哥德巴赫猜想和陈景润

2024年3月19日发(作者：江西初中数学试卷初一上册)

哥德巴赫猜想和陈景润

在研究任何数表示成几个质数的和的问题上，两百多年前，彼得堡科学院院

士哥德巴赫曾研究过这个问题，他取了很多数做试验，想把它们分解成几个素数

的和，结果得到一个断语：

“总可将任何一个数分解成不超过三个素数之和．”但是哥德巴赫不能证明

这个问题，甚至连如何证明的方法也没有，于是他写信给另一名彼得堡科学院院

士、著名数学家欧拉，他在1742年6月7日的信中写道：

我想冒险发表下列假定“大于5的任何数都是三个素数的和．”这就是以后

举世闻名的哥德巴赫猜想．

同年6月30日，欧拉给哥德巴赫的回信中说，

“我认为‘每一个偶数都是两个素数之和’虽然我还不能证明它，但我确信

这个论断是完全正确的．”

这样两个数学家的通信内容传播出来之后，人们就称这个猜想为哥德巴赫猜

想或者哥德巴赫——欧拉猜想．

完整些说，哥德巴赫猜想是，

“大于1的任何数都是三个素数的和”

后来，人们把它归纳为：

命题A：每一个大于或者等于6的偶数，都可以表示为两个奇素数的和；

命题B：每一个大于或者等于9的奇数，都可以表示为三个奇素数的和．

例如：

50=19+31； 51=7+13+31；

52=23+29； 53=3+19+31．

或50=3+47=7+43=13+37=19+31等．

哥德巴赫猜想是极难证明的，1900年，著名数学家希尔伯特在巴黎国际数

学家会议上提出了世界数学要研究的23个题目(名为希尔伯特问题)，其中哥德

巴赫猜想命题A与另外两个有关问题一起，被概括成希尔伯特第8问题．这是

著名的世界难题．

1912年，第五届国际数学家会议上，著名数论大师兰道发言说，有四个数

论上的问题是当时的科学水平不能解决的，其中一个是哥德巴赫猜想，即使把它

改为较弱的命题：不论是不超过3个，还是不超过30个，只要证明存在着这样

的正数C，而能使每一个大于或等于2的整数，都可以表示为不超过C个素数之

和”(称为命题C)，也是当代数学家力所不能及的．

1921年，著名数论大师哈代，在哥本哈根召开的国际数学会上说，哥德巴

赫猜想的困难程度，可以与任何没有解决的数学问题相比，是极其困难的，但是

他没有说是不可能的．

事情出乎意料，哥德巴赫猜想问题的解决出现了一些转机，坚不可摧的哥德

巴赫堡垒正在逐个被攻破．

1930年，25岁的苏联数学家列夫·格里高维奇·西涅日尔曼(1905～1938)，

用他创造的“正密率法”证明了兰道认为当代数学家力所不能及的命题C，还估

算出这个数C不会超过S，并算出S≤800000．人们称S为西涅日尔曼常数．这

是哥德巴赫猜想的第一个重大突破，可惜这位天才数学家只活了三十三岁．

1930年以后，数学家兰道、罗曼诺夫、赫力邦、李奇等对西涅日尔曼方法

作了最准确的分析，竞相缩小S的估值，到1937年，得到S≤67，又是一大进

步．

重要的是不论一个数是多么大，都可将它分解成索数的和的问题已被证明

了，如对于数

835

或者对于我们已知的9

99

(这个数之大可以写出来编成30大卷的书)，即使这

样，我们同样可以断定，它们可以表示成不超过67个素数的和．甚至休克斯提

出的“空前的数”

