上海高三数学知识点总结

2023年12月9日发(作者：上海一模统考数学试卷答案)

高中数学知识点总结

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如：集合Ax|ylgx，By|ylgx，C(x,y)|ylgx，A、B、C

中元素各表示什么？

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合Ax|x22x30，Bx|ax1

若BA，则实数a的值构成的集合为1（答：1，0，）3



3. 注意下列性质：

（1）集合a1，a2，„„，an的所有子集的个数是2n；

（2）若ABABA，ABB；

（3）德摩根定律：

CUABCUACUB，CUABCUACUB如：已知关于x的不等式

4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

的取值范围。

ax50的解集为M，若3M且5M，求实数ax2a

（∵3M，∴a·35032aa·55052a5a1，9，25）3

∵5M，∴

5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”()，“且”()和

“非”().

若pq为真，当且仅当p、q均为真

若pq为真，当且仅当p、q至少有一个为真若p为真，当且仅当p为假 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？

（互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

（定义域、对应法则、值域）

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数y

x4xlgx32的定义域是

（答：0，22，33，4） 10. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则函数F(x)f(x)f(x)的定

义域是_____________。

（答：a，a）

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

如：fx1exx，求f(x).

令tx1，则t0

2∴xt1

t∴f(t)e

21t21

x∴f(x)e

21x21x0

12. 反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

1x如：求函数f(x)2x

1x0的反函数x0

x1x1（答：f(x)）xx0

13. 反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；

②保存了原来函数的单调性、奇函数性； 1③设yf(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)=bf(b)a

f1f(a)f1(b)a，ff1(b)f(a)b

14. 如何用定义证明函数的单调性？

（取值、作差、判正负）

如何判断复合函数的单调性？

（yf(u)，u(x)，则yf(x)

（外层）（内层）

当内、外层函数单调性相同时f(x)为增函数，否则f(x)为减函数。）

如：求ylog1x22x的单调区间2

2（设ux2x，由u0则0x2

且log1u，ux11，如图：

22

u

O 1 2 x

2当x(0，1]时，u，又log1u，∴y

当x[1，2)时，u，又log1u，∴y2

∴„„）

15. 如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f\'(x)0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于

零，不影响函数的单调性），反之也对，若f\'(x)0呢？

如：已知a0，函数f(x)x3ax在1，上是单调增函数，则a的最大 B. 1 C. 2 D. 3

值是（ ）

A. 0

aa（令f\'(x)3x2a3xx033 则x

aa或x33

a1，即a33

由已知f(x)在[1，)上为增函数，则

∴a的最大值为3）

16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？

（f(x)定义域关于原点对称）

若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称

若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。

a·2xa2如：若f(x)为奇函数，则实数ax21

（∵f(x)为奇函数，xR，又0R，∴f(0)0

a·20a2即0，∴a1）021

2x又如：f(x)为定义在(1，1)上的奇函数，当x(0，1)时，f(x)x，41

求f(x)在1，1上的解析式。

2x（令x1，0，则x0，1，f(x)x41

2x2x又f(x)为奇函数，∴f(x)x4114x

2xx41又f(0)0，∴f(x)x24x1

17. 你熟悉周期函数的定义吗？

x(1，0)x0x0，1）

（若存在实数T（T0），在定义域内总有fxTf(x)，则f(x)为周期 函数，T是一个周期。）

如：若fxaf(x)，则

（答：f(x)是周期函数，T2a为f(x)的一个周期）

又如：若f(x)图象有两条对称轴xa，xb

即f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)

则f(x)是周期函数，2ab为一个周期

如：

18. 你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(x)的图象关于y轴对称

f(x)与f(x)的图象关于x轴对称f(x)与f(x)的图象关于原点对称f(x)与f1(x)的图象关于直线yx对称f(x)与f(2ax)的图象关于直线xa对称f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称左移a(a0)个单位yf(xa)将yf(x)图象右移a(a0)个单位yf(xa)

