高中数学正弦定理和余弦定理知识点

2024年4月3日发(作者：天津中考数学试卷一共几套)

高中数学正弦定理和余弦定理知识点

高中数学正弦定理

概述

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

正弦定理

(1)已知三角形的两角与一边，解三角形

(2)已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形

(3)运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系

直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。[1]

证明

步骤1

在锐角△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足为点

HCH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinA得到a/sinA=b/sinB同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步骤2.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD

交⊙O于D.连接DA因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度

因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠C.所以

c/sinC=c/sinD=BD=2R类似可证其余两个等式。

高中数学余弦定理

概述

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形

两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移

于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值

性质

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角

的余弦的两倍积，若三边为a，b，c 三角为A，B，C ，则满足性质——

S△ABC=1/2absinS△ABC=1/2bcsinAS△ABC=1/2acsinB

第一余弦定理(任意三角形射影定理)

设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a=b·cos

C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。

证明

平面向量证法(觉得这个方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cosθ本

来还是由余弦定理得出来的，怎么又能反过来证明余弦定理)∵如图，有a+b=c (平行

四边形定则：两个邻边之间的对角线代表两个邻边大

小)∴c·c=(a+b)·(a+b)∴c?=a·a+2a·b+b·b∴c?=a?+b?+2|a||b|Cos(π-θ)又

∵Cos(π-θ)=-Cosθ∴c?=a?+b?-2|a||b|Cosθ(注意：这里用到了三角函数公式)再

拆开，得c?=a?+b?-2abcosC即 cosC=(a2+b2-c2)/2__a__b同理可证其他，而下面的

cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左边表示一下。

平面几何证法

在任意△ABC中做AD⊥BC.

∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

则有BD=cosB__c，AD=sinB__c，DC=BC-BD=a-cosB__c

根据勾股定理可得：

AC?=AD?+DC?b?=(sinB c)?+(a-cosB c)?b?=(sinB__c)?+a?-2ac

cosB+(cosB)?c?b?=(sin?B+cos?B) c?-2ac cosB+a?b?=c?+a?-2ac cosBcosB=(c?+a?-

b?)/2ac

高中数学常考知识及解题技巧

1、函数

函数题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一

定理”。

2.方程或不等式

如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法;

3.初等函数

面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的

性质。如所过的定点，二次函数的对称轴或是……;

4.选择与填空中的不等式

选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法;