个数为（）．
①函数
g(x)
是周期函数
③函数
g(x)
的图象关于
x
对称
A
．
1B
．
2
π
2
②函数
g(x)
的值域是
{0,1,2}
π
④方程
g
(
x
)
x
只有一个实数根
2
C
．
3D
．
4
九、双空题
23．如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离
|OA|3
，
P
0
为圆周上一点，且
AOP
0
π
，点P从
P
0
处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按
6
逆时针方向作匀速圆周运动．
①
1
秒钟后，点
P
的横坐标为；
．②
t
秒钟后，点
P
到直线
l
的距离用
t
可以表示为
十、填空题
π
4π
m
0(
m
0)
恰有三个解
x
1
,x
2
,x
3
x
1
x
2
x
3
，
24．若关于x的方程
cos
x
mx
63
则
x
3
x
2
x
1
．
25．定义一种向量运算“
”：
a
b
＝
a
b
（
a
与
b
不共线），
a
b
＝
|a
b|
（
a
与
b
试卷第5页，共6页
共线）(
a
，
b
是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量
a
，
b
，
c
，
e
，给出下列
结论：
①
a
b
＝
b
a
；
②
(
a
b
)＝(
a
)
b
R
；
③(
a
＋
b
)
c
＝
a
c
＋
b
c
；
④若
e
是单位向量，则|
a
e
|
|
a
|＋1.
以上结论一定正确的是
．．
．(填上所有正确结论的序号)
十一、解答题
26
．给定正整数
n2
，设集合
M
{
|
(
t
1
,
t
2
,
L
,
t
n
),
t
k
{0,1},
k
1,2,
L
,
n
}
．对于集合
M
中
的任意元素
(
x
1
,
x
2
,
L
,
x
n
)
和
(
y
1
,
y
2
,
L
,
y
n
)
，记
x
1
y
1
x
2
y
2
Lx
n
y
n
．设
AM
，
且集合
A
{
i
|
i
(
t
i
1
,
t
i
2
,
L
,
t
in
),
i
1,2,
L
,
n
}
，对于
A
中任意元素
i
,
j
，若
i
j
则称
A
具有性质
T(n,p)
．
(1)
判断集合
A{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}
是否具有性质
T(3,2)
？说明理由；
(2)
判断是否存在具有性质
T(4,p)
的集合
A
，并加以证明；
(3)若集合
A
具有性质
T(n,p)
，证明：
t
1
j
t
2
j
Lt
nj
p
(
j
1,2,
L
,
n
)
．
p
,
i
j
,
1,
i
j
,
试卷第6页，共6页
参考答案：
1
．
A
【分析】利用诱导公式求解
.
【详解】
cos
故选：
A
2
．
D
4
cos
33
1
cos
，
32
【分析】根据
a//b
可得出
m36
1
0
，解出m即可．
【详解】
a//b
；
3m60
；
m2
．
故选
D
．
【点睛】本题考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系．
3
．
B
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，得出结论．
2
【详解】角
的终边经过点
1,y
0
，
x1
，
yy
0
，
r1y
0
，
故
cos
不确定，
故选
B
．
yy
0
x
1
y
0
0
，而
sin
0
tan
y
0
，正负号
，正负号不确定，
22
rr
1
y
0
1
y
0
1
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
4
．
A
【分析】将代数式变形为
余弦公式可得出结果
.
【详解】由题意可得
31
cos
sin
coscos
sinsin
，然后再利用两角差的
2266
31
cos
sin
coscos
sinsin
cos
，故选A.
2266
6
【点睛】本题考查两角差的余弦公式的应用，解题的关键就是将系数化为特殊角的三角函数
值，考查计算能力，属于基础题
.
5
．
C
答案第
1
页，共
16
页
1
【分析】由向量的平行四边形法则以及三角形法则得出
ACAMAB
，进而得出
.
2
1
1
3
【详解】
ACADABAMMDABAMAB
，∴
1
，
，∴
，
2
2
2
故选：
C
．
6
．
B
【分析】根据反正切函数的值域及特殊角的三角函数值判断即可
.
【详解】因为
tan
2π
π
3
5π3
π
3
，
tan
3
，
tan
，
tan
，
63
3
3
63
ππ
又反正切函数
yarctanx
的值域为
,
，
22
π
所以
arctan
3
.
3
故选：
B
7
．
A
【分析】在所求代数式上除以
sin
2
cos
2
，利用弦化切可求得所求代数式的值
.
【详解】因为
tan
2
，则
cos
0
，
sin
2
sin
cos
2cos
2
sin
2
sin
cos
2cos
2
cos
2
原式
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
cos
2
tan
2
tan
24
2
24
.
tan
2
14
15
故选：
A.
8
．
B
【分析】根据三角函数平移变换原则直接判断即可
.
π
【详解】
y
sin
2
x
sin
3
π
2
x
，
6
π
只需将
ysin2x
的图象向右平移个单位长度即可.
6
故选：
B.