上移b(b0)个单位yf(xa)b下移b(b0)个单位yf(xa)b

注意如下“翻折”变换： f(x)f(x)f(|x|)

f(x)

如：f(x)log2x1

作出ylog2x1及ylog2x1的图象

y

y=log2x

O 1 x

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k<0) y

(k>0)

y=b

O’(a,b)

O x

x=a

（1）一次函数：ykxbk0

（2）反比例函数：ykkk0推广为ybk0是中心O\'(a，b)xxa

2

的双曲线。

2b4acb2（3）二次函数yaxbxca0ax图象为抛物线2a4a

b4acb2b顶点坐标为，，对称轴x2a4a2a

开口方向：a0，向上，函数ymin4acb24a

a0，向下，ymax4acb24a 应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

ax2bxc0，0时，两根x1、x2为二次函数yax2bxc的图象与x轴

的两个交点，也是二次不等式ax2bxc0(0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

0b2如：二次方程axbxc0的两根都大于kk2af(k)0

y

(a>0)

O k x1 x2 x

一根大于k，一根小于kf(k)0

（4）指数函数：yaxa0，a1

（5）对数函数ylogaxa0，a1 由图象记性质！ （注意底数的限定！）

y

y=ax(a>1)

(01)

1

O 1 x

(0

（6）“对勾函数”yx

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

kk0x y

k

O

k

x

20. 你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a01(a0)，ap

1(a0)ap

a

mna(a0)，anmmn1nam(a0)

对数运算：logaM·NlogaMlogaNM0，N0logaM1nlogMlogN，logMlogaaaaMNn

logax对数恒等式：ax

对数换底公式：logab

21. 如何解抽象函数问题？

（赋值法、结构变换法）

logcbnlogambnlogablogcam

如：（1）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)为奇函数。

（先令xy0f(0)0再令yx，„„）

（2）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)是偶函数。

（先令xytf(t)(t)f(t·t)

∴f(t)f(t)f(t)f(t)

∴f(t)f(t)„„）

（3）证明单调性：f(x2)fx2x1x2„„

22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。） 如求下列函数的最值：

（1）y2x3134x

（2）y

2x4x3

2x2（3）x3，yx3

（4）yx49x2设x3cos，0，（5）y4x9，x(0，1]x



23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

R

1弧度

O R

（l·R，S扇11l·R·R2）22

24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

MP，cosOM，tanAT

siny

T

B S

P

α

O

M

A x

如：若

0，则sin，cos，tan的大小顺序是8

又如：求函数y12cosx的定义域和值域。2（∵12cosx）12sinx02

∴sinx

2，如图：2

∴2k

25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

5x2kkZ，0y1244

sinx1，cosx1

y

ytgx

x





O

22

对称点为k，0，kZ2

ysinx的增区间为2k，2kkZ22 3减区间为2k，2kkZ22

图象的对称点为k，0，对称轴为xkycosx的增区间为2k，2kkZ

kZ2

减区间为2k，2k2kZ

图象的对称点为k，0，对称轴为xkkZ2ytanx的增区间为k，kkZ22

26. 正弦型函数y=Asinx+的图象和性质要熟记。或yAcosx（1）振幅|A|，周期T2||

若fx0A，则xx0为对称轴。

若fx00，则x0，0为对称点，反之也对。（2）五点作图：令x依次为0，

（x，y）作图象。

3，，，2，求出x与y，依点22

（3）根据图象求解析式。（求A、、值）

(x1)0如图列出(x)22



解条件组求、值 正切型函数yAtanx，T

||

27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。

23如：cosx，x，，求x值。622

375513（∵x，∴x，∴x，∴x）26636412

28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？

如：函数ysinxsin|x|的值域是

（x0时，y2sinx2，2，x0时，y0，∴y2，2） 29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？

