2024年4月8日发(作者：高职高专自主招生数学试卷)
2021
年北京市东城区中考数学二模试卷
一、选择题（共
8
小题）
.
1
．下列各数中，小于
A
．﹣
1
的正整数是（ ）
B
．
0
C
．
1
D
．
2
2
．在下列不等式中，解集为
x
＞﹣
1
的是（ ）
A
．
2x
＞
2
B
．﹣
2x
＞﹣
2
C
．
2x
＜﹣
2
D
．﹣
2x
＜
2
）与⊙
O
的位置关系是（ ）
D
．不能确定
3
．在平面直角坐标系
xOy
中，⊙
O
的半径为
2
，点
A
（
1
，
A
．在⊙
O
上
B
．在⊙
O
内
C
．在⊙
O
外
4
．下列式子中，运算正确的是（ ）
A
．（
1+x
）
2
＝
1+x
2
C
．﹣（
x
﹣
y
）＝﹣
x
﹣
y
B
．
a
2
⋅
a
4
＝
a
8
D
．
a
2
+2a
2
＝
3a
2
围
5
．如图，⊙
O
是正五边形
ABCDE
的外接圆．若⊙
O
的半径为
5
，则半径
OA
，
OB
与
成的扇形的面积是（ ）
A
．
2
π
B
．
5
π
C
．
D
．
10
π
的交点，点
B
在第一象
6
．在平面直角坐标系
xOy
中，点
A
，
B
是直线
y
＝
x
与双曲线
限，点
C
的坐标为（
6
，﹣
2
）．若直线
BC
交
x
轴于点
D
，则点
D
的横坐标为（ ）
A
．
2
B
．
3
C
．
4
D
．
5
7
．多年来，北京市以强有力的措施和力度治理大气污染，空气质量持续改善，主要污染物
的年平均浓度值全面下降．如图是
1998
年至
2019
年二氧化硫（
SO
2
）和二氧化氮（
NO
2
）
的年平均浓度值变化趋势图（ ）
A
．
1998
年至
2019
年，
SO
2
的年平均浓度值的平均数小于
NO
2
的年平均浓度值的平均数
B
．
1998
年至
2019
年，
SO
2
的年平均浓度值的中位数小于
NO
2
的年平均浓度值的中位数
C
．
1998
年至
2019
年，
SO
2
的年平均浓度值的方差小于
NO
2
的年平均浓度值的方差
D
．
1998
年至
2019
年，
SO
2
的年平均浓度值比
NO
2
的年平均浓度值下降得更快
8
．四位同学在研究函数
y
＝﹣
x
2
+bx+c
（
b
，
c
是常数）时，甲同学发现当
x
＝
1
时，函数有
最大值；乙同学发现函数
y
＝﹣
x
2
+bx+c
的图象与
y
轴的交点为（
0
，﹣
3
）；丙同学发现
函数的最大值为
4
；丁同学发现当
x
＝
3
时，函数的值为
0
．若这四位同学中只有一位同
学的结论是错误的，则该同学是（ ）
A
．甲
B
．乙
C
．丙
D
．丁
二、填空题（本题共
16
分，每小题
2
分）
9
．若分式有意义，则
x
的取值范围是
．
10
．分解因式：
mx
2
﹣
9m
＝
．
11
．用一个
k
的值推断命题“一次函数
y
＝
kx+1
（
k
≠
0
）中，
y
随着
x
的增大而增大”．是
错误的，这个值可以是
k
＝
．
12
．某校九年级（
1
）班计划开展“讲中国好故事”主题活动．第一小组的同学推荐了“北
大红楼、脱贫攻坚、全面小康、南湖红船、抗疫精神、致敬英雄”六个主题，并将这六
个主题分别写在六张完全相同的卡片上，然后将卡片放入不透明的口袋中．组长小东从
口袋中随机抽取一张卡片，抽到含“红”字的主题卡片的概率是
．
13
．如图，点
A
，
D
，
B
，
E
在同一条直线上，
AD
＝
BE
，
AC
＝
EF
，要使△
ABC
≌△
EDF
，只
需添加一个条件，这个条件可以是
．
14
．在平面直角坐标系
xOy
中，已知点
A
（
2
，
0
），
B
（
5
，
4
）．若四边形
OABC
是平行四
边形，则
OABC
的周长等于
．
15
．若点
P
在函数
是
．
16
．数学课上，李老师提出如下问题：
已知：如图，
AB
是⊙
O
的直径，射线
AC
交⊙
O
于
C
．
求作：弧
BC
的中点
D
．
同学们分享了四种方案：
①如图
1
，连接
BC
，作
BC
的垂直平分线，交⊙
O
于点
D
．
②如图
2
，过点
O
作
AC
的平行线，交⊙
O
于点
D
．
③如图
3
，作∠
BAC
的平分线，交⊙
O
于点
D
．
④如图
4
，在射线
AC
上截取
AE
，使
AE
＝
AB
，连接
BE
，交⊙
O
于点
D
．
的图象上，且到
x
轴的距离等于
1
，则点
P
的坐标
上述四种方案中，正确的方案的序号是
．
三、解答题（本题共
68
分，第
17-22
每小题
5
分，第
23-26
题，每小题
5
分，第
27-28
题，
每小题
5
分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17
．计算：．
18
．先化简代数式，再求当
a
满足
a
﹣
2
＝
0
时，此代数式的值．
19
．如图，在等腰△
ABC
中，
AB
＝
AC
，直线
l
过点
A
．点
B
与点
D
关于直线
l
对称，连接
AD
，
CD
．求证：∠
ACD
＝∠
ADC
．
20
．已知：如图，点
C
在∠
MON
的边
OM
上．
求作：射线
CD
，使
CD
