2024年3月19日发(作者：2014对口数学试卷江苏)
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2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
2
A{x|x4x30}
，
B{x|2x30}
，则
AIB
（1）设集合
333
3
(3,)(3,)(,3)
(1,)
2
（B）
2
（C）
2
（D）
2
（A）
（2）设
(1i)x1yi
，其中x，y是实数，则
xyi=
（A）1（B）
2
（C）
3
（D）2
（3）已知等差数列
{a
n
}
前9项的和为27，
a
10
=8
，则
a
100
=
（A）100（B）99（C）98（D）97
（4）某公司班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到
达发车站时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
（A）（B）（C）（D）
（5）已知方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是
（A）(–1,3) （B）(–1,3) （C）(0,3) （D）(0,3)
（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，
则它的表面积是
（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π
（7）函数y=2x
2
–e
|
x
|
在[–2,2]的图像大致为
（A）（B）
1
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（C）
（D）
（8）若
ab10，c1
，则
（A）
a
c
b
c
（B）
ab
c
ba
c
（C）
alog
b
cblog
a
c
（D）
log
a
clog
b
c
（9）执行右面的程序图，如果输入的
x0，y1，n1
，则输出x，y的值满足
（A）
y2x
（B）
y3x
（C）
y4x
（D）
y5x
(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.已知|AB|=
42
，|DE|=
25
，
则C的焦点到准线的距离为
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
(11)平面a过正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的顶点A，a//平面CB
1
D
1
，
a
平面ABCD=m，
a
平面ABA
1
B
1
=n，
则m、n所成角的正弦值为
(A)
1
323
(B) (C) (D)
223
3
12.已知函数
f(x)sin(
x+
)(
0，
2
),x
4
为
f(x)
零点，
x
4
为
yf(x)
图像的对称轴，
且
f(x)
在
5
，
单调，则
的最大值为
1836
（A）11 （B）9 （C）7 （D）5
2
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第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)
题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
(13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|
2
=|a|
2
+|b|
2
，则m=.
(14)
(2xx)
5
的展开式中，x
3
的系数是.（用数字填写答案）
满足a
1
+a
3
=10，a
2
+a
4
=5，则a
1
a
2
…
a
n
的最大值为。 （15）设等比数列
（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料1.5kg，
乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A
的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过
600个工时条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元。
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本题满分为12分）
VABC
的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知
2cosC(acosB+bcosA)c.
（I）求C；
（II）若
c7,VABC
的面积为
33
，求
VABC
的周长．
2
（18）（本题满分为12分）
如图，在已A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，
AFD90
o
，且二
面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是
60
．
o
（I）证明平面ABEF
EFDC；
3
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（II）求二面角E-BC-A的余弦值．
（19）（本小题满分12分）
某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购
买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买
机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，
得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记
X
表示2台机器
三年内共需更换的易损零件数，
n
表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
（I）求
X
的分布列；
（II）若要求
P(Xn)0.5
，确定
n
的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在
n19
与
n20
之中选其一，应选用哪个？
20. （本小题满分12分）
设圆
xy2x150
的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B
作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明
EAEB
为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C
1
，直线l交C
1
于M,N两点，学科&网过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q
两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
（21）（本小题满分12分）
22
4
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已知函数
(I)求a的取值范围；
(II)设x
1
，x
2
是
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以⊙O为圆心，OA为半径作圆.
(I)证明：直线AB与O相切；
(II)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.
的两个零点，学科.网证明：+x
2
<2.
有两个零点.
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy中，曲线C
1
的参数方程为
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C
2
：ρ=4cosθ.
（I）说明C
1
是哪种曲线，学.科.网并将C
1
的方程化为极坐标方程；
（II）直线C
3
的极坐标方程为θ=α
0
，其中α
0
满足tanα
0
=2，若曲线C
1
与C
2
的公共点都在C
3
上，求a。
（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)= ∣x+1∣-∣2x-3∣.
（I）在答题卡第（24）题图中画出y= f(x)的图像；
（II）求不等式∣f(x)∣﹥1的解集。
（t为参数，a＞0）。在以坐标原点为极点，x
5
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6
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2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）D（2）B（3）C（4）B（5）A（6）A
（7）D（8）C（9）C（10）B（11）A（12）B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
(13)
2
(14)10
（15）64 （16）
216000
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分为12分）
解：（I）由已知及正弦定理得，
2cosC
sincossincos
sinC
，
即
2cosCsin
sinC
．
故
2sinCcosCsinC
．
可得
cosC
1
，所以
C
．
23
133
absinC
．
22
（II）由已知，
又
C
3
，所以
ab6
．
22
由已知及余弦定理得，
ab2abcosC7
．
故
ab13
，从而
ab
25
．
22
2
所以
C
的周长为
57
．
（18）（本小题满分为12分）
解：（I）由已知可得
FDF
，
FF
，所以
F
平面
FDC
．
又
F
平面
F
，故平面
F
平面
FDC
．
（II）过
D
作
DGF
，垂足为
G
，由（I）知
DG
平面
F
．
uuur
uuur
以
G
为坐标原点，
GF
的方向为
x
轴正方向，
GF
为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系
Gxyz
．
7
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