2024年3月23日发(作者：聊城七年级数学试卷分析)
2019 年高考理科数学全国卷一概率压轴题解析
【题目叙述】
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.
试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，
另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一
种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约
定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得
´
1
分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未沿愈则乙药得1分，甲药得
´
1分；若都治愈或
都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为
α
和
β
，一轮试验中甲药的得分记
为X.
（1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p
i
p
i
“
0,1,
¨¨¨
,8
q
表示“甲药的累计得分为i时，
最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p
0
“
0，p
8
“
1，p
i
“
ap
i´1
`
bp
i
`
cp
i`1
p
i
“
1,2,
¨¨¨
,7
q
，
其中a
“
P
p
X
“´
1
q
，b
“
P
p
X
“
0
q
，c
“
P
p
X
“
1
q
.假设
α
“
0.5，
β
“
0.8.
（i）证明：
t
p
i`1
´
p
i
up
i
“
0,1,2,
¨¨¨
,7
q
为等比数列；
（ii）求p
4
，并根据p
4
的值解释这种试验方案的合理性.
【题目分析】
本题以概率在实践中的应用作为命题背景，重点考察学生对题目的阅读理解能力。命题人在命
题过程中颇费心机：（1）在题目设计上，选取了概率论中一个非常经典的问题——“质点在直线上
的随机游动（两端带吸收壁）”，这一问题在许多高等数学概率论的教材中都会涉及到，本身就自带
一定的难度，尤其是在题目理解方面，更何况本题还是把这一理论问题实际化；“质点在直线上的随
机游动（两端带吸收壁）”这一问题在本题后面也会详细介绍，以飨读者。（2）在难度控制上，命题
人又通过各种手段极力控制其难度，把概率这一平常都是送分题的题目放到压轴题的位置上，对考
生的心理压力本身就提出了很大的挑战，为了兼顾大多数的考生，命题人实际已经对题目做出了很
大的简化。（3）在区分度的设计上，作为压轴题，必须具有一定的区分度，而在本题中，命题人更
多的把区分度放在对题目的理解这一环节上，在计算上并没有什么难度。换言之，谁能真正读懂题
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目，谁就能得到高分，这也非常符合大纲中“重理解减计算”的要求。
第一问，考察离散型随机变量的分布列。根据试验要求，在每轮试验，甲治愈而乙未治愈甲得
1分，乙治愈而甲未治愈甲得
´
1分，甲乙均治愈或者甲乙均未治愈甲得0分。可以很容易看出，一
轮试验中甲药的得分X的取值可能为1，0，
´
1，根据甲乙两药治愈与否相互独立，可很容易计算
P
p
X
q
。相对较为容易。
第二问，难点同样在于理解题目。甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p
i
p
i
“
0,1,
¨¨¨
,8
q
表示
“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，可以很明显发现，在试验过程中，不管
进行几轮试验，甲乙两药的总分之和永远是8，而要想要得出“甲药比乙药更有效”这个结论当且仅
当“甲的得分比乙多8分”时成立，类似的，要想要得出“乙药比甲药更有效”这个结论当且仅当“乙
的得分比甲多8分”时成立；因此，甲得分为0时，乙得分必为8，此时肯定能得出“甲药比乙药更有
效”（为了叙述方便，后面把“甲药比乙药更有效”简写为甲胜），即p
0
“
0，同样地，p
8
“
1。为了减小
理解难度，题目中竟然把这两个结论当作条件白送给考生了；进一步地，当甲得分为i
p
i
“
1,2,
¨¨¨
,7
q
分时，乙的得分为
p
8
´
i
qp
i
“
1,2,
¨¨¨
,7
q
分，而此时甲
´
乙的分差为
p
2i
´
8
qp
i
“
1,2,
¨¨¨
,7
q
，分差不
是8或者
´
8，也就是说在甲得分为i
p
i
“
1,2,
¨¨¨
,7
q
分时，根据题目设定，甲乙胜负未定，但是二者
最终肯定要决出胜负，必然也就相应地存在胜负的概率，这也就产生了第二问题目中一个关键的命
题“p
i
p
i
“
0,1,
¨¨¨
,8
q
表示甲药的累计得分为i时，最终认为甲胜的概率”，关键词在“最终”，也就是
让你根据甲目前的得分i，“预判”其最终获胜的概率p
i
。为了求解p
i
，我们考虑这样的场景，在甲得
分为i时的下一轮试验中其得分i的变化情况，有P
p
X
“
1
q
的概率变为i
`
1,有P
p
X
“
0
q
的概率依旧
为i,有P
p
X
“´
1
q
的概率依变为i
´
1,故p
i
“
ap
i´1
`
bp
i
`
cp
i`1
p
i
“
1,2,
¨¨¨
,7
q
，其中a
“
P
p
X
“´
1
q
，
b
“
P
p
X
“
0
q
，c
“
P
p
X
“
1
q
，这一关键的递推关系同样白送了，再次减小了题目的难度。根据这一
递推关系，很容易求解p
i
，并且求解这种递推公式也是高中很常见的模型，读者可以在我百度文库
的个人主页找到相关内容“高中求数列通项公式常用方法总结”。
整体而言，本题非常注重理解能力，只有真正理解了题目，才能解答好本题。
【题目解答】
(1)X的所有可能取值为
´
1，0，1.
