2019年高考真题全国3卷理科数学(附答案解析)

2024年3月26日发(作者：巴中到济南中考数学试卷)

绝密★启用前

2019年普通高等学校招生统一考试

理科数学试题卷

一、单选题

1

．已知集合

A=



−1,0,1,2



，B=xx1

，则

AB=

（

）

2



A

．



−1,0,1



B

．



0,1



C

．



−1,1



D

．



0,1,2



2

．若

z(1+i)=2i

，则

z

=

（

）

A

．

−1−i

B

．

−1+i

C

．

1−i

D

．

1+i

3

．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古

典小说四大名著

.

某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了

100

学生，

其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有

90

位，阅读过《红楼梦》的学生共有

80

位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有

60

位，则该校阅读过《西游

记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（

）

A

．

0.5

B

．

0.6

C

．

0.7

D

．

0.8

4

．（

1+2x

2

）（

1+x

）

4

的展开式中

x

3

的系数为

A

．

12 B

．

16 C

．

20 D

．

24

5

．已知各项均为正数的等比数列



a

n



的前

4

项和为

15

，且

a

5

=3a

3

+4a

1

，则

a

3

=

（

）

A

．

16 B

．

8 C

．

4 D

．

2

6

．已知曲线

y=ae

x

+xlnx

在点

(

1,ae

)

处的切线方程为

y=2x+b

，则（

）

A

．

a=e,b=−1

B

．

a=e,b=1

C

．

a=e

−1

,b=1

D

．

a=e

−1

,b=−1

2x

3

7

．函数

y=

x

在



−6,6



的图像大致为

−x

2+2

A

．

B

．

C

．

D

．

8

．如图，点

N

为正方形

ABCD

的中心，

ECD

为正三角形，平面

ECD⊥

平面

ABCD

,M

是线段

ED

的中点，则（

）

A

．

BM=EN

，且直线

BM,EN

是相交直线

B

．

BMEN

，且直线

BM,EN

是相交直线

C

．

BM=EN

，且直线

BM,EN

是异面直线

D

．

BMEN

，且直线

BM,EN

是异面直线

9

．执行如图所示的程序框图，如果输入的



为

0.01

，则输出

s

的值等于（

）

A

．

2−

1

2

4

B

．

2−

1

2

5

C

．

2−

1

2

6

D

．

2−

1

2

7

x

2

y

2

10

．双曲线

C

：

−

=1

的右焦点为

F

，点

P

在

C

的一条渐近线上，

O

为坐标原点，

42

若

PO=PF

，则

△

PFO

的面积为

A

．

32

4

B

．

32

2

C

．

22

D

．

32

11

．设

f

(

x

)

是定义域为

R

的偶函数，且在

(

0,+



)

单调递减，则（

）



−

2





−

3



1





3

2

A

．

f



log

3



f



2



f



2



4







3

−





−

2





1





B

．

f



log

3



f



2

3



f



2

2



4









−

2





−

3



1



2

C

．

f



2



f



2

3



f



log

3



4







3

−





−

2





1



3

2

f2f2flog

D

．







3



4







12

．设函数

f

(

x

)

=sin

（



x+

点，下述四个结论：



）

(



＞

0)

，已知

f

(

x

)

在



0,2





有且仅有

5

个零

5

①

f

(

x

)

在（

0,2

）有且仅有

3

个极大值点

②

f

(

x

)

在（

0,2

）有且仅有

2

个极小值点



）单调递增

10

1229

④



的取值范围是

[

，

)

510

③

f

(

x

)

在（

0,

其中所有正确结论的编号是

A

．①④

二、填空题

B

．②③

C

．①②③

D

．①③④

r

r

rr

r

r

rr

r

13

．已知

a,b

为单位向量，且

ab

=0

，若

c=2a−5b

，则

cosa,c=

___________.

14

．记

S

n

为等差数列

{a

n

}

的前

n

项和，

a

1

≠0，a

2

=3a

1

，则

S

10

=

___________.

S

5

22

xy

15

．设

F

1

，F

2

为椭圆

C:+=1

的两个焦点，

M

为

C

上一点且在第一象限

.

