古典难题的挑战——几何三大难题及其解决

2024年3月22日发(作者：让我们写数学试卷英语)

古典难题的挑战——几何三大难题及其解决

位于欧洲南部的希腊，是著名的欧洲古国，几何学的故乡。这里的古人提出的三大几何难

题，在科学史上留下了浓浓的一笔。这延续了两千多年才得到解决的世界性难题，也许是

提出三大难题的古希腊人所不曾预料到的。

三大难题的提出

传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波

罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会

继续流行。人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无

能为力。这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。另外两个著名问题是三等分任

意角和化圆为方问题。

用数学语言表达就是：

三等分角问题：将任一个给定的角三等分。

倍立方体问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二

倍。

化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。

然而，一旦改变了作图的条件，问题则就会变成另外的样子。比如直尺上如果有了刻度，

则倍立方体和三等分任意角就都是可作的了。这三大难题在《几何原本》问世之前就提出

了，随着几何知识的传播，后来便广泛留传于世。

貌似简单其实难

从表面看来，这三个问题都很简单，它们的作图似乎该是可能的，因此，2000多年来从

事几何三大难题的研究颇不乏人。也提出过各种各样的解决办法，例如阿基米德、帕普斯

等人都发现过三等分角的好方法，解决立方倍积问题的勃洛特方法等等。可是，所有这些

方法，不是不符合尺规作图法，便是近似解答，都不能算作问题的解决。

其间，数学家还把问题作种种转化，发现了许多与三大难题密切相关的一些问题，比如求

等于圆周的线段、等分圆周、作圆内接正多边形等等。可是谁也想不出解决问题的办法。

三大作图难题就这样绞尽了不少人的脑汁，无数人做了无数次的尝试，均无一人成功。后

来有人悟及正面的结果既然无望，便转而从反面去怀疑这三个问题是不是根本就不能由尺

规作出?

数学家开始考虑哪些图形是尺规作图法能作出来的，哪些不能？标准是什么？界限在哪

里？可这依然是十分困难的问题。

高斯的发现

历史的车轮转到了17世纪。法国数学家笛卡尔创立解析几何，为判断尺规作图可能性提

供了从代数上进行研究的手段，解决三大难题有了新的转机。

最先突破的是德国数学家高斯。他于1777年4月30日出生于不伦瑞克一个贫苦的家

庭。他的祖父是农民，父亲是打短工的，母亲是泥瓦匠的女儿，都没受过学校教育。由于

家境贫寒，冬天傍晚，为节约燃料和灯油，父亲总是吃过晚饭就要孩子睡觉。高斯爬上小

阁楼偷偷点亮自制的芜菁小油灯，在微弱的灯光下读书。他幼年的聪慧博得一位公爵的喜

爱，15岁时被公爵送进卡罗琳学院，1795年又来到哥庭根大学学习。由于高斯的勤

奋，入学后第二年，他就按尺规作图法作出了正17边形。紧接着高斯又证明了一个尺规

作图的重大定理：如果一个奇素数P是费尔马数，那么正P边形就可以用尺规作图法作

出，否则不能作出。

由此可以断定，正3边、5边、17边形都能作出，而正7边、11边、13边形等都不能

作出。

高斯一生不仅在数学方面做出了许多杰出的成绩，而且在物理学、天文学等方面也有重要

贡献。他被人们赞誉为“数学王子”。高斯死后，按照他的遗愿，人们在他的墓碑上刻上

一个正17边形，以纪念他少年时代杰出的数学发现。

最后的胜利

解析几何诞生之后，人们知道直线和圆，分别是一次方程和二次方程的轨迹。而求直线与

直线、直线与圆、圆与圆的交点问题，从代数上看来不过是解一次方程或二次方程组的问

题，最后的解是可以从方程的系数（已知量）经过有限次的加、减、乘、除和开平方求

得。因此，一个几何量能否用直尺圆规作出的问题，等价于它能否由已知量经过加、减、

乘、除、开方运算求得。这样一来，在解析几何和高斯等人已有经验的基础上，人们对尺

规作图可能性问题，有了更深入的认识，从而得出结论：尺规作图法所能作出的线段或者

点，只能是经过有限次加、减、乘、除及开平方（指正数开平方，并且取正值）所能作出

的线段或者点。

标准有了，下来该是大胆探索、细心论证。谁能避过重重险滩将思维贯通起来，谁就是最

后胜利者。1837年，23岁的万芝尔以他的睿智和毅力实现了自己的梦想，证明了立方

倍积与三等分任意角不可能用尺规作图法解决，宣布了2000多年来，人类征服几何三大

难题取得了重大胜利。

用类似地想法，他证明了三等分角也是不可能解的问题。实际上万芝尔还证明了一个被称

为高斯——万芝尔定理：如果边数N可以写成如下形式N＝2t·P1·P2……Pn，其中

P1、P2、…Pn都是各不相同的形如22k＋1的素数，则可用尺规等分圆周N份，且只

有当N可以表成这种形式时，才可用尺规等分圆周N份。根据这一定理，任意角的三等

分就不可能了。

1882年，德国数学家林德曼借助于eiπ=-1证明了π的超越性，从而解决了化圆为方的

问题。假设圆的半径为r，正方形的边长为x，按化圆为方数代数方程的根，更不能用加

减乘除开平方所表示，因而不可能用尺规法作图。

从此，古典几何的三大难题都有了答案。

2000多年来，一代接一代地攻克三大难题，有人不禁要问这值得吗？假如实际中真遇到

要三等分角、立方倍积、化圆为方，只要行之有效，何苦一定用尺规作图法解决？其实，

数学研究并非一定要实用，数学家对每一个未知之谜都要弄个清楚，道个明白，这种执著

追求的拗劲正是科学的精神。更为重要的是，对三大难题的研究，反过来促进了数学的发

展，出现了新的数学思想和方法，例如阿基米德、帕普斯发现的三等分角的方法，勃洛特

用两块三角板解决立方倍积问题，等分圆周、作正多边形，高斯关于尺规作图标准的重大

发现等等。每一次突破不仅是人类智慧的胜利，使数学园地争奇竞艳，而且有利于科学技

术的发展。

特别值得提到的是，在三大几何难题获得解决的同时，法国数学家伽罗瓦从一般角度对不

可能性问题进行研究，在1830年，19岁的伽罗瓦提出了解决这一类问题的系统理论和

方法，从而创立了群论。群论是近世抽象代数的基础，它是许多实际问题的数学模型，应

用极其广泛，而三大几何作图难题只不过是这种理论的推论、例题或习题。所以，一般认

为三大难题的解决归功于伽罗瓦理论，可伽罗瓦理论是在他死后14年才发表的，直到

1870年，伽罗瓦理论才得到第一次全面清楚的介绍。