2024年3月15日发(作者：泰州历史三模数学试卷)
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高中数学学业水平考试试卷
一、选择题（共
10
小题，每小题
4
分，满分
40
分）
1
．已知集合
M=
{
0
，
1
}，集合
N
满足
M
∪
N=
{
0
，
1
}，则集合
N
共有（ ）个．
A
．
1 B
．
2 C
．
3 D
．
4
2
．直线
x
+
2y
+
2=0
与直线
2x
+
y
﹣
2=0
的交点坐标是（ ）
A
．（
2
，﹣
2
）
B
．（﹣
2
，
2
）
C
．（﹣
2
，
1
）
D
．（
3
，﹣
4
）
3
．不等式
2x
+
y
﹣
3
≤
0
表示的平面区域（用阴影表示）是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
4
．已知
cosα=
﹣，
α
是第三象限的角，则
sinα=
（ ）
A
．﹣
B
．
C
．﹣
D
．
5
．已知函数
f
（
x
）
=a
x
（
a
＞
0
，
a
≠
1
）在[
1
，
2
]上的最大值和最小值的和为
6
，
则
a=
（ ）
A
．
2 B
．
3 C
．
4 D
．
5
b
，
A=120°
，则
B
的大小为（ ）
6
．在△
ABC
中，
a=
A
．
30° B
．
45° C
．
60° D
．
90°
7
．一支田径队有男运动员
49
人，女运动员
35
人，用分层抽样的方法从全体运
动员中抽出一个容量为
24
的样本，则应从男运动员中抽出的人数为（ ）
A
．
10 B
．
12 C
．
14 D
．
16
8
．已知
tanα=2
，则
tan
（
α
﹣
A
．
B
．
C
．
D
．﹣
3
9
．圆
x
2
+
y
2
=1
与圆（
x
+
1
）
2
+（
y
+
4
）
2
=16
的位置关系是（ ）
A
．相外切
B
．相内切
C
．相交
D
．相离
）
=
（ ）
10
．如图，圆
O
内有一个内接三角形
ABC
，且直径
AB=2
，∠
ABC=45°
，在圆
O
内随机撒一粒黄豆，则它落在三角形
ABC
内（阴影部分）的概率是（ ）
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A
．
B
．
C
．
D
．
二、填空题（共
5
小题，每小题
4
分，满分
20
分）
11
．不等式
x
2
﹣
5x
≤
0
的解集是
．
12
．把二进制数
10011
（
2
）
转化为十进制的数为
．
13
．已知函数
f
（
x
）
=Asinωx
（
A
＞
0
，
ω
＞
0
）的图象如图所示，则
A
，
ω
的值分
别是
．
14
．已知函数
f
（
x
）
=4
﹣
log
2
x
，
x
∈[
2
，
8
]，则
f
（
x
）的值域是
．
15
．点
P
是直线
x
+
y
﹣
2=0
上的动点，点
Q
是圆
x
2
+
y
2
=1
上的动点，则线段
PQ
长
的最小值为
．
三、解答题（共
5
小题，满分
40
分）
16
．如图，甲、乙两名篮球运动员的季后赛
10
场得分可用茎叶图表示如图：
（
1
）某同学不小心把茎叶图中的一个数字弄污了，看不清了，在如图所示的茎
叶图中用
m
表示，若甲运动员成绩的中位数是
33
，求
m
的值；
（
2
）估计乙运动员在这次季后赛比赛中得分落在[
20
，
40
]内的概率．
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17
．已知向量
=
（
sinx
，
1
），
=
（
2cosx
，
3
），
x
∈
R
．
（
1
）当
=λ
时，求实数
λ
和
tanx
的值；
（
2
）设函数
f
（
x
）
=•
，求
f
（
x
）的最小正周期和单调递减区间．
18
．如图，在三棱锥
P
﹣
ABC
中，平面
PAB
⊥平面
ABC
，△
PAB
是等边三角形，
AC
⊥
BC
，且
AC=BC=2
，
O
、
D
分别是
AB
，
PB
的中点．
（
1
）求证：
PA
∥平面
COD
；
（
2
）求三棱锥
P
﹣
ABC
的体积．
19
．已知函数
f
（
x
）
=2
+的图象经过点（
2
，
3
），
a
为常数．
（
1
）求
a
的值和函数
f
（
x
）的定义域；
（
2