（平移变换、伸缩变换）

平移公式：

x\'xha(h，k)（1）点P（x，y）P\'（x\'，y\'），则平移至y\'yk

（2）曲线f(x，y)0沿向量a(h，k)平移后的方程为f(xh，yk)0



如：函数y2sin2x1的图象经过怎样的变换才能得到ysinx的4

图象？

12倍（y2sin2x1横坐标伸长到原来的y2sin2x1424左平移个单位

1个单位42sinx1y2sinx1上平移y2sinx4

12ysinx）纵坐标缩短到原来的倍

30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如：1sin2cos2sec2tan2tan·cotcos·sectan

cos0„„称为1的代换。2

“k·”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，2

sin“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

4 如：cos

97tansin2164sintan，则y的值为coscot B. 负值 C. 非负值

D. 正值

又如：函数y

A. 正值或负值

sin2sincos1cos（y0，∵0）coscos2sin1cossin

sin 31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？

理解公式之间的联系：

令sincoscossinsin22sincossin

令2coscoscossinsincos2co2ssin

tantantan22

2cos112sin

1tan·tan1cos22

1cos22sin2co2stan2

2tan

21tan

asinbcosa2b2sin，tanba

sincos2sin4

3

sin3cos2sin 应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）

具体方法：

（1）角的变换：如，

„„222

（2）名的变换：化弦或化切

（3）次数的变换：升、降幂公式

（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

如：已知

sincos21，tan，求tan2的值。1cos23 sincoscos11，∴tan2sin2

2sin2

2又tan3

（由已知得：21tantan1∴tan32）2tan1tan12·18·tan32

32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？

b2c2a2余弦定理：abc2bccosAcosA2bc

222 （应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

a2RsinAabc正弦定理：2Rb2RsinBsinAsinBsinCc2RsinC

1Sa·bsinC2

∵ABC，∴ABC

ABC∴sinC，sincosABsin22

AB如ABC中，2sin2cos2C12

（1）求角C；

c2（2）若ab，求cos2Acos2B的值。2

222（（1）由已知式得：1cosAB2cosC11



2又ABC，∴2cosCcosC10

1或cosC1（舍）2

又0C，∴C3

1（2）由正弦定理及a2b2c2得：2

322222sinA2sinBsinCsin34

31cos2A1cos2B4

∴cosC3∴cos2Acos2B）4

33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

反正弦：arcsinx，，x1，122

反余弦：arccosx0，，x1，1

反正切：arctanx，，xR22

34. 不等式的性质有哪些？

（1）ab，

c0acbcc0acbc

（2）ab，cdacbd

（3）ab0，cd0acbd

（4）ab0

1111，ab0abab

nnnn（5）ab0ab，ab

（6）|x|aa0axa，|x|axa或xa

如：若110，则下列结论不正确的是（ab）

22A.ab

b2

2ba

C.|a||b||ab|

答案：C

35. 利用均值不等式：

aba2b22aba，bR；ab2ab；ab求最值时，你是否注2

2意到“a，bR”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(ab)其中之一为定

值？（一正、二定、三相等）

注意如下结论：

a2b2ab2ababa，bR22ab



当且仅当ab时等号成立。

a2b2c2abbccaa，bR

当且仅当abc时取等号。

ab0，m0，n0，则

bbmana1aambnb

4如：若x0，23x的最大值为x

4（设y23x2212243x当且仅当3x

423，又x0，∴x时，ymax243）x3

又如：x2y1，则2x4y的最小值为x2yx2y1（∵222222，∴最小值为22）

36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？

（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）

并注意简单放缩法的应用。

111„222223n

111111（122„„21„„122323nn1n如：证明1

11211111„„223n1n

12）n37.解分式不等式

f(x)aa0的一般步骤是什么？g(x)

（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）

38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

如：x1x1x20

23 39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如：对数或指数的底分a1或0a1讨论

40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）

例如：解不等式|x3|x11

1）2

（解集为x|x

41.会用不等式|a||b||ab||a||b|证明较简单的不等问题

2如：设f(x)xx13，实数a满足|xa|1

求证：f(x)f(a)2(|a|1)

