一道极坐标系下交换积分次序题的思考

2023年12月20日发(作者：湖南师大附中一模数学试卷)

第11期第期第2期20212021年年11月月2017年2月福建教育学院学报福建教育学院学报建教INSTITUTE育学院学OF报EDUCATIONJOURNALOF福FUJIANNO.7Jan.2021July.2017NO.1一道极坐标系下交换积分次序题的思考简彩仁1吕书龙2周勇2（1.厦门大学嘉庚学院，福建漳州363150；2.福州大学数学与计算机科学学院，福建福州350116）摘要：研究一道极坐标系下交换积分次序题。根据二重积分积分变量符号无关性的原理，得出并不需要在极坐标系下进行交换积分次序，只需将θ和r视为直角坐标系的坐标轴，直接利用直角坐标系交换积分次序的方法进行研究即可。关键词：交换积分次序；极坐标；数形结合中图分类号：O172.2文献标识码：A文章编号：1673-9884（2021）01-0123-03引言∫dθ∫βα极坐标系下二重积分的计算公式为φ2(θ)φ1(θ)f(r,θ)rdr，其中f(r,θ)连续。交换积分次序∫积分区域D，则I=2a0dr该方法的主要特点是后积变量的上下限是常∫arccos-π4r2af(r,θ)rdθ+∫2a2adr∫arccosr2a-arccosr2af(r,θ)rdθ.∫dθ∫βα是指交换积分变量θ和r的积分次序。将二重积分φ2(θ)φ1(θ)数，但由于部分学生对极坐标相关知识的不熟悉，不能很好地理解该方法。基于对该类问题的研究，并参考直角坐标交换积分次序的思想，文章提出一种适合极坐标系下的二重积分计算方法。文章对极坐标系下二重积分交换积分次序展开讨论，利用积分变量符号无关性，将极坐标系下交换积分次序问题转化为直角坐标系下交换积分次序问题，一方面力求达到数学理论方法的统一美，另一方面也为《高等数学》课程中关于交换积分次序的教学提供参考。一、理论分析为叙述方便，不失一般性，将被积函数f(r,θ)r直接记为f(r,θ).本文研究二重积分交换积分次序。f(r,θ)rdr交换积分次序：先积θ，后积r。极坐标系下交换积分次序在二重积分交换积分次序中有重要的理论地位。许多教材和辅导书都对其进行了研究［1-4］.许多考研教辅［2-4］都给出了类似于引例的例题进行分析。∫引例［3］交换π2-π4dθ次序，其中f(r,θ)连续。解：r=2acosθ是圆x2+y2=2ax，即(x-a)2+y2=a2，由原积分I可知积∫I=2acosθ0f(r,θ)rdr的积分∫∫βαdθφ2(θ)φ1(θ)f(r,θ)dr的分区域D，如图1所示，欲将原积分I化为先θ后r的积根据积分变量符号无关性，有分，用r=C（中心在原点的同心圆）穿过积分区域D。图1当0⩽C⩽2a时，圆弧r=C是从θ=-π/4进入区域D，从r=2acosθ(θ>0)穿出积分区域D；当2a⩽r⩽2a时，圆弧r=C是从r=2acosθ(θ<0)进入区域D，从r=2acosθ(θ>0)穿出收稿日期：2020-11-14假设Y型积分区域{(x,y)|φ1(y)⩽x⩽φ2(y),α⩽y⩽β}，也可以看成X型区域DX={(x,y)|ψ1(x)⩽y⩽ψ2(x),a⩽x⩽b}.∫∫βαdθφ2(θ)φ1f(r,θ)dr=(θ)∫∫βαdyφ2(y)φ1(y)f(x,y)dx.根据直角坐标系下交换积分次序的理论，有基金项目：福建省本科高校教育教学改革项目：以“OBE理念+创新思维”构建数学公共基础课“定制式”创新服务型教学新生态（课题编号：FBJG20200188）；福州大学宣传部三全育人项目：促进精准教学与创新服务同频共振提升数学公共基础课协同育人水平。作者简介：简彩仁，男，厦门大学嘉庚学院讲师。研究方向：公共基础课教学、模式识别。通讯作者：吕书龙，男，福州大学数学与计算机科学学院副教授。研究方向：公共基础课教学、概率统计。