∥
ON
，且点
D
在∠
MON
的角平分线上．
作法：①以点
O
为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线
OM
，
ON
于点
A
，
B
；②分别
以点
A
，
B
为圆心，大于的长为半径画弧，交于点
Q
；③画射线
OQ
；④以点
C
为
圆心，
CO
长为半径画弧，交射线
OQ
于点
D
；⑤画射线
CD
．射线
CD
就是所求作的射
线．
（
1
）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（
2
）完成下面的证明：
∵
OD
平分∠
MON
，
∴∠
MOD
＝
．
∵
OC
＝
CD
，
∴∠
MOD
＝
．
∴∠
NOD
＝∠
CDO
．
∴
CD
∥
ON
（
）（填推理的依据）．
21
．已知关于
x
的一元二次方程
mx
2
﹣（
m+1
）
x+1
＝
0
（
m
≠
0
）．
（
1
）求证：此方程总有实数根；
（
2
）写出一个
m
的值，使得此该方程的一个实数根大于
1
，并求此时方程的根．
22
．如图，在菱形
ABCD
中，点
E
是
CD
的中点，连接
AE
，交
BD
于点
F
．
（
1
）求
BF
：
DF
的值；
（
2
）若
AB
＝
2
，
AE
＝，求
BD
的长．
23
．在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
与双曲线
﹣
1
），
B
（
1
，
m
）．
（
1
）求
k
和
m
的值；
的两个交点分别为
A
（﹣
3
，
（
2
）点
P
为直线
l
上的动点，过点
P
作平行于
x
轴的直线，交双曲线
Q
．当点
Q
位于点
P
的右侧时，求点
P
的纵坐标
n
的取值范围．
于点
24
．如图，⊙
O
是△
ABC
的外接圆，圆心
O
在
AC
上．过点
B
作直线交
AC
的延长线于点
D
，
使得∠
CBD
＝∠
CAB
．过点
A
作
AE
⊥
BD
于点
E
，交⊙
O
于点
F
．
（
1
）求证：
BD
是⊙
O
的切线；
（
2
）若
AF
＝
4
，，求
BE
的长．
25
．中国新闻出版研究院组织实施的全国国民阅读调查已持续开展了
18
次，对我国国民阅
读总体情况进行了综合分析．
2021
年
4
月
23
日，第十八次全国国民阅读调查结果发布．
下面是关于样本及国民图书阅读量的部分统计信息：
a
．本次调查有效样本容量为
46083
，成年人和未成年人样本容量的占比情况如图
1
．
b
．
2020
年，成年人的人均纸质图书阅读量约为
4.70
本，人均电子书阅读量约为
3.29
本；
2019
年，成年人的人均纸质图书阅读量约为
4.65
本，人均电子书阅读量约为
2.84
本．
c.2012
年至
2020
年，未成年人的年人均图书阅读量如图
2
．
根据以上信息，回答问题：
（
1
）第十八次全国国民阅读调查中，未成年人样本容量占有效样本容量的
；
（
2
）
2020
年，成年人的人均图书阅读量约为
本，比
2019
年多
本；
（
3
）在
2012
年至
2020
年中后一年与前一年相比，
年未成年人的年人均图书
阅读量的增长率最大；
2020
年，（
4
）未成年人的人均图书阅读量比成年人的人均图书阅读量高
%
（结
果保留整数）．
26
．在平面直角坐标系
xOy
中，抛物线
y
＝
ax
2
﹣
3ax+1
与
y
轴交于点
A
．
（
1
）求抛物线的对称轴；
（
2
）点
B
是点
A
关于对称轴的对称点，求点
B
的坐标；
（
3
）已知点
P
（
0
，
2
），
Q
（
a+1
，
1
）．若线段
PQ
与抛物线与恰有一个公共点，结合
函数图象，求
a
的取值范围．
27
．已知△
ADE
和△
ABC
都是等腰直角三角形，∠
ADE
＝∠
BAC
＝
90
°，
P
为
AE
的中点，
连接
DP
．
（
1
）如图
1
，点
A
，
B
，
D
在同一条直线上，直接写出
DP
与
AE
的位置关系；
（
2
）将图
1
中的△
ADE
绕点
A
逆时针旋转，当
AD
落在图
2
所示的位置时，点
C
，
D
，
P
恰好在同一条直线上．
①在图
2
中，按要求补全图形，并证明∠
BAE
＝∠
ACP
；
②连接
BD
，交
AE
于点
F
．判断线段
BF
与
DF
的数量关系，并证明．
28
．对于平面直角坐标系
xOy
中的图形
W
，给出如下定义：点
P
是图形
W
上任意一点，若
存在点
Q
，使得∠
OQP
是直角，则称点
Q
是图形
W
的“直角点”．
（
1
）已知点
A
（
6
，
8
），在点
Q
1
（
0
，
8
），
Q
2
（﹣
4
，
2
），
Q
3
（
8
，
4
）中，
是
点
A
的“直角点”；
（
2
）已知点
B
（﹣
3
，
4
），
C
（
4
，
4
），若点
Q
是线段
BC
的“直角点”，求点
Q
的横
坐标
n
的取值范围；
（
3
）在（
2
）的条件下，已知点
D
（
t
，
0
），
E
（
t+1
，
0
），以线段
DE
为边在
x
轴上方
作正方形
DEFG
．若正方形
DEFG