22|f(x)f(a)||(xx13)(aa13)| 证明：|(xa)(xa1)|(|xa|1)|xa||xa1||xa1|

|x||a|1

又|x||a||xa|1，∴|x||a|1

∴f(x)f(a)2|a|22|a|1

（按不等号方向放缩）

42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）

如：af(x)恒成立af(x)的最小值

af(x)恒成立af(x)的最大值

af(x)能成立af(x)的最小值

例如：对于一切实数x，若x3x2a恒成立，则a的取值范围是（设ux3x2，它表示数轴上到两定点2和3距离之和

umin325，∴5a，即a5

或者：x3x2x3x25，∴a5） 定义：an1and(d为常数)，ana1n1d

43. 等差数列的定义与性质

等差中项：x，A，y成等差数列2Axy

前n项和Sna1annna21nn12d

性质：an是等差数列

（1）若mnpq，则amanapaq；

（2）数列a2n1，a2n，kanb仍为等差数列；

Sn，S2nSn，S3nS2n„„仍为等差数列；

（3）若三个数成等差数列，可设为ad，a，ad；

（4）若an，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，则

amS2m1；bmT2m1

2（5）a为等差数列Sanbn（a，b为常数，是关于n的常数项为

nn

0的二次函数）

2S的最值可求二次函数Sanbn的最值；或者求出an中的正、负分界

nn

项，即：

an0当a10，d0，解不等式组可得Sn达到最大值时的n值。a0n1

an0当a10，d0，由可得Sn达到最小值时的n值。a0n1

如：等差数列an，Sn18，anan1an23，S31，则n

（由anan1an233an13，∴an11

又S3a1a3·33a221，∴a213

11na1anna2an1·n3∴Sn18222

n27）

44. 等比数列的定义与性质 定义：

an1q（q为常数，q0），ana1qn1an

2等比中项：x、G、y成等比数列Gxy，或Gxy

na1(q1)前n项和：Sna11qn（要注意!）(q1)1q



性质：an是等比数列

（1）若mnpq，则am·anap·aq

（2）Sn，S2nSn，S3nS2n„„仍为等比数列

45.由Sn求an时应注意什么？

（n1时，a1S1，n2时，anSnSn1）

46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？

例如：（1）求差（商）法

111如：an满足a12a2„„nan2n5222

1n1时，a1215，∴a1142 解：

111n2时，a12a2„„n1an12n15222

112得：nan22

n1∴a2n

1

2

14(n1)∴ann1(n2)2

［练习］

数列an满足SnSn15an1，a14，求an3

（注意到an1Sn1Sn代入得：

Sn14Sn

n又S4，∴S是等比数列，S41nn

n1n2时，aSS„„3·4nnn1 （2）叠乘法

例如：数列an中，a13，

an1n，求anann1

a2aaa12n11·3„„n·„„，∴naa2an123na1n 解：1

（3）等差型递推公式

又a13，∴an3n

由anan1f(n)，a1a0，求an，用迭加法

n2时，a2a1f(2)a3a2f(3)两边相加，得：„„„„anan1f(n)

ana1f(2)f(3)„„f(n)

∴ana0f(2)f(3)„„f(n)

