期望方差公式

2024年3月10日发(作者：深圳九年级中考数学试卷)

期望-方差公式

期望与方差的相关公式

-、数学期望的来由

早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题

目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先

胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，

甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100

法郎才比较公平？

用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分

析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为

100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。

这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。

i

=1，

i

=1，定义1 若离散型随机变量



可能取值为

a

（2，3 ，…），其分布列为

p

（

i

i

2，3， …），则当



a

i

p

i

<



时，则称



存在数学期望，并且数学期望为E



=



a

i

p

i

，

i1

i1



如果



a

i

p

i

=



，则数学期望不存在。



1



i1



定义2 期望：若离散型随机变量

ξ

，当

ξ

=x

i

的概率为P（

ξ

=x

i

）=P（2，…，

i

i=1，

n，…），则称E

ξ

=∑x

i

p

i

为

ξ

的数学期望，反映了

ξ

的平均值.

期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E

ξ

由

ξ

的分布列唯一确定.

二、数学期望的性质

（1）设

C

是常数，则E(

C

)=

C

。

（2）若

k

是常数，则

E

(

kX

)=

kE

(

X

)。

（3）

E(X

1

X

2

)  E(X

1

)E(X

2

)

。

三、 方差的定义

前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，

是随机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的

2

平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是

方差的概念。

2

定义3方差：称D

ξ

=∑（x

i

－E

ξ

）p

i

为随机变量

ξ

的均方差，简称方差.

D



叫标准差，反映了

ξ

的离散程度.

定义4设随机变量X的数学期望

E(X)

存在，若

E[(XE(X))

2

]

存在，则称

E[(XE(X))

2

]

为随机变量X的方差，记作

D(X)

，即

D(X)E[(XE(X))

2

]

。

方差的算术平方根

D(X)

称为随机变量X的标准差，记作



(X)

，即



(X)D(X)

由于



(X)

与X具有相同的度量单位，故在实际问题中经常使用。

D

ξ

表示

ξ

对E

ξ

的平均偏离程度，D

ξ

越大表示平均偏离程度越大，说明

ξ

的取值越分散.

方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度，若X的取值相对于

其数学期望比较集中，则其方差较小；若X的取值相对于其数学期望比较分散，

则方差较大。若方差

D(X)

=0，则随机变量X 以概率1取常数值。

由定义4知，方差是随机变量X的函数

g(X)[XE(X)]

2

的数学期望，故





2





[x

k

E(X)]p

k

, 当X离散时

D(X)



k1





[x

k

E(X)]

2

f(x)dx, 当X连续时







当X离散时,

X的概率函数为

P(x

k

)P(Xx

K

)P

K

, k1, 2, 

；

当X连续时，X的密度函数为

f(x)

。

求证方差的一个简单公式：

公式1：

D(X)E(X

2

)[E(X)]

2

证明一：

D(X)E[(XE(X))

2

]

E[X

2

2XE(X)[E(x)]

2

]

E(X

2

)[E(X)]

2

3

证明二：

D







(x

i

E



)

2

p

i

i1

n





[x

i

2

2x

i

E



(E



)

2

]p

i

i1

n

n





x

i

p

i

2E







x

i

p

i

(E



)



p

i

22

i1i1i1

nn

E



2

2(E



)

2

(E



)

2

E



2

(E



)

2

D



E



2

(E



)

2

可以用此公式计算常见分布的方差

四、方差的性质

（1）设

C

是常数,则

D

(

C

)=0。

（2）若

C

是常数,则

D(CX)C

2

D(X)

。

（3）若

X

与

Y

独立，则

公式2：

D(XY)D(X)D(Y)

。

证 由数学期望的性质及求方差的公式得

D(XY)E[(XY)

2

][E(XY)]

2

E[X

2

Y

2

2XY][E(x)E(Y)]

2

E(X

2

)E(Y

2

)2E(X)E(Y)[E(X)]

2

[E(Y)]2E(X)E(Y)

E(X

2

)[E(X)]

2

D(X)D(Y)

2









E(Y

2

)[E(Y)]

2



可推广为：若

X

1

,

X

2

，

…

，

X

n

相互独立，则

D[



X

i

]



D(X

i

)

i1i1

nn

D[



C

i

X

i

]



C

i

2

D(X

i

)

i1i1

nn

（4）

D

(

X

)=0



P

(

X

=

C

)=1， 这里

C

=

E

(

X

)。

五、常见的期望和方差公式的推导过程

（一）离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质列举及证明

4

1．由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：

（1）p

i

≥0，i＝1，2，…；

（2）p

1

＋p

2

＋…＝1。

2．离散型随机变量期望和方差的性质：

E (a



＋b)＝aE



＋b，D (a



＋b)＝a

2

D



。

（

1

）

公式3：E（a

ξ

+b）=aE

ξ

+b，

证明：令



a



b

a,b

为常数



也为随机变量

P(ax

i

b)P(



x

i

)

i1,

所以



的分布列为



p

ax

1

b

ax

2

b

…

…

ax

n

b

…

…

p

1

p

2

p

n

E



(ax

1

b)p

1

(ax

2

b)p

2

...(ax

n

b)p

n

=

a(x

1

p

1

x

2

p

2

...x

n

p

n

...)b(p

1

p

2

...p

n

...)