上的所有点均为线段
BC
的“直角点”，直接写出
t
的取值范围．
参考答案
一、选择题（本题共
16
分，每小题
2
分）第
1-8
题均有四个选项，符合题意的选项只有一
个．
1
．下列各数中，小于
A
．﹣
1
【分析】估算确定出
解：∵
1
＜
2
＜
4
，
∴
1
＜
则小于
＜
2
，
的正整数是
1
．
的正整数是（ ）
B
．
0
C
．
1
D
．
2
的大小，判断即可．
故选：
C
．
2
．在下列不等式中，解集为
x
＞﹣
1
的是（ ）
A
．
2x
＞
2
B
．﹣
2x
＞﹣
2
C
．
2x
＜﹣
2
D
．﹣
2x
＜
2
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可，在不等式两边同乘或同除一个正数或式子，
不等号的方向不变；在不等式两边同乘或同除一个负数或式子，不等号的方向改变．
解：
A.2x
＞
2
，不等式的两边同时除以
2
得：
x
＞
1
，即该不等式的解集不合题意，故本选
项不合题意；
B
．﹣
2x
＞﹣
2
，不等式的两边同时除以﹣
2
得：
x
＜
1
，即该不等式的解集不合题意，故本
选项不合题意；
C.2x
＜﹣
2
，不等式的两边同时除以
2
得：
x
＜﹣
1
，即该不等式的解集不合题意，故本选
项不合题意；
D
．﹣
2x
＜
2
，不等式的两边同时除以﹣
2
得：
x
＞﹣
1
，即该不等式的解集符合题意，故
本选项符合题意；
故选：
D
．
3
．在平面直角坐标系
xOy
中，⊙
O
的半径为
2
，点
A
（
1
，
A
．在⊙
O
上
B
．在⊙
O
内
）与⊙
O
的位置关系是（ ）
D
．不能确定
C
．在⊙
O
外
【分析】根据两点间的距离公式求出
AO
的长，然后与⊙
O
的半径比较，即可确定点
A
的位置．
解：∵点
A
（
1
，），
∴
AO
＝
∵⊙
O
的半径为
2
，
∴点
A
在⊙
O
上，
故选：
A
．
＝
2
，
4
．下列式子中，运算正确的是（ ）
A
．（
1+x
）
2
＝
1+x
2
C
．﹣（
x
﹣
y
）＝﹣
x
﹣
y
B
．
a
2
⋅
a
4
＝
a
8
D
．
a
2
+2a
2
＝
3a
2
【分析】分别根据完全平方公式，同底数幂的乘法法则，去括号法则以及合并同类项法
则逐一判断即可．
解：
A
．（
1+x
）
2
＝
1+2x+x
2
，故本选项不合题意；
B
．
a
2
⋅
a
4
＝
a
6
，故本选项不合题意；
C
．﹣（
x
﹣
y
）＝﹣
x+y
，故本选项不合题意；
D
．
a
2
+2a
2
＝
3a
2
，故本选项符合题意；
故选：
D
．
5
．如图，⊙
O
是正五边形
ABCDE
的外接圆．若⊙
O
的半径为
5
，则半径
OA
，
OB
与
成的扇形的面积是（ ）
围
A
．
2
π
B
．
5
π
C
．
计算即可．
D
．
10
π
【分析】首先求出圆心角，根据扇形的面积＝
解：∵
ABCDE
是正五边形，
∴∠
AOB
＝
∴
S
扇形
OAB
＝
故选：
B
．
＝
72
°，
＝
5
π，
6
．在平面直角坐标系
xOy
中，点
A
，
B
是直线
y
＝
x
与双曲线的交点，点
B
在第一象
限，点
C
的坐标为（
6
，﹣
2
）．若直线
BC
交
x
轴于点
D
，则点
D
的横坐标为（ ）
A
．
2
B
．
3
C
．
4
的交点，
D
．
5
解：∵点
A
，
B
是直线
y
＝
x
与双曲线
∴联立方程得：，
解得：或，
∵点
B
在第一象限，
∴
B
（
2
，
2
），
∵点
C
的坐标为（
6
，﹣
2
），
设直线
BC
的解析式为：
y
＝
kx+b
，
把
B
（
2
，
2
），
C
（
6
，﹣
2
）代入得：
，
解得：，
∴直线
BC
的解析式为：
y
＝﹣
x+4
，
∵直线
BC
交
x
轴于点
D
，
∴令
y
＝
0
，即﹣
x+4
＝
0
，
解得：
x
＝
4
，
∴点
D
横坐标是
4
，
故选：
C
．
7
．多年来，北京市以强有力的措施和力度治理大气污染，空气质量持续改善，主要污染物
的年平均浓度值全面下降．如图是
1998
年至
2019
年二氧化硫（
SO
2
）和二氧化氮（
NO
2
）
的年平均浓度值变化趋势图（ ）
A
．
1998
年至
2019
年，
SO
2
的年平均浓度值的平均数小于
NO
2
的年平均浓度值的平均数
B
．
1998
年至
2019
年，
SO
2
的年平均浓度值的中位数小于
NO
2
的年平均浓度值的中位数
C
．
1998
年至
2019
年，
SO
2
的年平均浓度值的方差小于
NO
2
的年平均浓度值的方差
D
．
1998
年至
2019
年，
SO
2
的年平均浓度值比
NO
2
的年平均浓度值下降得更快
解：由图可得：
A
、
1998
年至
2019
年，
SO
2
的年平均浓度值的平均数值都在
SO
2
的
NO
2
的年平均浓度值
的平均数以下，由此可得
SO
2
的年平均浓度值的平均数小于
NO
2
的年平均浓度值的平均
数，此选项正确，不合题意；
B
、
1998
年至
2019
年，
SO
2
的年平均浓度值的平均数值都在
SO
2
