孙冰—开题报告

2024年2月27日发(作者：小考数学试卷推荐软件)

鞍山师范学院

数学系 12届学生毕业设计（论文）开题报告

课题名称： 关于含参量反常积分一致收敛性的研究

学生姓名： 孙冰

专 业： 数学与应用数学

班 级： 08、4

学 号： 32号

指导教师： 赵艳英

2012年 2 月 15 日

论文开题报告

论文题目: 关于含参量反常积分一致收敛性的研究

一、选题意义

1.理论意义：

含参量反常积分在微积分中占有重要的地位，含参量反常积分不仅是反常积分的延伸和推广，也是研究和表达函数（特别是非初等函数）的有力工具，并为研究多元函数的积分打下了坚实的基础。一致收敛性以其特有的抽象性让初学者无可是从，难以掌握，也成为数学专业课程数学分析区别于工科课程高等数学的基本要素之一。讨论含参量反常积分的一致收敛性，对以后的学习和研究有着深远的意义和影响。

2.现实意义：

一致收敛性是数学分析课程中一个非常重要的概念，很多重要的结论要有一致收敛的性质作为前提条件。例如，函数项级数的逐项求导、 逐项求积、交换求导与积分运算顺序等等都要求函数项级数为一致收敛。含参量的反常积分对于参数的连续性、可微性都要有含参量反常积分的一致收敛性作为前提。一般而言，在非数学专业工科的各项课程，特别是高数则回避对一致收敛性的具体讨论。本文将针对含参量反常积分的一致收敛性问题，分析一致收敛性的一些直观特征，以帮助读者加深对含参量反常积分一致收敛性这一抽象概念的理解与认识。

二、 论文综述

1．理论的渊源及演进过程

含参量反常积分是数学分析中的一个重要分支，人们对含参量反常积分一致收敛性的认识经历了一个漫长的过程.1686年，莱布尼茨发表了一篇积

分学论文，这篇论文初步论述了积分问题与微分问题的互逆关系。到18世纪，欧拉发表了《积分学》，是微积分史上里程碑式的著作，此后很多数学家如狄尼、魏尔斯特拉斯、狄利克莱等人深入研究了一致收敛性问题，进而研究含参量反常积分一致收敛性问题，为此做了不懈努力，取得了一些有成效的成果，对含参量反常积分的发展做出了重要的贡献.

2．国外有关研究的综述

微积分由在莱布尼茨后者们的推动下蓬勃发展，此后魏尔斯特拉斯、狄利克莱，阿贝尔等人深入研究了一致收敛的问题，提出了魏尔斯特拉斯判别法，狄利克莱判别法，阿贝尔判别法来判断含参量反常积分的一致收敛性。

3．国内研究的综述

无穷级数是构造新函数的一种重要工具,利用它可以构造出一些用通常解析式无法表达的函数,这些函数具有很重要的特性,比如利用无穷级数可以构造出处处连续而处处不可微的函数。含参量积分是构造新函数的另一重要工具,就是用积分形式表示的函数,比如欧拉积分等,在数理方程和概率论中经常出现这样的函数。由于含参量反常积分一直收敛性的广泛应用，涌现出许多新理论新方法，这些新的理论和方法又促进了含参量反常积分理论本身的发展，不仅使它的内容更加丰富，而且开辟了许多新分支和新领域。我国的一些从事基础数学教学和研究的人员对此进行了经验研究与理论思索，并取得了较大进展。

4．本人对以上研究的综论

通过国内、国外对此课题的研究，我们知道了含参量反常积分的一致收敛性是一个抽的象概念，我们一时之间不会有深入的理解与认识，我想通过该课题更加全面地让同学们了解含参量反常积分一致收敛性的理论。

三、 论文提纲

前言:

在有限区间上的连续函数的含参量积分具有很好的分析性质,并且极限与积分,求导与积分,积分与积分都可以交换顺序.于是,人们期望这种情况在其他情形的含参量积分也具备,但是对于含参量反常积分的情形,事情就没有那么简单了,这需要反常积分和被积函数具有比连续更好的性质,这就要研究含参量反常积分一致收敛性.在一致收敛意义下,极限与积分、求导与积分、积分与积分都可以交换顺序.于是判断含参量反常积分的一致收敛性变得尤为重要. 含参量反常积分一致收敛性的特点是抽象、逻辑性强。本文围绕国内外数学书刊出现的一些含参量反常积分一致收敛性的性质和判别法，及其对确定相关的一致收敛性应用进行了广泛而深入的讨论，并结合一些新发现的方法来讨论相关知识，使我们充分认识了有关含参量反常积分一致收敛的性质和判别法。以下就是对此类问题进行的讨论：

1、预备知识

1）含参量反常积分的定义

2）含参量反常积分一致收敛性的定义

2、含参量反常积分一致收敛的充分必要条件

1）一致收敛的柯西准则

2）含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致收敛之间的联系

3、含参量反常积分一致收敛的判别法及其应用

1）魏尔斯特拉M判别法

2）狄利克莱判别法

3）阿贝尔判别法

4）判别法的应用

4、含参量反常积分的性质

1）含参量反常积分的连续性

2）含参量反常积分的可微性

3）含参量反常积分的可积性

结论

含参量反常积分一致收敛性对讨论多元函数的连续性，可微性，可积性十分重要，因此，在学习过程中要加强对定理的理解，更好的掌握判断含参量反常积分一致收敛性的方法。

四、预期的结果

通过对含参量反常积分一致收敛性的研究探讨，让同学们了解到如何判断含参量反常积分的一致收敛性，对多元函数的积分有了初步的了解。能将含参量反常积分的一致收敛性与函数级数的一致收敛性的知识巧妙结合在一起。多给学生一种解决此类问题的新方法，帮助学生很好地理解与掌握含参量反常积分一致收敛性的理论，理出清晰思路和脉络。

四、参考文献

[1]吕通庆. 一致连续与一致收敛[M]. 北京: 人民教育出版社, 1981.

[2]华东师范大学数学系, 数学分析（下册）[M].3版.北京：高等教育出版社，2001.

[3]张永锋. 含参量反常积分的局部一致收敛与连续性[J]. 咸阳师范学院学报，2006,21（6）.

[4]黄慧、陈辉.含参量无穷限反常积分的一致收敛性[J].高等数学研究，2011，14（1）.

[5]裴礼文 数学分析中的典型问题与方法[M ]. 北京：高等教育出版社，2001.

[6] 刘玉琏 傅沛仁. 数学分析讲义[M ]. 北京：高等教育出版社，1992.

[7] 杜瑞芝;王青建,孙宏安编.数学史词典。山东教育出版社2000-08.

[8] R约翰逊鲍.现代数学分析基础[M].广州：中山大学出版社，1988.94-99.

[9] 吉林大学数学系编 数学分析[M] 北京:人民教育出版社,1979

[10]B.A.卓里奇.数学分析(第二卷)(第4版).[M].北京：高等教育出版社，2006.12.

[11]董立华，叶盼盼.关于含参量反常积分一致收敛性的讨论[J].枣庄学院学报，2008,25(5):51-55.

[12]谭东北.含参量反常积分的连续与局部一致收敛性[J]六盘山师专学报1995(4):33-36.

[13] 徐利治，王兴华 数学分析的方法及例题选讲[M]. 北京：高等教育出版社, 1984.

五、论文写作的进度安排

11月初～11月中旬 论文选题，确定论文题目

11月下旬～12月末 根据所选论文题目搜集资料、初步论证，完成开题报告。

12年1月～2月 学习所搜集的资料，并对其进行分析、归纳、整理，完成论文初稿。

3月初～3月末 根据指导教师意见，对论文初稿进行修改，完成论文二稿。

4月初～4月中旬 根据指导教师意见，对论文二稿进行修改，完成论文三稿，同时完成论文的英文摘要。

4月下旬～5月15日 继续修改论文，直至定稿，并完成论文的排版与打印工作。

5月下旬～5月末 准备毕业答辩.