E



=

aE



b

E(a



b)aE



b

说明随机变量



的线性函数



a



b

的期望等于随机变量



期望的线性函数

（

2

）

公式4：D（a

ξ

+b）=a

2

D

ξ

（a、b为常数）.

证法一： 因为

D







(x

i

E



)

2

p

i

i1

n





[x

i

2

2x

i

E



(E



)

2

]p

i

i1

n

n





x

i

p

i

2E







x

i

p

i

(E



)



p

i

22

i1i1i1

nn

E



2

2(E



)

2

(E



)

2

E



2

(E



)

2

5

D



E



2

(E



)

2

nn

所以有：

D(a



b)



[ax

i

b(aE



b)]p

i

a

2

i1

n

2

n

2

n

2



(xE



)

i

i1

2

n

2

p

i

a

2

D



证毕

证法二：Dξ=



(x

i

E



)p

i





x

i

p

i

2E





x

i

p

i

(E



)

i1i1i1



p

i1

i

E



2

(E



)

2

.

E(aξ＋b)＝aEξ＋b， D(aξ+b)=a

2

Dξ．

D(a



b)



[ax

i

b(aE



b)]p

i

a

2

i1

n

2



(xE



)

i

i1

n

2

p

i

a

2

D



（二）二项分布公式列举及证明

1．二项分布定义：若随机变量



的分布列为：P (



＝k)＝C

n

k

p

k

q

n-k

。（k＝0，1，2，…，

n，0＜p＜1，q＝1－p，则称



服从二项分布，记作



~B (n，p)，其中n、 p为参

数，并记C

n

k

p

k

q

n-k

=b(k；n，p)。

2．对二项分布来说，概率分布的两个性质成立。即：

（1）P (



＝k)＝C

n

k

p

k

q

n-k

＞0，k＝0，1，2，…，n；

（2）



P (



＝k)＝



C

n

k

p

k

q

n-k

＝(p＋q)

n

＝1。

k0k0

nn

二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布，它有着广泛的应用。

3．服从二项分布的随机变量



的期望与方差公式：

若

ξ

～B（n，p），则E

ξ

=np，D

ξ

=npq（q=1－p）.

（

3

）

公式5：

求证：

E

ξ

=np

方法一：

在独立重复实验中，某结果发生的概率均为

p

（不发生的概率为

q

，有

pq1

），

那么在

n

次实验中该结果发生的次数



的概率分布为



0

1

2

3

...

n1

n

6

P

C

0n

n1

n

q

C

122n233n3

n

pq

C

n

pq

C

n

pq

...

C

n1n1

n

pq

C

nn

n

p

服从二项分布的随机变量



的期望

E



np

.证明如下：

预备公式

kc

kk1

n

nc

n1

(pq)

n1

(c

00n10n22

p

0

q

n2k1k1(n1)(nk)n1n10

n1

pqc

1

n1

pqc

n1

...c

n1

pq...c

n1

pq)

因为

p(



k)c

kknkkknk

n

p(1p)c

n

pq,

所以

E



0c

00n1n122n2kknkn0n

n

pq1c

1

n

pq2c

n

pq...kc

n

pq...nc

n

pq

=

np(c

00n110n220n2k1k1(n1)(nk)n1n10

n1

pqc

n1

pqc

n1

pq...c

n1

pq...c

n1

pq)

=

np(pq)

n1

np

所以

E



=

np

得证

方法二： 证明：若

X~B(n,p)

，则X表示

n

重贝努里试验中的“成功” 次数，

现在我们来求

X

的数学期望。

若设

X



1如第i次试验成功

i





i次试验失败

i

=1,2，…，

n



0如第

则

XX

1

X

2

...X

n

，

因为

P(X

i

1)P

，

P(X

i

0)1Pq

所以

E(X

i

)0q1pp

，则

nn

E(X)

E[



X

i

]

i1



E(X

i

)np

i1

可见，服从参数为

n

和

p

的二项分布的随机变量X的数学期望是

np

。

需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。

公式6

k

2

C

kk1k2

n

nC

n1

n(n1)C

n2

k

2

C

kk1

n

knC

n1

n[(k1)1]C

k1

n1

nC

k1

n(k1)C

k1

n1



n1

nC

k1k2

n1

n(n1)C

n2

k

2

C

kk1k2

n

nC

n1

n(n1)C

n2

7

求证：服从二项分布的随机变量



的方差公式7：D

ξ

=npq（q=1－p）.