9
．
B
【分析】由三角函数的定义可知：
P
（
cosα
，
sinα
），则以点
P
为切点的圆的切线方程为：
xcosα+ysinα=1，得：函数f（α）=
1
，结合三角函数的性质得解．
cos
【详解】由三角函数的定义可知：
P
（
cosα
，
sinα
），
答案第
2
页，共
16
页
则以点
P
为切点的圆的切线方程为：
xcosα+ysinα=1
，
由已知有
cosα≠0
，
令y=0，得：x=
即函数f（α）=
1
，
cos
1
，
cos
由cosα≠0，得：α≠2kπ±
{
|
2k
±
，即函数f（α）的定义域为：
2
，k∈z}，故A错误，
2
2
由复合函数的单调性可知：函数
f
（
α
）的增区间为：
[2kπ，2k
f
π
2
），（2k
2kπ+π]，k∈Z，故C错误，
1
f（α）,故D错误，
cos
函数f（α）的对称中心为（k
故选
B
．
2
，0），k∈Z，故B正确．
【点睛】本题考查了三角函数的定义、圆的切线方程、及三角函数的性质，属中档题．
10
．
B
【分析】由条件，
1
a
2
b
3
c
化简为
1
a
2
b
3
c(
1
3
)a(
2
3
)b
，再根据条件
判断
1
3
和
2
3
的取值，再根据
abc1
，求
1
a
2
b
3
c
的最大值.
a
b
c
a
b
13
23
，【详解】由条件
abc
得
123
1
3
和
2
3
的取值只有三种可能，分别为
0
､
2
､
2
，
但二者不可能同时一个取
2
，另一个取
2
，
2b
2ab
，
(
)a(
)b
∴
13
的化简结果只有四种形式：
0
､
2|a|
､､
23
a
而
bc1
，故所有可能取值只有
0
或
2
两种结果，
∴
1
a
2
b
3
c
的最大值为
2
.
故选：
B
【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断
1
3
和
2
3
的取值，从而利用
abc1
，
求
1
a
2
b
3
c
的最大值.
答案第
3
页，共
16
页
11．11
61
【分析】根据向量数量积的坐标运算以及模长公式即可求值
.
【详解】
ab132411
,
a2b
=
1,2
2
3,4
=
5,6
，
所以
|a2b|
5
6
22
=
61
，
故答案为：11；
61
255
255
,,
12．
或
5
555
e
【分析】设向量
e
x,y
为与向量
a
垂直的单位向量，依题意可得
ae0
且
1
，得到方
程组，解得即可
.
【详解】设向量
e
x,y
为与向量
a
垂直的单位向量，
5
5
y
y
x
2
y
0
5
5
e1
则
ae0
且，所以
2
，解得或，
2
x
y
1
25
25
x
x
5
5
255
255
,
e
,
即
e
或
5
.
555
255
255
故答案为：
5
,
5
或
5
,
5
13
．
354
【分析】根据弧长以及扇形面积公式即可代入求值
.
【详解】设扇形的半径，弧长以
,
圆心角以及扇形面积分别为
r,l,
,S
，且
r6,l18
，
l
1811
故
=
3
rad,
Slr
18
6
54
cm
2
.
r
622
54
故答案为：
3，
2
1
2
/
4
4
14．
【分析】利用诱导公式化简，结合特殊角的三角函数值可得结论
.
【详解】因为
cos
7ππ
π3
cos
π
cos
，
66
62
答案第
4
页，共
16
页
sin
tan
5ππ
π2
sin
π
sin
，
44
42
4ππ
π
tan
π
tan
3
，
33
3
7π5π
3
2
cossin
64
2
2
2
，所以
4π
4
3
tan
3
故答案为：
15
．
2
.
4
(
Ⅱ
)
②③
(
Ⅰ
)a0
或
a2
【分析】
(
Ⅰ
)
考虑指数函数的值域和二次函数的单调性，即可得到所求范围；
(
Ⅱ
)
由题意可得
f
x
1
的值域为
f
x
2
的值域的子集，分别讨论五种情况，由指数函数的单
调性和二次函数的单调性，求得值域，即可判断．
2,
x
a
2
【详解】
(
Ⅰ
)
函数
f
x
x
2
a
,
x
a
.
，
x
1
由
xa
时，
f
x
2
0
，无零点；
x
1
2
若
xa
时，
f
x
2ax
，
当
a0
时，
f
x
0
，无零点；
当
a0
时，由
2ax
2
0
，即
2ax
2
，
由
xa
时，
yx
2
递增，可得
ya
2
，
由
2aa
2
，可得
a2
，
f
x
无零点；
综上可得
a0
或
a2
；
(
Ⅱ
)
由题意可得
f
x
1
的值域为
f
x
2
的值域的子集，
3
11
x
1
当
a
时，由
x
时，
f
x
2
0,2
2
；
22
3
1
2
由
x
时，
f
x
1x
,1
，
]
，
0,2
2
Ø
,
1
，不满足题意；
2
1
11
x
1
当
a
时，由
x
时，
f
x
2
0,2
2
；
22
答案第
5
页，共
16
页
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