P
p
X
“´
1
q“p
1
´
α
q
β
，
P
p
X
“
0
q“
αβ
`p
1
´
α
qp
1
´
β
q
，
P
p
X
“
1
q“
α
p
1
´
β
q
.
所以X的分布列为
X
P
´
1
p
1
´
α
q
β
01
αβ
`p
1
´
α
qp
1
´
β
q
α
p
1
´
β
q
(2)由（1）得a
“
0.4，b
“
0.5，c
“
0.1.
因此p
i
“
0.4p
i´1
`
0.5p
i
`
0.1p
i`1
，故0.1
p
p
i`1
´
p
i
q
“
0.4
p
p
i
´
p
i´1
q
，即
p
i`1
´
p
i
“
4
p
p
i
´
p
i´1
q
又因为p
1
´
p
0
“
p
1
‰
0，所以
t
p
i`1
´
p
i
up
i
“
0,1,2,
¨¨¨
,7
q
为公比为4，首项为p
1
的等比数列.
由可得
p
8
“
p
8
´
p
7
`
p
7
´
p
6
`¨¨¨`
p
1
´
p
0
`
p
0
“
p
p
8
´
p
7
q
`
p
p
7
´
p
6
q
`¨¨¨`
p
p
1
´
p
0
q
4
8
´
1
“
p
1
3
由于p
8
“
1，故p
1
“
3
，所以
4
8
´
1
p
4
“
p
p
4
´
p
3
q
`
p
p
3
´
p
2
q
`
p
p
2
´
p
1
q
`
p
p
1
´
p
0
q
4
4
´
1
“
p
1
3
1
“
257
p
4
表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为
0.8时，认为甲药更有效的概率为p
4
“
种试验方案合理.
【题目命题背景】
在x轴上有一质点，它只停留在在整数点上，初始时刻它位于点x
“
a，之后每经过一个单位时
间，它会受到外力的作用，分别以p，q（其中p，q满足p
`
q
“
1且0
ă
p,q
ă
1）的概率为向右或者
向左方向移动一个单位。同时在x
“
0以及x
“
a
`
b（a，b均为正整数）处各有一个吸收壁，当质点
到达吸收壁时，质点被吸收，不再游动。以q
n
p
n
“
0,1,
¨¨¨
,a
`
b
q
表示该质点在x
“
n处被x
“
a
`
b
处的吸收壁吸收的概率。求q
n
p
n
“
0,1,
¨¨¨
,a
`
b
q
。
易知q
0
“
0，q
a`b
“
1；
1
«
0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这
257
当n
“
1,
¨¨¨
,a
`
b
´
1时
q
n
“
pq
n`1
`
n´1
,n
“
1,2,
¨¨¨
,a
`
b
´
1
即
p
q
n`1
´
q
n
q
“
当此随机运动为对称时，即p
“
q，则
q
p
q
n
´
q
n´1
q
,
p
n
“
1,2,
¨¨¨
,a
`
b
´
1
q
n`1
´
q
n
“
q
n
´
q
n´1
“¨¨¨“
q
1
´
q
0
“
q
1
即
q
n
“
nq
1
同时q
a`b
“
1，则
q
n
“
当此随机运动为非对称时，即p
‰
q时
n
a
`
b
ˆ˙
n
q
˙ˆ
1
´
k
n´1n´1
ÿÿ
q
p
q
n
´
q
0
“
q
1
“
p
q
k`1
´
q
k
q
“
q
q
1
p
1
´
k“0k“0
p
而q
0
“
0,q
a`b
“
1，因此
1
´p
q
{
p
q
n
q
n
“
1
´p
q
{
p
q
a`b
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