）用函数单调性定义证明
f
（
x
）在（
a
，+∞）上是减函数．
20
．已知数列{
a
n
}的各项均为正数，其前
n
项和为
S
n
，且
a
n
2
+
a
n
=2S
n
，
n
∈
N
*
．
（
1
）求
a
1
及
a
n
；
（
2
）求满足
S
n
＞
210
时
n
的最小值；
（
3
）令
b
n
=4
，证明：对一切正整数
n
，都有+++
…
+＜．
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参考答案与试题解析
一、选择题（共
10
小题，每小题
4
分，满分
40
分）
1
．已知集合
M=
{
0
，
1
}，集合
N
满足
M
∪
N=
{
0
，
1
}，则集合
N
共有（ ）个．
A
．
1 B
．
2 C
．
3 D
．
4
【考点】
19
：集合的相等．
【分析】根据集合的包含关系求出集合
N
的个数即可．
【解答】解：
M=
{
0
，
1
}，集合
N
满足
M
∪
N=
{
0
，
1
}，
则
N
⊆
M
，
故
N=
∅，{
0
}，{
1
}，{
0
，
1
}共
4
种可能，
故选：
D
．
2
．直线
x
+
2y
+
2=0
与直线
2x
+
y
﹣
2=0
的交点坐标是（ ）
A
．（
2
，﹣
2
）
B
．（﹣
2
，
2
）
C
．（﹣
2
，
1
）
D
．（
3
，﹣
4
）
【考点】
IM
：两条直线的交点坐标．
【分析】根据题意，联立两直线的方程，解可得
x
、
y
的值，即可得交点坐标，
即可得答案．
【解答】解：根据题意，联立
解可得，
，
即直线
x
+
2y
+
2=0
与直线
2x
+
y
﹣
2=0
的交点坐标是（
2
，﹣
2
）；
故选：
A
．
3
．不等式
2x
+
y
﹣
3
≤
0
表示的平面区域（用阴影表示）是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
【考点】
7B
：二元一次不等式（组）与平面区域．
【分析】作出不等式对应直线的图象，然后取特殊点代入不等式，判断不等式是
否成立后得二元一次不等式表示的平面区域．
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【解答】解：画出不等式
2x
+
y
﹣
3
≤
0
对应的函数
2x
+
y
﹣
3=0
的图象，
取点（
0
，
0
），把该点的坐标代入不等式
2x
+
y
﹣
3
≤
0
成立，说明不等式
2x
+
y
﹣
3
≤
0
示的平面区域与点（
0
，
0
）同侧，
所以不等式
2x
+
y
﹣
3
≤
0
表示的平面区域在直线
2x
+
y
﹣
3=0
的右下方，并含直线．
故选
B
．
4
．已知
cosα=
﹣，
α
是第三象限的角，则
sinα=
（ ）
A
．﹣
B
．
C
．﹣
D
．
【考点】
GH
：同角三角函数基本关系的运用．
【分析】利用同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，求
得
sinα
的值．
【解答】解：∵
cosα=
﹣，
α
是第三象限的角，则
sinα=
﹣
故选：
C
．
5
．已知函数
f
（
x
）
=a
x
（
a
＞
0
，
a
≠
1
）在[
1
，
2
]上的最大值和最小值的和为
6
，
则
a=
（ ）
A
．
2 B
．
3 C
．
4 D
．
5
=
﹣，
【考点】
49
：指数函数的图象与性质．
【分析】根据指数函数的单调性在定义域是要么递增，要么递减，即看求解．
【解答】解：根据指数函数的性质：
当
x=1
时，
f
（
x
）取得最大值，那么
x=2
取得最小值，
或者
x=1
时，
f
（
x
）取得最小值，那么
x=2
取得最大值．
∴
a
+
a
2
=6
．
∵
a
＞
0
，
a
≠
1
，
∴
a=2
．
故选：
A
．
6
．在△
ABC
中，
a=b
，
A=120°
，则
B
的大小为（ ）
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A
．
30° B
．
45° C
．
60° D
．
90°
【考点】
HP
：正弦定理．
【分析】由已知利用正弦定理，特殊角的三角函数值可求
sinB=
，结合
B
的范
围即可得解
B
的值．
【解答】解：∵
a=
∴由正弦定理
又∵
B
