高中数学——正余弦定理

2024年4月3日发(作者：西安交大数学试卷)

解三角形

9.1 正弦定理与余弦定理

9.1.1 正弦定理

学 习 目 标

1.掌握正弦定理的内容及其证明方法．(重点)

2．理解正弦定理及其变形的结构形式，并能用正弦定理解

核 心 素 养

1.借助正弦定理的推导，提升数

学抽象、逻辑推理的素养．

决三角形度量和边角转化问题，会判三角形的形状．(难点) 2．通过正弦定理的应用的学习，

3．能根据正弦定理确定三角形解的个数．(难点、易错点)

培养数学运算、直观想象的素养.

关于正弦定理的发现历史，一般认为是中世纪阿拉伯数学家、天文学家阿布瓦法(940～

998)提出并证明了球面三角形的正弦定理，而平面三角形的正弦定理的证明最先是纳绥尔丁­

图西(1201～1274)给出的．我国清代数学家梅文鼎(1633～1721)在他的著作《平三角举要》

中也给出了证明，而且还给出了正弦定理的完整形式．

思考：三角形中的边与其所对的角的正弦值之间具有什么关系？

1．三角形的面积公式

111

(1)

S

＝

a

·

h

a

＝

b

·

h

b

＝

c

·

h

c

(

h

a

，

h

b

，

h

c

分别表示

a

，

b

，

c

边上的高)．

222

111

(2)

S

＝

ab

sin

C

＝

bc

sin

A

＝

ac

sin

B

.

222

1

(3)

S

＝(

a

＋

b

＋

c

)·

r

(

r

为内切圆半径)．

2

2．正弦定理

3．解三角形

(1)一般地，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素．

- 1 -

(2)已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形．

思考：利用正弦定理解三角形需要哪些条件？

[提示] 需要两角和一边或两边和其中一边的对角．

[拓展]

1．正弦定理的常用变形式

在△

ABC

中，若内角

A

，

B

，

C

所对的边长分别为

a

，

b

，

c

，其外接圆半径为

R

.则

(1)

a

sin

B

＝

b

sin

A

，

b

sin

C

＝

c

sin

B

，

a

sin

C

＝

c

sin

A

；

(2)sin

A

∶sin

B

∶sin

C

＝

a

∶

b

∶

c

；

abca

＋

b

＋

c

(3)＝＝＝＝2

R

；(证明见类型4[探究问题])

sin

A

sin

B

sin

C

sin

A

＋sin

B

＋sin

C

(4)

a

＝2

R

sin

A

，

b

＝2

R

sin

B

，

c

＝2

R

sin

C

；(可以实现边到角的转化)

(5)sin

A

＝，sin

B

＝，sin

C

＝.(可以实现角到边的转化)

2

R

2

R

2

R

2．三角形中边角的不等关系

(1)若

A

＞

B

＞

C

，可得

a

＞

b

＞

c

，则sin

A

＞sin

B

＞sin

C

；

(2)若sin

A

＞sin

B

＞sin

C

，可得

a

＞

b

＞

c

，则

A

＞

B

＞

C

.

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)正弦定理不适用于钝角三角形．

(2)在△

ABC

中，等式

b

sin

A

＝

a

sin

B

总能成立．

[提示] (1)×.正弦定理适用于任意三角形．

(2)√.由正弦定理知＝，即

b

sin

A

＝

a

sin

B

.

sin

A

sin

B

( )

( )

abc

ab

[答案] (1)× (2)√

2．在△

ABC

中，sin

A

＝sin

C

，则△

ABC

是( )

A．直角三角形

C．锐角三角形

B．等腰三角形

D．钝角三角形

B [因为

A

，

C

是△

ABC

的内角，所以

A

＋

C

＜π，又因为sin

A

＝sin

C

，所以

A

＝

C

，即

△

ABC

为等腰三角形．]

1

3．在△

ABC

中，已知

a

＝3，

b

＝5，sin

A

＝，则sin

B

＝( )

3

155

A. B． C. D．1

593

1

5×

3

5

abb

sin

A

B [由正弦定理＝可得，sin

B

＝＝＝，故选B.]

sin

A

sin

Ba

39

- 2 -