若

3620

△MF

1

F

2

为等腰三角形，则

M

的坐标为

___________.

16

．学生到工厂劳动实践，利用

3D

打印技术制作模型

.

如图，该模型为长方体

ABCD−A

1

B

1

C

1

D

1

挖去四棱锥

O−EFGH

后所得的几何体，其中

O

为长方体的中心，

E,F,G

,H

分别为所在棱的中点，

AB=BC=6cm, AA

1

=4cm

，

3D

打印所用原料密

度为

0.9g/cm

3

，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为

___________

g

.

三、解答题

17

．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将

200

只小鼠随机

分成

A,B

两组，每组

100

只，其中

A

组小鼠给服甲离子溶液，

B

组小鼠给服乙离子溶

液

.

每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同

.

经过一段时间后用某种科学方法测算

出残留在小鼠体内离子的百分比

.

根据试验数据分别得到如下直方图：

记

C

为事件：

“

乙离子残留在体内的百分比不低于

5.5

”

，根据直方图得到

P

(

C

)

的估计

值为

0.70

.

（

1

）求乙离子残留百分比直方图中

a,b

的值；

（

2

）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值

为代表）

.

18

．

ABC

的内角

A,B,C

的对边分别为

a,b,c

，已知

asin

（

1

）求

B

；

（

2

）若

ABC

为锐角三角形，且

c=1

，求

ABC

面积的取值范围．

19

．图

1

是由矩形

ADEB

，

Rt

△

ABC

和菱形

BFGC

组成的一个平面图形，其中

AB=1

，

BE=BF=2

，∠

FBC=60°

，将其沿

AB

，

BC

折起使得

BE

与

BF

重合，连结

DG

，如图

2.

（

1

）证明：图

2

中的

A

，

C

，

G

，

D

四点共面，且平面

ABC

⊥平面

BCGE

；

（

2

）求图

2

中的二面角

B−CG−A

的大小

.

A+C

=bsinA

．

2

20

．已知函数

f(x)=2x

3

−ax

2

+b

.

（

1

）讨论

f(x)

的单调性；

（

2

）是否存在

a,b

，使得

f(x)

在区间

[0,1]

的最小值为

−1

且最大值为

1

？若存在，求

出

a,b

的所有值；若不存在，说明理由

.

1

x

2

21

．已知曲线

C

：

y=

，

D

为直线

y=

−

上的动点，过

D

作

C

的两条切线，切点分别

2

2

为

A

，

B.

（

1

）证明：直线

AB

过定点：

（

2

）若以

E(0

，

ADBE

的面积

.

22

．如图，在极坐标系

Ox

中，

A(2,0)

，

B(2,)

，

C(2,

5

)

为圆心的圆与直线

AB

相切，且切点为线段

AB

的中点，求四边形

2



4



)

，

D(2,)

，弧

»

，

AB

4



»

»

(1,0)

(1,)

，

(1,



)

，曲线

M

1

是弧

»

，所在圆的圆心分别是，

BC

CD

AB

，曲线

M

2

是

2

»

.

»

，曲线

M

3

是弧

CD

弧

BC

（

1

）分别写出

M

1

，

M

2

，

M

3

的极坐标方程；

（

2

）曲线

M

由

M

1

，

M

2

，

M

3

构成，若点

P

在

M

上，且

|OP|=

3

，求

P

的极坐标

.

23

．设

x,y,z

R

，且

x+y+z=1

.

（

1

）求

(x−1)

2

+(y+1)

2

+(z+1)

2

的最小值；

（

2

）若

(x−2)+(y−1)+(z−a)

222

1

成立，证明：

a≤−3

或

a−1

.

3

参考答案

1

．

A

【解析】

【分析】

先求出集合

B

再求出交集

.

【详解】

Qx

2

1,

−1x1

，

∴

B=x

−1x1

，则

AB=



−1,0,1



，

故选

A

．

【点睛】

本题考查了集合交集的求法，是基础题

.

2

．

D

【解析】

【分析】

根据复数运算法则求解即可

.

【详解】



z=

2i2i(1−i)

==1+i

．故选

D

．

1+i(1+i)(1−i)

【点睛】

本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．

3

．

C

【解析】

【分析】

根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解

.