∈（
0°
，
60°
），
∴
B=30°
．
故选：
A
．
7
．一支田径队有男运动员
49
人，女运动员
35
人，用分层抽样的方法从全体运
动员中抽出一个容量为
24
的样本，则应从男运动员中抽出的人数为（ ）
A
．
10 B
．
12 C
．
14 D
．
16
【考点】
B3
：分层抽样方法．
【分析】先求出每个个体被抽到的概率，再用男运动员的人数乘以此概率，即得
所求．
【解答】解：每个个体被抽到的概率等于
数为
49
×
=14
，
故选：
C
8
．已知
tanα=2
，则
tan
（
α
﹣
A
．
B
．
C
．
D
．﹣
3
【考点】
GR
：两角和与差的正切函数．
【分析】由题意直接利用两角差的正切公式，求得要求式子的值．
【解答】解：∵
tanα=2
，则
tan
（
α
﹣
故选：
B
．
）
==
，
）
=
（ ）
=
，则应从男运动员中抽出的人
b
，
A=120°
，
，可得：
sinB=
，
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9
．圆
x
2
+
y
2
=1
与圆（
x
+
1
）
2
+（
y
+
4
）
2
=16
的位置关系是（ ）
A
．相外切
B
．相内切
C
．相交
D
．相离
【考点】
JA
：圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】求出两个圆的圆心与半径，通过圆心距与半径的关系判断选项即可．
【解答】解：圆
x
2
+
y
2
=1
的圆心（
0
，
0
）半径为
1
；圆（
x
+
1
）
2
+（
y
+
4
）
2
=16
的
圆心（﹣
1
，﹣
4
），半径为
4
，
圆心距为：
=
，半径和为
5
，半径差为：
3
，（
3
，
5
）．
所以两个圆的位置关系是相交．
故选：
C
．
10
．如图，圆
O
内有一个内接三角形
ABC
，且直径
AB=2
，∠
ABC=45°
，在圆
O
内随机撒一粒黄豆，则它落在三角形
ABC
内（阴影部分）的概率是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
【考点】
CF
：几何概型．
【分析】根据题意，计算圆
O
的面积
S
圆
和△
ABC
的面积
S
△
ABC
，求它们的面积比
即可．
【解答】解：圆
O
的直径
AB=2
，半径为
1
，
所以圆的面积为
S
圆
=π•1
2
=π
；
△
ABC
的面积为
S
△
ABC
=•2•1=1
，
在圆
O
内随机撒一粒黄豆，它落在△
ABC
内（阴影部分）的概率是
P==
．
故选：
D
．
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二、填空题（共
5
小题，每小题
4
分，满分
20
分）
11
．不等式
x
2
﹣
5x
≤
0
的解集是 {
x
|
0
≤
x
≤
5
} ．
【考点】
74
：一元二次不等式的解法．
【分析】把不等式
x
2
﹣
5x
≤
0
化为
x
（
x
﹣
5
）≤
0
，求出解集即可．
【解答】解：不等式
x
2
﹣
5x
≤
0
可化为
x
（
x
﹣
5
）≤
0
，
解得
0
≤
x
≤
5
，
∴不等式的解集是{
x
|
0
≤
x
≤
5
}．
故答案为：{
x
|
0
≤
x
≤
5
}．
12
．把二进制数
10011
（
2
）
转化为十进制的数为
19
．
【考点】
WC
：
mod
的完全同余系和简化剩余系．
【分析】本题的考查点为二进制与十进制数之间的转换，只要我们根据二进制转
换为十进制方法逐位进行转换，即可得到答案．
【解答】解：
10011
（
2
）
=1
+
1
×
2
+
1
×
2
4
=19
故答案为：
19
13
．已知函数
f
（
x
）
=Asinωx
（
A
＞
0
，
ω
＞
0
）的图象如图所示，则
A
，
ω
的值分
别是
3
，
2
．
【考点】
HK
：由
y=Asin
（
ωx
+
φ
）的部分图象确定其解析式．
【分析】根据图象信息即可求出
A
，
ω
的值．
【解答】解：根据图象，可知最高点为
3
，最低点﹣
3
，
∴
A=3
．
从图可以看出周期
T=π
，即
∴
ω=2
．
=π
，
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