远小于符号怎么打

2024年4月12日发(作者：六年级升初一数学试卷)

远小于符号怎么打

其实这个记号问题也困扰过我一段时间。在数学中， ll 属于标准

的 Vinogradov 记号，被广泛使用。我下面仔细解释一下。

我们上学时学的大小O的符号，是 Landau 记号，现在也被广泛使用。

比如说我们有两个非负函数 f(x) 与 g(x) ，我们说 f(x)=O(g(x)) 一般

是指存在一个绝对常数 C 使得当 x 充分大时我们总有 f(x)leq Cg(x) 。

当然大O符号有一个小问题：就是当 g(x) 非常复杂时，比如在

paper里 g(x) 写下来要好几行，那么我们再在这好几行的表达式外套一

个 O(quad) ，文章显得有些难读。于是这时 Vinogradov 记号就派上用

场了：一般的 f(x)ll g(x) 即代表 f(x)=O(g(x)) 。

比如我们可以写 1000 ll 1 ，或者 x^2+100 ll 1.01x^2 。

注意到 ll 符号忽略了左右两边相差的常数倍数。在数学中，一般

如果两个量相差常数倍，我们会认为他们差不多大。例句：他的银行卡里

有一个亿，我的卡里有十块，我们两个差不多一样有钱：他银行卡里的钱

ll 我银行卡里的钱。

ll 记号读作 less than less than， 中文大概对应“小于小于”。

注意到如果 a 小于 b ，那么 a 真的小于 b 。如果 a 小于小于 b ，那

么其实 a 是有可能大于 b 的，只是不可能大的太多。

Vinogradov 记号（除了 ll 一般还有 asymp 和 sim ）广泛用于

数论及其相关领域。我最近注意到在调和分析领域，大家普遍使用另一套

记号，听说是来自 Tao：调和分析中一般不用 ll ，而是用 lesssim

表达同样的意思：即 f(x)lesssim g(x) 代表 f(x)=O(g(x)) ，两个函

数相差至多常数倍。调和分析中还会见到 lessapprox 记号。 f(x)

lessapprox g(x) 代表 f 最多比 g 大一个 poly log factor，即比任

何power都小的倍数。