的
NO
2
的年平均浓度值
的平均数以下，由此可得
SO
2
的年平均浓度值的中位数小于
NO
2
的年平均浓度值的中位
数，此选项正确，不合题意；
C
、根据图中两折线中点的离散程度可得
SO
2
的年平均浓度值的方差大于
NO
2
的年平均
浓度值的方差，此选项错误，符合题意；
D
、
1998
年至
2019
年，根据图中两折线的起止点可得
SO
2
的年平均浓度值比
NO
2
的年平
均浓度值下降得更快，此选项正确，不合题意．
故选：
C
．
8
．四位同学在研究函数
y
＝﹣
x
2
+bx+c
（
b
，
c
是常数）时，甲同学发现当
x
＝
1
时，函数有
最大值；乙同学发现函数
y
＝﹣
x
2
+bx+c
的图象与
y
轴的交点为（
0
，﹣
3
）；丙同学发现
函数的最大值为
4
；丁同学发现当
x
＝
3
时，函数的值为
0
．若这四位同学中只有一位同
学的结论是错误的，则该同学是（ ）
A
．甲
B
．乙
C
．丙
D
．丁
解：由甲的结论可知：
对称轴是直线
x
＝
1
时，即﹣
由乙的结论可知：
函数
y
＝﹣
x
2
+bx+c
的图象与
y
轴的交点为（
0
，﹣
3
）时，
c
＝﹣
3
；
若甲、乙正确，
则
y
＝﹣
x
2
+2x
﹣
3
，
当
x
＝
1
时，
y
有最大值＝﹣
1+2
﹣
3
＝﹣
2
，
当
x
＝
3
时，
y
＝﹣
9+6
﹣
3
＝﹣
6
，
所以甲、乙中有一个错误，
若丙正确，可知：
函数的最大值为
4
时，
若甲正确，则
b
＝
2
，
此时﹣
4c
﹣
b
2
＝﹣
16
，得
c
＝
3
，
则
y
＝﹣
x
2
+2x+3
，
当
x
＝
3
时，
y
＝﹣
9+6+3
＝
0
；
所以丁正确，
所以甲、丙、丁正确，乙错误．
故选：
B
．
二、填空题（本题共
16
分，每小题
2
分）
9
．若分式有意义，则
x
的取值范围是
x
≠
1
．
＝
4
，即﹣
4c
﹣
b
2
＝﹣
16
；
＝＝
1
时
b
＝
2
；
解：由题意得：
x
﹣
1
≠
0
，
解得：
x
≠
1
，
故答案为：
x
≠
1
．
10
．分解因式：
mx
2
﹣
9m
＝
m
（
x+3
）（
x
﹣
3
） ．
解：原式＝
m
（
x
2
﹣
9
）
＝
m
（
x+3
）（
x
﹣
3
）．
故答案为：
m
（
x+3
）（
x
﹣
3
）．
11
．用一个
k
的值推断命题“一次函数
y
＝
kx+1
（
k
≠
0
）中，
y
随着
x
的增大而增大”．是
错误的，这个值可以是
k
＝ ﹣
1
（答案不唯一） ．
解：当
k
＝﹣
1
时，一次函数为
y
＝﹣
x+1
，
y
随着
x
的增大而减小，
∴命题“一次函数
y
＝
kx+1
（
k
≠
0
）中，
y
随着
x
的增大而增大”．是错误的，
故答案为：﹣
1
（答案不唯一）．
12
．某校九年级（
1
）班计划开展“讲中国好故事”主题活动．第一小组的同学推荐了“北
大红楼、脱贫攻坚、全面小康、南湖红船、抗疫精神、致敬英雄”六个主题，并将这六
个主题分别写在六张完全相同的卡片上，然后将卡片放入不透明的口袋中．组长小东从
口袋中随机抽取一张卡片，抽到含“红”字的主题卡片的概率是 ．
解：含“红”字的主题卡片有“北大红楼”和“南湖红船”共
2
张，
所以抽到含“红”字的主题卡片的概率是
故答案为：．
13
．如图，点
A
，
D
，
B
，
E
在同一条直线上，
AD
＝
BE
，
AC
＝
EF
，要使△
ABC
≌△
EDF
，只
需添加一个条件，这个条件可以是
BC
＝
DF
（答案不唯一） ．
．
解：添加
BC
＝
DF
．
∵
AD
＝
BE
，
∴
AD+DB
＝
BE+BD
，
∴
AB
＝
ED
，
在△
ABC
和△
EDF
中，
，
∴△
ABC
≌△
EDF
（
SSS
），
故答案为：
BC
＝
DF
（答案不唯一）．
14
．在平面直角坐标系
xOy
中，已知点
A
（
2
，
0
），
B
（
5
，
4
）．若四边形
OABC
是平行四
边形，则
OABC
的周长等于
14
．
解：过点
B
作
BM
⊥
x
轴交于点
M
，如图，
∵点
A
，
B
的坐标为（
2
，
0
），（
5
，
4
）
∴
OA
＝
2
，
AM
＝
5
﹣
2
＝
3
，
BM
＝
4
，
∴
AB
＝＝
5
，
∵四边形
OABC
是平行四边形，
∴
OA
＝
BC
＝
2
，
CO
＝
AB
＝
5
，
∴
OABC
的周长等于
2
×
2+5
×
2
＝
14
，
故答案为：
14
．
15
．若点
P
在函数
1
，
1
）或（
1
，
1
） ．
解：∵点
P
在函数
∴点
P
的纵坐标
y
＝
1
．
∴点
P
的坐标为（﹣
1
，
1
）或（
1
，
1
）．
故答案为：（﹣
1
，
1
）或（
1
，
1
）．
的图象上，且到
x
轴的距离等于
1
，
的图象上，且到
x
轴的距离等于
1
，则点
P
的坐标是 （﹣
16
．数学课上，李老师提出如下问题：
已知：如图，
AB
是⊙
O
的直径，射线
AC
交⊙
O
于
C
．
求作：弧
BC
的中点
D
．
同学们分享了四种方案：
①如图
1
，连接
BC
，作