这种比9

99

大得多的数，也能根据西涅日尔曼的证明，表示成不超过67个素

数的和的形状．

1937年，苏联科学院院士伊凡·马特维奇·维诺格拉多夫，应用英国数学

家哈代与李脱伍特创造的“圆法”和他创造的“三角和法”证明了：

对于充分大的奇数，西涅日尔曼常数不超过3．或者说成：对于充分大的奇

数，都可表示为三个奇数之和．

维诺格拉多夫基本上解决了命题B、通常称为“三素数定理”．他的工作，

相当于证明了西涅日尔曼常数S≤4．

命题B基本上被解决了，然而到命题A的证明竟是如此困难，有人从6－

－3300000中的任何偶数，发现都能表示成两个奇素数之和，但这仅是验证即使

到三千三百亿也还是有限个数，用它来作为证明还是不行的，人们追求的仍然是

从数学上证明，每个大于或等于6的偶数都可表示为两个奇素数之和，再多的有

限数，即使再大到无法想象的数也无用，除非找到反例否定哥德巴赫猜想．

人们在研究命题A的过程中，开始引进了“殆素数”的概念．所谓“殆素

数”就是素数因子(包括相同的和不同的)的个数不超过某一固定常数的自然数．

我们知道除1以外，任何一个正整数，一定能表示成若干素数的乘积，其中

每一个素数，都叫做这个正整数的素因子．相同的素因子要重复计算，它有多少

素因子是一个确定的数．

例如从25～30这六个数中

25=5×5 有2个素因子，

26=2×13 有2个素因子，

27=3×3×3 有3个素因子，

23=2×2×7 有3个素因子，

29是素数 有1个素因子，

30=2×3×5 有3个素因子．

于是可说25、26、29是素因子不超过2的殆素数，27、28、30是素因子不

超过3的殆素数．

用殆素数的新概念，可以提出命题D来接近命题A．

命题D：每一个充分大的偶数，都是素因子的个数不超过m与n的两个殆

素数之和．这个命题简化为“m+n”．

这样，哥德巴赫猜想的最后证明的方向目标就更明朗化了，就是如果能证明，

凡是比某一个正整数大的任何偶教，都能表示成一个素数加上两个素数相乘，或

者表示成一个素数加上一个索数，就算证明了“1+2”．当然如果能证明“1+1”

就基本上证明了命题A，也就是基本上解决了哥德巴赫猜想了，这是一个世界性

的数学会战的大难题．

向“1+1”进军开始了．

纪录不断被刷新，且看：

1920年 挪威数学家布朗证明了“9+9”．

1924年 德国数学家拉代马哈证明了“7+7”．

1932年 英国数学家埃斯特曼证明了“6+6”．

1938年 苏联数学家布赫雪托布证明了“5+5”．

1940年 苏联数学家布赫雪托布证明了“4+4”．

1938年 中国数学家华罗庚证明了几乎全体偶数都能表示成两个素 数之

和，即几乎所有偶数“1+1”成立．

1956年 中国数学家王元证明了“3+4”．

1956年 苏联数学家维诺格拉多夫证明了“3+3”．

1957年 中国数学家王元又证明了“2+3”．

1962年 中国年轻数学家潘承桐证明了“1+5”，这是证明了相加的两个数

中，有一个肯定是素数的成果，而另一个殆素数的因子小到不超过5．

1962年 苏联数学家巴尔巴恩也证明了”1+5”．

1963年 中国数学家王元、潘承桐、及苏联数学家巴尔巴恩分别证 明了

“1+4”．

1965年 维诺格拉多夫、布赫雪托布证明了“1+3”．

1965年 意大利数学家朋比尼也证明了“1+3”．

1966年 中国数学家陈景润宣布证明了“1+2”．

这是哥德巴赫猜想的攻坚战中，在经历了240年的漫长的历程中所取得的全

世界公认的最好的研究成果，可是由于没有发表详细的证明，因此在国际上反响

不大．

1973年 陈景润在极其困难的条件下，继续奋战，发表了他的著名论文：《大

偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》，发表了全部详细的论

证．这一成就立即轰动了全世界，在数学界引起了强烈的反响．人们都称道中国

年轻数学家陈景润的巨大贡献．英国数学家哈勃斯丹和西德数学家李希特合著的

数论著作《筛法》已在印刷厂排印，当见到陈景润的论文后，立即增补了专章，

并冠以“陈氏定理”，基本上全文转载了陈景润的论文．这使我国在哥德巴赫猜

想研究上居于世界领先的地位．

当然，从陈景润的“1+2”到“1+1”似乎只差最后的一步就可以摘取数学

皇冠上的这颗明珠——哥德巴赫猜想的证明了，可是事实上这最后的冲刺有多少

艰难险阻谁也难以预料，从1966年陈景润证明了“1+2”到现在20余年过去了，

多少数论学家、数学家努力改进证明方法，但至今仍无明显进展，当时32岁的

陈景润如今已是58岁的人了，而且身体因车祸受损伤，精力体力均不支，最后

的攻坚冲刺就留待我们青少年一代了．