［练习］

n1数列a，a1，a3an1n2，求an

n1n

1（an3n1）2

 （4）等比型递推公式

ancan1dc、d为常数，c0，c1，d0

可转化为等比数列，设anxcan1x

ancan1c1x

令(c1)xd，∴xdc1

dd∴an是首项为a，c为公比的等比数列1c1c1

∴an

ddn1a1·cc1c1

dn1d∴ana1cc1c1 ［练习］

数列an满足a19，3an1an4，求an

n14（an83

（5）倒数法

1）

例如：a11，an1

2an，求anan2

由已知得：

1an1an2112an2an

∴

1an111an2

111为等差数列，1，公差为aa12

n



1111n1·n1an22

2n1

47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？

例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

∴an

如：an是公差为d的等差数列，求1k1akak1

n11111由d0aaddaaa·akkkk1kk1 解：

n1111∴aadaak1kk1k1kk1n

1111111„„da1a2a2a3anan1

［练习］

111da1an1

求和：1

111„„12123123„„n

（2）错位相减法：

（an„„„„，Sn21）n1

若an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn（差比数列）前n项

和，可由SnqSn求Sn，其中q为bn的公比。

23n1如：S12x3x4x„„nxn

1

234n1nx·Sx2x3x4x„„n1xnxn

2n1n12：1xS1xx„„xnxn

2

x1时，Sn

1xnxnn1x21x

x1时，Sn123„„nnn12

（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

Sna1a2„„an1an相加Sanan1„„a2a1

n

2Sna1ana2an1„„a1an„„

［练习］

x2111已知f(x)，则f(1)f(2)ff(3)ff(4)f24231x

x1（由f(x)fx1x2

2x2112221x1x11x

1x2111∴原式f(1)f(2)ff(3)ff(4)f234

111113）2

2 48. 你知道储蓄、贷款问题吗？

△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：

若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：

nn1Snp1rp12r„„p1nrpnr„„等差问题2 △若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）

若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足

np(1r)x1r

n1x1rn2„„x1rx

11rn1rn1xx11rr

∴xpr1rn

p——贷款数，r——利率，n——还款期数

49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

（1）分类计数原理：Nm1m2„„mn

（mi为各类办法中的方法数）

分步计数原理：Nm1·m2„„mn

（mi为各步骤中的方法数）

（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一1rn1

列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为Amn.

Amnnn1n2„„nm1

规定：0!1

（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不n!mnnm!

同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为Cmn.

nn1„„nm1Amn!Cnm!m!nm!Ammmn

0规定：Cn1

（4）组合数性质：

mnmmm1m01nnCC，CCC，CC„„C2nnnnn1nnn

50. 解排列与组合问题的规律是： 相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。

如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

xi89，90，91，92，93，(i1，2，3，4)且满足x1x2x3x4， 则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ）

A. 24 B. 15

解析：可分成两类：

C. 12 D. 10



（1）中间两个分数不相等，

4有C5（种）

5

（2）中间两个分数相等

x1x2x3x4

相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。

∴共有5＋10＝15（种）情况

51. 二项式定理

n0n1n12n22rnrrnn(ab)CaCabCab„Cab„Cnnnnnb

rnrr二项展开式的通项公式：TCb(r0，1„„n)

r1na

rC

n为二项式系数（区别于该项的系数）

性质：

r（1）对称性：CrnCnr0，1，2，„„，nn

01nn（2）系数和：CC„C2nnn

135024n1CCC„CCC„2nnnnnn

（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

n2；n为奇数时，(n1)为偶数，中间两项的二项式1项，二项式系数为Cn2

n1n1系数最大即第项及第1项，其二项式系数为Cn2Cn222

n1n1n如：在二项式x1的展开式中，系数最小的项系数为11（用数字

表示）

（∵n＝11

∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第

126或第7项2

r11rr由Cx(1)，∴取r5即第6项系数为负值为最小：

11

65CC426

1111

又如：12x

2004a0a1xa2x2„„a2004x2004xR，则

（用数字作答）

a0a1a0a2a0a3„„a0a2004

（令x0，得：a01

令x1，得：a0a2„„a20041

∴原式2003a0a0a1„„a20042003112004）

52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？

（1）必然事件，P)1，不可能事件，P()0

（2）包含关系：AB，“A发生必导致B发生”称B包含A。

A B

（3）事件的和（并）：AB或AB“A与B至少有一个发生”叫做A与B

的和（并）。

（4）事件的积（交）：A·B或AB“A与B同时发生”叫做A与B的积。

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。

A·B （6）对立事件（互逆事件）：

“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A

AA，AA

（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。

53. 对某一事件概率的求法：

分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即

P(A)

A包含的等可能结果m一次试验的等可能结果的总数n

（2）若A、B互斥，则PABP(A)P(B)

（3）若A、B相互独立，则PA·BPA·PB

（4）P(A)1P(A)

（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生

kk次的概率：Pn(k)Ckp1pnnk

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。

（1）从中任取2件都是次品；

C22P124C1015

（2）从中任取5件恰有2件次品；

3C2C1046P2521C10

（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品； 解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103