BC
的垂直平分线，交⊙
O
于点
D
．
②如图
2
，过点
O
作
AC
的平行线，交⊙
O
于点
D
．
③如图
3
，作∠
BAC
的平分线，交⊙
O
于点
D
．
④如图
4
，在射线
AC
上截取
AE
，使
AE
＝
AB
，连接
BE
，交⊙
O
于点
D
．
上述四种方案中，正确的方案的序号是 ①②③④ ．
【分析】①利用垂径定理可以证明＝．
②证明
BC
⊥
OD
，可得结论．
③利用圆周角定理可得结论．
④利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．
解：①由∵
OD
⊥
BC
，
∴＝．
②如图
2
中，连接
BC
，
∵
AB
是直径，
∴∠
ACB
＝
90
°，
∴
AC
⊥
BC
，
∵
OD
∥
AC
，
∴
OD
⊥
BC
，
∴＝．
③∵
AD
平分∠
BAC
，
∴∠
BAD
＝∠
DAC
，
∴∴＝．
④如图
4
中，连接
AD
．
∵
AB
是直径，
∴∠
ADB
＝
90
°，
∴
AD
⊥
BE
，
∵
AB
＝
AE
，
∴
AD
平分∠
BAC
，
∴＝．
故答案为：①②③④．
三、解答题（本题共
68
分，第
17-22
每小题
5
分，第
23-26
题，每小题
5
分，第
27-28
题，
每小题
5
分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17
．计算：．
【分析】根据零指数幂，二次根式的性质，负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即
可．
解：原式＝
1+3
＝
+2
．
+
﹣
18
．先化简代数式，再求当
a
满足
a
﹣
2
＝
0
时，此代数式的值．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将
a
的值代入计算即可．
解：原式＝
＝
＝
＝
﹣
﹣
，
﹣（
a
﹣
1
）
当
a
﹣
2
＝
0
，即
a
＝
2
时，
原式＝＝
4
．
19
．如图，在等腰△
ABC
中，
AB
＝
AC
，直线
l
过点
A
．点
B
与点
D
关于直线
l
对称，连接
AD
，
CD
．求证：∠
ACD
＝∠
ADC
．
BE
＝
DE
，【分析】设直线
l
交
BD
于点
E
，根据轴对称的性质得到∠
AEB
＝∠
AED
＝
90
°，
从而根据
SAS
可判定△
ABE
≌△
ADE
，由全等三角形的性质得到
AB
＝
AD
，从而得到
AD
＝
AC
，根据等腰对等角即可求解．
【解答】证明：设直线
l
交
BD
于点
E
，
∵点
B
与点
D
关于直线
l
对称，
∴∠
AEB
＝∠
AED
＝
90
°，
BE
＝
DE
，
在△
ABE
和△
ADE
中，
，
∴△
ABE
≌△
ADE
（
SAS
），
∴
AB
＝
AD
，
∵
AB
＝
AC
，
∴
AD
＝
AC
，
∴∠
ACD
＝∠
ADC
．
20
．已知：如图，点
C
在∠
MON
的边
OM
上．
求作：射线
CD
，使
CD
∥
ON
，且点
D
在∠
MON
的角平分线上．
作法：①以点
O
为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线
OM
，
ON
于点
A
，
B
；②分别
以点
A
，
B
为圆心，大于的长为半径画弧，交于点
Q
；③画射线
OQ
；④以点
C
为
圆心，
CO
长为半径画弧，交射线
OQ
于点
D
；⑤画射线
CD
．射线
CD
就是所求作的射
线．
（
1
）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（
2
）完成下面的证明：
∵
OD
平分∠
MON
，
∴∠
MOD
＝ ∠
NOD
．
∵
OC
＝
CD
，
∴∠
MOD
＝ ∠
CDO
．
∴∠
NOD
＝∠
CDO
．
∴
CD
∥
ON
（ 内错角相等两直线平行 ）（填推理的依据）．
【分析】（
1
）根据要求作出图形即可．
（
2
）根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义证明∠
CDO
＝∠
DON
即可．
解：（
1
）如图，射线
CD
即为所求作．
（
2
）∵
OD
平分∠
MON
，
∴∠
MOD
＝∠
NOD
．
∵
OC
＝
CD
，
∴∠
MOD
＝∠
CDO
，
∴∠
NOD
＝∠
CDO
．
∴
CD
∥
ON
（内错角相等两直线平行）．
故答案为：∠
NOD
，∠
CDO
，内错角相等两直线平行．
21
．已知关于
x
的一元二次方程
mx
2
﹣（
m+1
）
x+1
＝
0
（
m
≠
0
）．
（
1
）求证：此方程总有实数根；
（
2
）写出一个
m
的值，使得此该方程的一个实数根大于
1
，并求此时方程的根．
【分析】（
1
）根据方程的系数，结合根的判别式可得出△＝（
m
﹣
1
）
2
，利用偶次方的
非负性可得出（
m
﹣
1
）
2
≥
0
，即△≥
0
，再利用“当△≥
0
时，方程有实数根”即可证出
结论；
（
2
