2018年北京市中学生数学竞赛初二试题(含答案)

2024年4月16日发(作者：为什么数学试卷慢一点)

2018年北京市中学生数学竞赛初二试题

(含答案)

2，3，4，5，6，7，8，9中的一个，且这些自然数的和

为2018．请问这个学生写出的这17个自然数中，最小的数是

多少？（请给出详细解题过程）

解：

设这17个自然数分别为a1,a2,…,a17，则有：

a1+a2+…+a17=2018

由于每个自然数的个位数码只能是1，2，3，4，5，6，7，

8，9中的一个，所以每个自然数的个位数字之和一定是45，

即这17个自然数的个位数字之和为765．

设b1,b2,…,b17分别为这17个自然数的十位数字，则有：

b1+b2+…+b17=765

由于每个自然数的十位数字也只能是1，2，3，4，5，6，

7，8，9中的一个，所以每个自然数的十位数字之和一定是45，

即这17个自然数的十位数字之和为765．

设c1,c2,…,c17分别为这17个自然数的百位数字，则有：

c1+c2+…+c17=765

由于每个自然数的百位数字也只能是1，2，3，4，5，6，

7，8，9中的一个，所以每个自然数的百位数字之和一定是45，

即这17个自然数的百位数字之和为765．

由此可得，这17个自然数中最小的数为100+10+1=111．

一、1.A

在1到100这100个自然数中，有25个质数，分别是2、

3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、

53、59、61、67、71、73、79、83、89、97.因此，质数在这

100个自然数中所占的百分比是25%。

2.C

将10分拆成三个正整数之和，共有8种情况：1+1+8、

1+2+7、1+3+6、1+4+5、2+2+6、2+3+5、2+4+4、3+3+4.根据

“三角形两边之和大于第三边”的原则，只有（2，4，4）和（3，

3，4）两组可以构成三角形。由于等腰三角形的两个底角都是

锐角，因此以2、4、4为边的等边三角形中，最小边2对的顶

角也是锐角。以3、3、4为边的等腰三角形中，由3的平方加

3的平方大于4的平方可知顶角也是锐角。因此，以2、4、4

为边的等腰三角形和以3、3、4为边的等腰三角形都是锐角三

角形，排除选项（A）和（B）。又由于等腰三角形中恰有一

个内角为60°时变为等边三角形，与边为（2，4，4）和（3，

3，4）的条件矛盾，排除选项（D）。由（2，4，4）和（3，

3，4）为边的三角形是恰有两边相等的三角形。

3.D

由S=n(n+1)，又n和n+1是两个连续的自然数，知n(n+1)

的个位数字只能是2、6.因此，S的个位数字只能是1、3、5、

6、8这六个数字。因此，S的个位数字不能是2、4、7、9.

4.B

如图1所示，设S△AOD=x，S△BOC=y，则S四边形

ABCD=4+9+x+y≥13+2xy。由x/4=y/9可得xy=36.因此，S四

边形ABCD≥13+2xy=13+12=25.故S四边形ABCD的最小值是

25.此时，AB∥DC，即四边形ABCD是梯形。

5.A

由│a-b│=1，知a-b=1或a-b=-1.由│b+c│=1，知b+c=1或

b+c=-1.由│a+c│=2，知a+c=2或a+c=-2.这样，可以得到8个

三元一次方程组：（1）a-b=1，b+c=1，a+c=2；（2）a-b=1，

b+c=1，a+c=-2；（3）a-b=1，b+c=-1，a+c=2；（4）a-b=1，

b+c=-1，a+c=-2.

1.对于方程组a-b=-1，b+c=1，a+c=2，可以将前两个方程

相加得到a+c=0，与第三个方程不符，因此无解。

2.由勾股定理可得AD²+CD²=AC²，因此上下两个半圆的

面积分别为以AD、CD为直径的两个半圆的面积和以AB、

BC为直径的两个半圆的面积。因此正方形ABCD的面积等于

四个“月形”的总面积，而大圆的半径OD为1cm。

3.将3a²+4b²-5bc化简得到3(a²+bc)+4(b²-2bc)=42-24=18.

4.由S△BCD=S△ECD=1可知BE∥CD，由

S△BAF=S△XXX可知BE∥AF，因此BE∥AF∥CD。同理可

得CF∥DE∥BA，AD∥FE∥BC。因为AD、BE、CF三线共