而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”

∴mC3·464

23C2443·4·64∴P3125

103

2213 （4）从中依次取5件恰有2件次品。

解析：∵一件一件抽取（有顺序）

∴nA10，mC4A5A6

23C2104A5A6∴P4521

A10

5223 分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。

54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。

55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。

要熟悉样本频率直方图的作法：

（1）算数据极差xmaxxmin；

（2）决定组距和组数；

（3）决定分点；

（4）列频率分布表；

（5）画频率直方图。

其中，频率小长方形的面积组距×

频率组距

1x1x2„„xnn

1222样本方差：S2x1xx2x„„xnxn

样本平均值：x 如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。

42C10C5（6）C15

56. 你对向量的有关概念清楚吗？

（1）向量——既有大小又有方向的量。

（2）向量的模——有向线段的长度，|a|

（3）单位向量|a0|1，a0

（4）零向量0，|0|0

a|a|

长度相等（5）相等的向量ab方向相同

在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。

（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。

规定零向量与任意向量平行。

b∥a(b0)存在唯一实数，使ba

（7）向量的加、减法如图：





OAOBOC



OAOBBA

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

e1，e2是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一

实数对1、2，使得a1e12e2，e1、e2叫做表示这一平面内所有向量

的一组基底。

（9）向量的坐标表示



i，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得

axiyj，称(x，y)为向量a的坐标，记作：ax，y，即为向量的坐标设ax1，y1，bx2，y2

表示。

则abx1，y1y1，y2x1y1，x2y2ax1，y1x1，y1



若Ax1，y1，Bx2，y2则ABx2x1，y2y1|AB|

57. 平面向量的数量积

x2x12y2y12，A、B两点间距离公式



（1）a·b|a|·|b|cos叫做向量a与b的数量积（或内积）。

为向量a与b的夹角，0，

B



b

O



a

 D A

数量积的几何意义：



a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos的乘积。

 （2）数量积的运算法则

①a·bb·a

②(ab)ca·cb·c



③a·bx1，y1·x2，y2x1x2y1y2



注意：数量积不满足结合律(a·b)·ca·(b·c)

