概率论笔记(四)概率分布的下期望和方差的公式总结

2024年4月17日发(作者：高考数学试卷2023甲)

概率论笔记（四）概率分布的下

期望和方差的公式总结

一：期望

引入：

1.1离散型随机变量的期望

注：其实是在等概率的基础上引申来的，等概率下的权重都是

1/N。

1.2连续型随机变量的期望

注意:因为连续随机变量的一个点的概率是没有意义的，所以

我们需要借用密度函数，如所示，这实际上是一个期望积累的

过程。

1.3期望的性质

注：其中第三个性质，可以把所有的X+Y的各种情况展开，最

后得出的结果就是这样的。

二：随机变量函数（复合随机）的数学期望

1.理解

注：其实就是复合随机变量的期望，对于离散型 ，其主要是

每个值增加了多少倍/减少了多少倍，但是概率不变，所以公

式见上面；对于 连续性随机变量，其实是一样的，每个点的

概率没有变，所以就是变量本身的值发货所能了改变。

三：方差

引入的意义：求每次相对于均值的波动：求波动的平方和：

定义：注：其实就是对X-E(X)方 ，求均值其实就是方差，注

意这里的均值也是加权平均，所以方差其实就是一种特殊的期

望。

3.1离散型随机变量的方差

3.2连续性随机变量的方差

3.3方差的性质

注：3）4）5）等性质可以套入定义中就可以得到，这里不多

说；对于独立以及协方差见后；8）的证明如下

四：协方差

4.1定义

注:与上一个变量相比，之前是一个变量移位平方，但这里是

两个变量移位相乘。

4.2离散型二维随机变量的协方差

4.3连续型二维随机变量的协方差

4.4二维随机变量的协方差性质

注：了解即可…

4.5协方差矩阵

五：相关系数

所以： 独立必不相关，但不相关不一定独立，因为这里的不

相关指的是线性不相关，可能会有其他非线性关系，具体例子

找到再补充-------。

参考链接：