124简彩仁吕书龙周勇：一道极坐标系下交换积分次序题的思考2021年第1期)φ1(y)f(x,y)dx=再根据积分变量符号无关性，∫βαdy∫φ2(y∫b(x)adx有∫ψ2ψ1(x)f(x,y)dy.bψ2(x)∫bψ2(r)axψ1(x)f(x,y)dy=adr于是得到在极坐标系下交换积分次序的公式为∫d∫∫ψ1(r)f(r,θ)dθ.∫βαdθf(r,θ)dθ.通过以上的理论分析，∫φ2(θ)ψ2(r)φ1(θ)f(r,θ)dr=∫badr不难得到在极坐标系下∫ψ1(r)交换积分次序，不必研究极坐标系下交换积分次序的问题，只需将θ和r视为直角坐标系的坐标轴进行积分即可。基于以上讨论，极坐标系下交换积分次序问题的求解步骤如下：第一步：将θ和r视为直角坐标系的坐标轴，建立坐标系，并画出积分区域；第二步：利用直角坐标系下二重积分的定限原理确定先积变量θ的积分限，再确定后积变量r的积分限；第三步：写出交换积分次序结果ψ1(r)f(r,θ)dθ.二、引例求解∫bdr∫ψ2(r)a本节利用本文提出的方法求解引例。解：将θ和r视为直角坐标系的坐标轴，画出积分区域如图2。图2在积分区域∫D1，先积θ再积r得22a0dr在积分区域D∫arccosr-πf(r,θ)dθ；42，先积θ再积r得2raf(r,θ)dθ；∫由此，得到交换积分次序的结果为∫22dr∫arccos-arccos2raπ2dθf(r,θ)dr=2ra∫-π40dr2∫2acosθ0arccosr∫2∫arccos-πf(r,θ)dθ+42dr∫2a-arccosf(r,θ)dθ2ra三、应用本节通过3个典型的极坐标交换积分次序进行分析。例1.交换二次积分的次序4∫πdθ2sinθ0f(r,θ)dr+2f(r,θ)dr.4dθ解：∫2cosθ∫π0∫π0将θ和r视为直角坐标系的坐标轴，画出积分区域如图3。图3在积分区域D，先积θ再积r得arccosr20drf(r,θ)dθ；由此，得到交换积分次序的结果为∫2∫arcsinr2π4dθ2sinθ2cosθπ∫0∫0f(r,θ)dr+0f(r,θ)dr=2∫arccos∫r∫π24dθ∫20drarcsinrf(r,θ)dθ.2∫例2.交换二次积分的次序π4dsecθ0θ∫0f(r,θ)dr+π2dθcscθπ,θ)dr.40f(r解：将θ和r视为直角坐标系的坐标轴，∫∫画出积分区域如图4。图4在积分区域Dπ1，先积θ再积r得200f(r,θ)dθ；在积分区域D2，先积θ再积r得∫1dr∫dr由此，得到交换积分次序的结果为∫21∫arcsin1rarccos1f(r,θ)dθ；r

第1期2021年1月福建教育学院学报125∫dθ∫0π4secθ0f(r,θ)dr+1r1r+∫21dr例3.交换二次积分的次序∫arcsinarccos∫dθ∫π2π4cscθ0f(r,θ)dr=∫dr∫100π2f(r,θ)dθ由此，得到交换积分次序的结果为f(r,θ)dθ.四、结论1sinθ+cosθ∫dθ∫0π211sinθ-cosθf(r,θ)dr=∫122dr∫3π2-arcsin42arcsin22f(r,θ)dθ.解：将θ和r视为直角坐标系的坐标轴，画出积分区域如图5。∫∫0π2文章研究了极坐标系下二重积分交换次序的问题.从二重积分的积分变量符号无关性得出并不需要在极坐标系下进行交换积分次序，只需将将θ和r视为直角坐标系的坐标轴，直接利用直角坐标系交换积分次序的方法进行研究即可。dθ1f(r,θ)dr.参考文献［1］同济大学数学系.高等数学（下册）第7版［M］.北京:高等教育出版社，2014：7.［2］武忠祥.高等数学辅导讲义［M］.西安:西安交通大学出版社，2014：9.图5［3］张宇.2019张宇高等数学18讲［M］.北京:高等教育出版社，2017：12.［4］李永乐，王式安，武忠祥，等.考研数学复习f(r,θ)dθ；在积分区域D，先积θ再积r得∫122dr∫3π2arcsin42arcsin22全书（数学三）［M］.北京：高等教育出版社，2017：12.（上接第111页）不过，这并不是说“势”与“张力”是“一对大致相当的概念”，因为这里所涉及的并不是中国的“势”论与新批评的“张力”论的全部内容，而仅仅是这两个概念的局部涵义。前者主要涉及王夫之，后者主要涉及退特。但是这个局部的相通之处也是很有意义的：它为我们理解和阐释王夫之的“势”提供了一条更明确、甚至更确切的思路，也反映了诗所具有的某种普遍性的深微的艺术特征。而这正是中西文论比较研究的一项价值之所在。参考文献［1］〔美〕艾布拉姆斯.文学术语词典（中英对照）［M］.吴松江，译.北京：北京大学出版社，2009：631.［2］〔英〕罗吉·福勒.现代西方文学批评术语词典［M］.袁德成，译.成都：四川人民出版社，1987：280.［3］Warren,dImpurePoetry［4］〔美〕艾伦·退特.论诗的张力（1937）［A］.赵［J］.TheKenyonReview,1943（2）.毅衡，编选.新批评文集［C］.天津：百花文艺出版社，2001：130.1988：66.［5］袁可嘉.论新诗现代化［M］.北京：三联书店，［6］杨果.隐藏的视点：中西“张力”范畴再辨［J］.［7］李清良.气势与张力［J］.湖南师范大学社会科学学报.1993（4）.［8］〔美〕鲁道夫·阿恩海姆.艺术与视知觉［M］.北京：中国社会科学出版社，1984.［9］张龙云.张力美与中国诸美学范畴之异同论［J］.江汉论坛，2019（2）.江汉学术，2013（5）.