（3）重要性质：设ax1，y1，bx2，y2

①a⊥ba·b0x1·x2y1·y20

②a∥ba·b|a|·|b|或a·b|a|·|b|

ab（b0，惟一确定）

x1y2x2y10

③a|a|xy，|a·b||a|·|b|

222121④cos

［练习］

a·b|a|·|b|x1x2y1y2222x1y1·x22y2



（1）已知正方形ABCD，边长为1，ABa，BCb，ACc，则

|abc| 答案：22

答案：2



（2）若向量ax，1，b4，x，当x时a与b共线且方向相同

（3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|o

答案：13

58. 线段的定比分点

设P1x1，y1，P2x2，y2，分点Px，y，设P1、P2是直线l上两点，P点在

l上且不同于P1、P2，若存在一实数，使P1PPP2，则叫做P分有向线段

P1P2所成的比（0，P在线段P1P2内，0，P在P1P2外），且

x1x2x1x2xx12，P为P1P2中点时，yy1y2yy1y212





如：ABC，Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3

yy2y3xx2x3则ABC重心G的坐标是1，1

33

※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？

59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？

平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

线∥线线∥面面∥面判定性质线⊥线线⊥面面⊥面

线∥线线⊥面面∥面

线面平行的判定：

a∥b，b面，aa∥面

a

b



线面平行的性质：

∥面，面，ba∥b

三垂线定理（及逆定理）：

PA⊥面，AO为PO在内射影，a面，则

a⊥OAa⊥PO；a⊥POa⊥AO

P

O

a

线面垂直：

a⊥b，a⊥c，b，c，bcOa⊥

a

O

α b c

面面垂直：

a⊥面，a面⊥

面⊥面，l，a，a⊥la⊥

α a

l

β

a⊥面，b⊥面a∥b

面⊥a，面⊥a∥

a b



60. 三类角的定义及求法

（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

o＝0时，b∥或b

oo（3）二面角：二面角l的平面角，0180

（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）

三类角的求法：

①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。

③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。

［练习］

（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。

证明：coscos·cos

A

θ

O

β

B

C D

α

（为线面成角，∠AOC=，∠BOC=）

（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。

①求BD1和底面ABCD所成的角；

②求异面直线BD1和AD所成的角；

③求二面角C1—BD1—B1的大小。 D1 C1

A1 B1

H

G

D C

A B

36（①arcsin；②60o；③arcsin）43

（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。

P F

D C

A E B

（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线„„）

61. 空间有几种距离？如何求距离？

点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。

将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。

如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则：

（1）点C到面AB1C1的距离为___________；

（2）点B到面ACB1的距离为____________；

（3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________；

（4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________；

（5）点B到直线A1C1的距离为_____________。 D C

A B

D1 C1

A1 B1

62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？

正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

RtSOB，RtSOE，RtBOE和RtSBE

它们各包含哪些元素？

S正棱锥侧V锥

63. 球有哪些性质？

1底面积×高3

1C·h\'（C——底面周长，h\'为斜高）2

22（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面rRd

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！

（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。

（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。

如：一正四面体的棱长均为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面

（4）S球4R2，V球4R33 积为（ ）

A.3B.4C.33D.6

答案：A

64. 熟记下列公式了吗？

（1）l直线的倾斜角0，，ktan

12

11 （2）直线方程：

y2y1，x1x2x2x12

Px，y，Px2，y2是l上两点，直线l的方向向量a1，k

点斜式：yy0kxx0（k存在）

斜截式：ykxb

截距式：

xy1ab

一般式：AxByC0（A、B不同时为零）

（3）点Px0，y0到直线l：AxByC0的距离d

Ax0By0CA2B2

（4）l1到l2的到角公式：tan

k2k11k1k2

l1与l2的夹角公式：tan

k2k11k1k2

65. 如何判断两直线平行、垂直？

A1B2A2B1l1∥l2ACA2C1

12

k1k2l1∥l2（反之不一定成立）

A1A2B1B20l1⊥l2

k1·k21l1⊥l2

66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系？

圆心到直线的距离与圆的半径比较。

直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。

67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？

联立方程组关于x（或y）的一元二次方程“”

0相交；0相切；0相离 68. 分清圆锥曲线的定义

椭圆PF1PF22a，2a2cF1F2第一定义双曲线PF1PF22a，2a2cF1F2抛物线PFPK

第二定义：e

PFPKca

0e1椭圆；e1双曲线；e1抛物线

y

b

O

F1 F2 a x

a2x

c

x2y221ab02ab

a

2b2c2

x2y221a0，b02ab

c

2a2b2

e>1 e =1

P

0

F

k

x2y2x2y269.与双曲线221有相同焦点的双曲线系为220abab

70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）

弦长公式P1P21kx21x24x1x22

1212y1y24y1y2k

71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？

如：

y

P(x0,y0)

K

F1 O F2

x

l



x2y2212ab

a2e，PF2ex0ex0aPKc

PF2PF1ex0a y

A P2

O F x

P1

B

2y2pxp0

通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。

72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

22如：椭圆mxny1与直线y1x交于M、N两点，原点与MN中点连

线的斜率为2m，则的值为2n

m22 答案：n 73. 如何求解“对称”问题？

（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A\'（x\'，y\'）为A关于点M的对称点。

（由a

xx\'yy\'，bx\'2ax，y\'2by）22

只要证明A\'2ax，2by也在曲线C上，即f(x\')y\'AA\'⊥l（2）点A、A\'关于直线l对称AA\'中点在l上

kAA\'·kl1AA\'中点坐标满足l方程

xrcos74.圆xyr的参数方程为（为参数）yrsin

222xacosx2y2椭圆221的参数方程为（为参数）abybsin

75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。

（直接法、定义法、转移法、参数法）

76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。