数学期望与方差的运算性质

2024年3月10日发(作者：长治高三数学试卷及答案)

数学期望与方差的运算性质

教程

一：复习公式

P



(X,Y)(a

i

,b

j

)



p

ij

Eh(X,Y)



h(a

i

,b

j

)p

ij

i,j

离散随机变量

连续随机变量





,





~f



x,y



Eg(



,



)



g(x,y)f



x,y



dxdy

R

2

二：期望运算性质

E(aXbYc)aEXbEYc

应用例题、袋中装有m个不同色小球，有返回取球n次，出现X种不同颜色，求

EX

１第ｉ颜色球在n次取球中出现



X

i





０第ｉ颜色球在n次取球中没出现



解答：用，则

XX

1

X

m

nn



1



1



P



X

i

0







1



,P



X

i

1



1



1



,



m



m



由于

EX

i

1



11/m



n

，

n





1





EXE



X

1





X

m







EX

i

m



1



1





i1





m









m

cov(X,Y)E







X





Y









称为随机变量

X

、

Y

的协方三、协方差：若

EX



,EY



，

差.covariance

cov(X,Y)E







X





Y









E



XY



X



Y





E



XY



E







X



E







Y



E







E



XY







E



X







E



Y







E



XY















E



XY







E



XY



EXEY

例题：害虫一生产卵个数X服从参数为



的Ｐｏｉｓｓｏｎ分布，若每个卵能孵化成

下一代的概率都是p，假定害虫后代个数为Y，求

cov(X,Y)

e







i

jj

P(Xi,Yj)P(Xi)P(YjXi)C

i

p(1p)

ij

i!

解答：

ij

e







i

i!e







i

jij

p(1p)p

j

(1p)

ij

i!j!(ij)!j!(ij)!

e







i

EXY



ijP(Xi,Yj)



ijp

j

(1p)

ij

j!(ij)!

i0jii0j0

i