）利用因式分解法解一元二次方程可得出原方程的解且
x
1
＝，
x
2
＝
1
，结合该方程的
一个实数根大于
1
，可得出＞
1
，解之可得出
0
＜
m
＜
1
，任取其内的一值即可得出结论．
【解答】（
1
）证明：∵
a
＝
m
，
b
＝﹣（
m+1
），
c
＝
1
，
∴△＝
b
2
﹣
4ac
＝
[
﹣（
m+1
）
]
2
﹣
4
×
m
×
1
＝
m
2
+2m+1
﹣
4m
＝
m
2
﹣
2m+1
＝（
m
﹣
1
）
2
．
∵（
m
﹣
1
）
2
≥
0
，
∴△≥
0
，
∴此方程总有实数根；
（
2
）解：∵
mx
2
﹣（
m+1
）
x+1
＝
0
，
∴（
mx
﹣
1
）（
x
﹣
1
）＝
0
，
∴
x
1
＝，
x
2
＝
1
．
又∵该方程的一个实数根大于
1
，
∴＞
1
，
∴
0
＜
m
＜
1
，
∴当
m
＝时，该方程的一个实数根大于
1
，此时方程的解为
x
1
＝＝
2
，
x
2
＝
1
．
22
．如图，在菱形
ABCD
中，点
E
是
CD
的中点，连接
AE
，交
BD
于点
F
．
（
1
）求
BF
：
DF
的值；
（
2
）若
AB
＝
2
，
AE
＝，求
BD
的长．
【分析】（
1
）根据菱形性质，可得△
ABF
∽△
EDF
，利用对应边成比例即可求解．
（
2
）连接
AC
，利用已知，可得△
ADE
是直角三角形，即可求出∠
ADC
＝
60
°，利用面
积法即可求出
BD
的长度．
解：（
1
）在菱形
ABCD
中，
AB
∥
CD
．
∴∠
BAF
＝∠
DEF
，∠
ABF
＝∠
EDF
．
∴△
ABF
∽△
EDF
，
∴．
∵点
E
是
CD
的中点．
∴．
∴
BF
：
DF
＝
1
：
2
．
（
2
）连接
AC
．
∵
AB
＝
2
，
∴
AD
＝
2
．
∵
AE
＝，
．
∴
AE
2
+DE
2
＝
AD
2
．
∴△
ADE
是直角三角形，
∴
AE
⊥
DC
，∠
ADC
＝
60
°．
∴△
ADC
是等边三角形．
∴
AC
＝
2
．
利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，也可底乘高，可得：
∴
BD
＝．
的两个交点分别为
A
（﹣
3
，
．
23
．在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
与双曲线
﹣
1
），
B
（
1
，
m
）．
（
1
）求
k
和
m
的值；
（
2
）点
P
为直线
l
上的动点，过点
P
作平行于
x
轴的直线，交双曲线
Q
．当点
Q
位于点
P
的右侧时，求点
P
的纵坐标
n
的取值范围．
【分析】（
1
）利用待定系数法可求
k
，然后把
B
（
1
，
m
）代入即可求得
m
；
于点
（
2
）由图象可知，
P
点在
x
轴的上方、
B
点的下方或
P
点在
A
点的下方符合题意．
解：（
1
）∵双曲线
∴
k
＝﹣
3
×（﹣
1
）＝
3
，
∴反比例函数解析式为
y
＝，
∵
B
（
1
，
m
）在反比例函数
y
＝的图象上，
∴
m
＝＝
3
；
（
2
）∵直线
l
与双曲线
点
Q
位于点
P
的右侧，
∴
0
＜
n
＜
3
或
n
＜﹣
1
．
的两个交点分别为
A
（﹣
3
，﹣
1
），
B
（
1
，
3
），且
过点
A
（﹣
3
，﹣
1
），
24
．如图，⊙
O
是△
ABC
的外接圆，圆心
O
在
AC
上．过点
B
作直线交
AC
的延长线于点
D
，
使得∠
CBD
＝∠
CAB
．过点
A
作
AE
⊥
BD
于点
E
，交⊙
O
于点
F
．
（
1
）求证：
BD
是⊙
O
的切线；
（
2
）若
AF
＝
4
，，求
BE
的长．
【解答】证明：（
1
）连接
OB
，
∵圆心
O
在
AC
上．
∴
AC
是直径，
∴∠
ABC
＝
90
°，
∵
OA
＝
OB
，
∴∠
CAB
＝∠
OBA
，
∵∠
CBD
＝∠
CAB
，
∴∠
CBD
＝∠
OBA
，
∴∠
OBC+
∠
CBD
＝∠
OBC+
∠
OBA
＝
90
°，
∴
OB
⊥
BD
，
∵
OB
为半径，
∴
BD
是⊙
O
的切线；
（
2
）连接
CF
，
∵
AC
是直径，
∴∠
AFC
＝
90
°，
∵
AE
⊥
BD
，
∴∠
AED
＝
90
°，
∴∠
AFC
＝∠
AED
，
∴
CF
∥
DE
，
∴∠
D
＝∠
ACF
，
在
Rt
△
ACF
中，∵
AF
＝
4
，
∴
sin
∠
ACF
＝
∴
AC
＝
6
，
由勾股定理可得：
CF
＝，
，
∵∠
AEB
＝∠
EFC
＝∠
OBE
＝
90
°，
∴四边形
EFHB
是矩形，
∴
BE
＝
FH
，
∵
OH
∥
AF
，
OA
＝
OC
，
∴
H
为
CF
的中点，
∴
FH
＝
BE
＝．
25
．中国新闻出版研究院组织实施的全国国民阅读调查已持续开展了
18
次，对我国国民阅
读总体情况进行了综合分析．
2021
年
4
月
23
日，第十八次全国国民阅读调查结果发布．
下面是关于样本及国民图书阅读量的部分统计信息：
a
．本次调查有效样本容量为