【详解】

由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为

90-80+60=70

，则其与该校学生人数之比为

70÷100=0.7

．故选

C

．

【点睛】

本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归

思想解题．

4

．

A

【解析】

【分析】

本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．

【详解】

31

由题意得

x

3

的系数为

C

4

+2C

4

=4+8=12

，故选

A

．

【点睛】

本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．

5

．

C

【解析】

【分析】

利用方程思想列出关于

a

1

,q

的方程组，求出

a

1

,q

，再利用通项公式即可求得

a

3

的值．

【详解】



a

1

+a

1

q+a

1

q

2

+a

1

q

3

=15,

设正数的等比数列

{a

n

}

的公比为

q

，则



4

，

2



a

1

q=3a

1

q+4a

1



a

1

=1,

2

解得



，

a

3

=a

1

q=4

，故选

C

．



q=2

【点睛】

本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键．

6

．

D

【解析】

【分析】

通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得

a

，将点的坐标代入直线方程，求得

b

．

【详解】

详解：

y



=ae

x

+lnx+1,

k=y



|

x=1

=ae+1=2

，

a=e

−1

将

(1,1)

代入

y=2x+b

得

2+b=1,b=−1

，故选

D

．

【点睛】

本题关键得到含有

a

，

b

的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．

7

．

B

【解析】

【分析】

由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由

f(4)

的近似值即可得出结果．

【详解】

2(−x)

3

2x

3

2x

3

设

y=f(x)=

x

，则

f(−x)=

−x

所以

f(x)

是奇函数，

=−

x

=−f(x)

，

x−x

−x

2+22+2

2+2

24

3

图象关于原点成中心对称，排除选项

C

．又

f(4)=

4

0,

排除选项

D

；

2+2

−4

26

3

f(6)=

6

7

，排除选项

A

，故选

B

．

−6

2+2

【点睛】

本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较

易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．

8

．

B

【解析】

【分析】

利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．

【详解】

如图所示，

作

EO⊥CD

于

O

，连接

ON

，过

M

作

MF⊥OD

于

F

．

连

BF

，

Q

平面

CDE⊥

平面

ABCD

．

EO⊥CD,EO

平面

CDE

，

EO⊥

平面

ABCD

，

MF⊥

平面

ABCE

，

MFB

与

EON

均为直角三角形．设正方形边长为

2

，易知

EO=3,ON=1EN=2

，

MF=

35

,BF=,BM=7

．

BMEN

，故选

B

．

22

【点睛】

本题考查空间想象能力和计算能力，

解答本题的关键是构造直角三角性．

9

．

C

【解析】

【分析】

根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果

.

【详解】

输入的



为

0.01

，

x=1.S=0+1,x=0.50.01?

不满足条件；

11

S=0+1+,x=0.01?

不满足条件；

24



S=0+1+

111

+L+

6

,x==0.00781250.01?

满足条件

22128

输出

S=1+

【点睛】

111



++

6

=2



1−

7

22



2

1



=2−



6

，故选

C

．

2



解答本题关键是利用循环运算，根据计算精确度确定数据分析．

10

．

A

【解析】

【分析】

本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素

养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．

【详解】

由

a=2,b=2,c=a

2

+b

2

=6,

．

6

，

2

QPO=PF,x

P

=

又

P

在

C

的一条渐近线上，不妨设为在

y=

2

x

上，

2

S

△PFO

=

【点睛】

11332

，故选

A

．

OFy

P

=6=

2224

忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角

形的高，便可求三角形面积．

11

．

C

【解析】

【分析】

2

−





1





−

3



由已知函数为偶函数，把

f



log

3



,f



2

2



,f



2

3



，转化为同一个单调区间上，再

4











比较大小．

【详解】

1



Qf

(

x

)

是

R

的偶函数，

f



log

3



=f

(

log

3

4

)

．

4



Qlog

3

4log

3

3=1,1=22

又

f

(

x

)

在

(0

，

+∞)

单调递减，

0

−

2

3

2,log

3

42

−

3

2

−

2

3

2

，

−

3

2

3

−





−

2





∴

f

(

log

3

4

)

f



2

3



f



2

2



，





2

−





−

3



1



f



2

2



f



2

3



f



log

3



，故选

C

．

4







【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．

12

．

D

【解析】