方法一：

2iini

证明：

E







iC

n

pq

2

i0

nn

n

Cpq

npq

1

n

n1





nC

i2

n

i1

n1

pq

inii2ini





n(n1)C

n2

pq

i2

0n1

n1

2n1

np



C

i1

i1

n1

pq

i1ni

npCqn(n1)p



C

i2

n

i2

n2

p

i2

q

ni

npq

n1

np(pq)

n1

npq

n1

n(n1)p

2

(pq)

n2

npq

n1

npnpq

n1

n(n1)p

2

npn

2

p

2

np

2

np(1p)n

2

p

2

npqn

2

p

2

22

由公式1知

D



E



(E



)

npqn

2

p

2

(np)

2

npq

方法二： 设



~B(n,p)

, 则X表示

n

重贝努里试验中的“成功” 次数。

若设

X

i





n



1如第i次试验成功

i

=1,2，…，

n



0如第i次试验失败

则









i

是

n

次试验中“成功”的次数，

E(



i

)0q1pp

，故

i1

D(



i

)E(



i

2

)[E(



i

)]

2

pp

2

p(1p)

，

i1,2,,n

由于



1

,



2

,...,



n

相互独立，于是

D(



)



D(



i

)

=

np

(1-

p

)。

i1

n

（三） 几何分布的期望与方差的公式列举及证明

1． 定义5：几何分布（Geometric distribution）是离散型概率分布。

定义6：在第n次伯努利试验，才得到第一次成功的机率。

n次伯努利试验，前n-1次皆失败，第n次才成功的概率。

P(Xk)(1p)

k1

p

8

若

P(



k)q

k1

p

，则（1）

E





1

1p

，（2）

D





2

。

p

p

1

，

p

求证：（1）几何分布的期望 公式8：

E





若某射击手击中目标的概率为P，求证：从射击开始到击中目标所需次数



的期望

E





1

p

证明：依题意分布列为



P

1

P

2 3 ……

K

……

P(1P)

P(1P)

2

P(1P)

K1

由

P(



k)q

k1

p

，知

E



1P2P(1P)3P(1P)

2

...KP(1P)

K1

...

E



p2pq3q

2

p...kq

k1

p...(12q3q

2

...kq

k1

...)p

下面用错位相减法求上式括号内的值。

记

S

k

12q3q

2

...kq

k1

qS

k

q2q

2

...(k1)q

k1

kq

k

两式相减，得

(1q)S

k

1qq

2

...q

k1

kq

k

1q

k

kq

k

S

k



(1q)

2

1q

q

k

0

及

limkq

k

0

（可用L\'Hospital法则证明）由

0p1

，知

0q1

，则

lim

kk

S

k



故

12p3q

2

...kq

k1

...lim

k

11



，

(1q)

2

p

2

所以

E





1

p

9

1p

求证：（2）

p(



k)g(k,p)

几何分布的方差 公式9：

D





2

p

nn1

(x)\'nx

证明：利用导数公式，推导如下：



q

2

p

12x3x

2

...kx

k1

...

x

\'

(x

2

)

\'

(x

3

)

\'

...(x

k

)

\'

...

(xxx...x...)

x(1x)(x)

)\'

1x

(1x)

2

1



(1x)

2

(

23k\'

上式中令

xq

，则得

12q3q...kq

2k1

11

...

2

2

(1q)p

（2）为简化运算，利用性质

D



E



2

(E



)

2

来推导。

E



2

p2

2

qp3

2

q

2

p...k

2

q

k1

p...

p(12

2

q3

2

q

2

...k

2

q

k1

...)

对于上式括号中的式子，利用导数，关于q求导：

k

2

q

k1

(kq

k

)\'

，并用倍差法

求和，有

12q3q...kq

2222k1

...

(q2q

2

3q

3

...kq

k

...)

\'

q(1q)

2

2(1q)q

[]\'

2

(1q)(1q)

4



1q1q2p



(1q)

4

(1q)

3

p

3

2

2

2p2p

则

E



p(

3

)

，

pp

2

10

因此

D



E



2

(E



)

2



2



2

2p1

2

1p

()

2

2

p

pp

k1

证明二:

E(



)



kpq

K1



p[



k(k1)q

k1



k1





kq

k1

]

k1



=

qp(



q

k

)

n

E



k1

=

qp

212p1



(1p)

3

pp

2

p

D



E



2

(E



)

2



2p1

2

1p

()

2

2

p

pp

11