46083
，成年人和未成年人样本容量的占比情况如图
1
．
b
．
2020
年，成年人的人均纸质图书阅读量约为
4.70
本，人均电子书阅读量约为
3.29
本；
2019
年，成年人的人均纸质图书阅读量约为
4.65
本，人均电子书阅读量约为
2.84
本．
c.2012
年至
2020
年，未成年人的年人均图书阅读量如图
2
．
根据以上信息，回答问题：
（
1
）第十八次全国国民阅读调查中，未成年人样本容量占有效样本容量的
25.2%
；
（
2
）
2020
年，成年人的人均图书阅读量约为
7.99
本，比
2019
年多
0.5
本；
（
3
）在
2012
年至
2020
年中后一年与前一年相比，
2012
年至
2013
年未成年人的年
人均图书阅读量的增长率最大；
（
4
）
2020
年，未成年人的人均图书阅读量比成年人的人均图书阅读量高
34
%
（结果
保留整数）．
【解答】（
1
）
1
﹣
74.8%
＝
25.2%
，
故答案为：
25.2%
；
（
2
）
2020
年，成年人的人均图书阅读量：
4.70+3.29
＝
7.99
（本），
2019
年，成年人的人均图书阅读量：
4.65+2.84
＝
7.49
（本），
7.99
﹣
7.49
＝
0.5
（本），
故答案为：
7.99
，
0.5
；
（
3
）
2012
年至
2013
年的增长率为：（
6.97
﹣
5.49
）÷
5.49
≈
27%
，
2013
年至
2014
年的增长率为：（
8.45
﹣
6.97
）÷
6.97
≈
21%
，
2014
年至
2015
年的增长率为：（
7.19
﹣
8.45
）÷
8.45
≈﹣
18%
，
2015
年至
2016
年的增长率为：（
8.34
﹣
7.19
）÷
7.19
≈
16%
，
2016
年至
2017
年的增长率为：（
8.81
﹣
8.34
）÷
8.34
≈
6%
，
2017
年至
2018
年的增长率为：（
8.91
﹣
8.81
）÷
8.81
≈
1%
，
2018
年至
2019
年的增长率为：（
10.36
﹣
8.91
）÷
8.91
≈
16%
，
2019
年至
2020
年的增长率为：（
10.71
﹣
10.36
）÷
10.36
≈
3%
，
∴
2012
年至
2013
年的增长率最大，
故答案为：
2012
年至
2013
；
（
4
）（
10.71
﹣
7.99
）÷
7.99
≈
34%
，
故答案为：
34
．
26
．在平面直角坐标系
xOy
中，抛物线
y
＝
ax
2
﹣
3ax+1
与
y
轴交于点
A
．
（
1
）求抛物线的对称轴；
（
2
）点
B
是点
A
关于对称轴的对称点，求点
B
的坐标；
（
3
）已知点
P
（
0
，
2
），
Q
（
a+1
，
1
）．若线段
PQ
与抛物线与恰有一个公共点，结合
函数图象，求
a
的取值范围．
解：（
1
）∵
y
＝
ax
2
﹣
3ax+1
＝
a
（
x
2
﹣
3x
）
+1
＝
a
∴抛物线
y
＝
ax
2
﹣
3ax+1
的对称轴为直线
x
＝．
（
2
）令
x
＝
0
，则
y
＝
1
．
∴
A
（
0
，
1
）．
∵点
B
是点
A
关于对称轴的对称点，
∴
A
与
B
的纵坐标相同．
∵对称轴为直线
x
＝，
∴点
A
与
B
到直线
x
＝的距离均为，
∴点
B
的横坐标为
∴
B
（
3
，
1
）．
（
3
）由题意：
a
≠
0
．
①当
a
＞
0
时，如图，
．
+
，
∵
Q
（
a+1
，
1
），
A
（
0
，
1
），
B
（
3
，
1
），
∴点
Q
，
A
，
B
在直线
y
＝
1
上．
∵
P
（
0
，
2
），
∴从图上可以看到：当点
Q
在点
A
的左侧（包括点
A
）或在点
B
的右侧（包括点
B
）时，
线段
PQ
与抛物线只有一个公共点．
∵
A
（
0
，
1
），
B
（
3
，
1
），
∴
a+1
≤
0
（不合题意，舍去）或
a+1
≥
3
．
∴
a
≥
2
．
②当
a
＜
0
时，如图，
由①知：点
Q
，
A
，
B
在直线
y
＝
1
上．
∵
P
（
0
，
2
），
∴从图上可以看到：当
Q
在点
A
与点
B
之间（包括点
A
，不包括点
B
）时，线段
PQ
与
抛物线只有一个公共点．
∵
A
（
0
，
1
），
B
（
3
，
1
），
∴
0
≤
a+1
＜
3
．
∴﹣
1
≤
a
＜
2
．
又∵
a
＜
0
，
∴﹣
1
≤
a
＜
0
．
综上，若线段
PQ
与抛物线与恰有一个公共点，
a
的取值范围为：﹣
1
≤
a
＜
0
或
a
≥
2
．
27
．已知△
ADE
和△
ABC
都是等腰直角三角形，∠
ADE
＝∠
BAC
＝
90
°，
P
为
AE
的中点，
连接
DP
．
（
1
）如图
1
，点
A
，
B
，
D
在同一条直线上，直接写出
DP
与
AE
的位置关系；
（
2
）将图
1
中的△
ADE
绕点
A
逆时针旋转，当
AD
落在图
2
所示的位置时，点
C
，
D
，
P
恰好在同一条直线上．
①在图
2
中，按要求补全图形，并证明∠
BAE
＝∠
ACP
；
②连接
BD
，交
AE
于点
F
．判断线段
BF
与
DF
的数量关系，并证明．
解：（
1
）∵△
ADE
是等腰直角三角形，∠
ADE
＝
90
°，
∴
AD
＝
ED
，
∵
P
为
AE
的中点，
∴
DP
⊥
AE
；
（
2
）①补全图形如图
2
所示；
证明：∵△
ADE
和△
ABC
都是等腰直角三角形，∠
ADE
＝∠
BAC
＝
90
°，
∴∠
DAE
＝
45
°，
AD
＝
ED
，
∵
P
为
AE
的中点，
∴∠
ADP
＝∠
EDP
＝
45
°，
∴∠
BAE+
∠
CAD
＝∠
BAC
﹣∠
DAE
＝
45
°，
∵∠
CAD+
∠
ACP
＝∠
ADP
＝
45
°，
∴∠
BAE
＝∠
ACP
；
②
BF
＝
DF
．
证明：如图
3
，延长
CP
至
G
，使
PG
＝
DP
连接
AG
，
BG
，
∵△
ADE
是等腰直角三角形，∠
ADE
＝
90
°，
∴
AD
＝
DE
，∠
DAE
＝
45
°，
∵
P
为
AE
的中点，
∴∠
APD
＝∠
APG
＝
90
°，
AP
＝
DP
＝
PG
，∠
ADP
＝
45
°，
∴△
APG
≌△
APD
（
SAS
），
∴
AG
＝
AD
，∠
PAG
＝∠
DAE
＝∠
AGP
＝
45
°，
∴∠
GAD
＝∠
BAC
＝
90
°，
∴∠
BAG+
∠
BAD
＝∠
CAD+
∠
BAD
＝
90
°，
∴∠
BAG
＝∠
CAD
，
∵
AG
＝
AD
，
AB
＝
AC
，
∴△
BAG
≌△
CAD
（
SAS
），
∴∠
AGB
＝∠
ADC
＝
180
°﹣∠
ADP
＝
135
°，
∴∠
BGC
＝∠
AGB
﹣∠
AGP
＝
90
°，
∴∠
BGC
＝∠
APG
，
∴
PF
∥
BG
，
∴＝＝
1
，
∴
BF
＝
DF
．
28
．对于平面直角坐标系
xOy
中的图形
W
，给出如下定义：点
P
是图形
W
上任意一点，若
存在点
Q
，使得∠
OQP
是直角，则称点
Q
是图形
W
的“直角点”．
（
1
）已知点
A
（
6
，
8
），在点
Q
1
（
0
，
8
），
Q
2
（﹣
4
，
2
），
Q
3
（
8
，
4
）中，
Q
1
和
Q
3
是点
A
的“直角点”；
（
2
）已知点
B
（﹣
3
，
4
），
C
（
4
，
4
），若点
Q
是线段
BC
的“直角点”，求点
Q
的横
坐标
n
的取值范围；
（
3
）在（
2
）的条件下，已知点
D
（
t
，
0
），
E
（
t+1
，
0
），以线段
DE
为边在
x
轴上方
作正方形
DEFG
．若正方形
DEFG
上的所有点均为线段
BC
的“直角点”，直接写出
t
的取值范围．
【分析】（
1
）根据勾股定理和勾股定理的逆定理证明
OQ
1
2
+AQ
1
2
＝
OA
2
，
OQ
3
2
+AQ
3
2
＝
OA
2
，可得∠
OQ
1
A
＝
90
°，∠
OQ
3
A
＝
90
°，再根据“直角点”的定义可得结论；
（
2
）连接
OB
，
OC
，取
BO
的中点
M
，
OC
的中点
N
，分别以
M
，
N
为圆心，
OB
，
OC
为直径作圆，由图可知，
Q
1
，
Q
2
为两个临界点，即可求得答案；
（
3
）如图
2
，⊙
M
、⊙
N
分别与
x
轴交于
B
′（﹣
3
，
0
），
C
′（
4
，
0
），可得出﹣
3
≤
t
≤
3
，再结合（
2
）的结论即可求得答案．
解：（
1
）∵点
Q
1
（
0
，
8
），
Q
2
（﹣
4
，
2
），
Q
3
（
8
，
4
），点
A
（
6
，
8
），
∴
OQ
1
＝
OQ
2
＝
OQ
3
＝
OA
＝
AQ
1
＝
AQ
2
＝
AQ
3
＝
＝
＝
10
，
＝
6
，
＝
＝＝
＝
，
，
＝
8
，
＝，
＝，
∴
OQ
1
2
+AQ
1
2
＝
OA
2
，
OQ
3
2
+AQ
3
2
＝
OA
2
，
OQ
2
2
+AQ
2
2
≠
OA
2
，
∴∠
OQ
1
A
＝
90
°，∠
OQ
3
A
＝
90
°，
∴
Q
1
和
Q
3
是点
A
的直角点；
故答案为：
Q
1
和
Q
3
；
（
2
）如图所示，连接
OB
，
OC
，取
BO
的中点
M
，
OC
的中点
N
，
分别以
M
，
N
为圆心，
OB
，
OC
为直径作圆，
由图可知，
Q
1
，
Q
2
为两个临界点，
则＝
x
M
﹣
Q
2
M
＝﹣﹣＝﹣
4
，
＝
2+2
，
；
同理，
∴﹣
4
≤
n
≤
2+2
（
3
）如图
2
，⊙
M
、⊙
N
分别与
x
轴交于
B
′（﹣
3
，
0
），
C
′（
4
，
0
），
∴，
解得：﹣
3
≤
t
≤
3
，
∵
D
（
t
，
0
），
E
（
t+1
，
0
），
∴
DE
＝
1
，
由（
2
）可知，
Q
为
BC
的“直角点”，
Q
的横坐标
n
的取值范围为﹣
4
≤
n
≤
2+2
，
∴，
解得：﹣
3
≤
t
≤
3
，
综上所述，﹣
3
≤
t
≤
3
．
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