高中正弦余弦定理的解析

2024年4月3日发(作者：江西广丰初一数学试卷)

高中正弦余弦定理的解析

一、考点回顾：

1、正弦定理：

⑴定理内容：

abc

sinA



sinB



sinC

2R

SbcsinA

11

ABC



1

22

absinC

2

acsinB

⑵公式的变形：

①

a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC

②

sinA

a

2R

,sinB

b

2R

,sinC

c

2R

③

sinA:sinB:sinCa:b:c

④

abcac

sinA+sinB+sinC



sinA

=

b

sinB

=

sinC

=2R

⑶利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：

①已知两角和任一边，求其它两边和一角；

②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步其它的边和角

2、余弦定理：

222

⑴定理内容：

a

2

b

2

c

2

2bccosA,



cosA

bca

2bc

22

2cacosB,



cosB

c

2

a

2

b

2

b

2

ca

2ca

2

c

2

a

2

b

2

2abcosC

，



cosC

ab

2

c

2

2ab

⑵公式的变形：

变一：

a

2





bc



2

2bc



1cosA







bc



2

4bccos

2

A

2

a

2





b-c



2

+2bc



1-cosA







b-c



2

4bcsin

2

A

2

1

变二：

b

2

c

2

a

2

4S



ABC



cotA

变三：

sin

2

A+sin

2

B-2sinAsinBcosC=sin

2

C

⑶应用余弦定理解以下两类三角形问题：

①已知三边求三内角；

②已知两边和它们的夹角，求第三和其它的两个内角

3、解三角形：

解斜三角形,就是利用三角形的已知元素,求出未知元素的过程.条件必须满足3个,就是在斜三

角形三角三边六个元素中,必须已知其中的三个,而已知三个角时,三角形不确定,所以三个条件中

至少要有一条边.这样我们可以把已知条件分为三种类型:

① 已知三边.由定理可知,要用余弦定理开解;

② 已知两角一边.因为三角形的三个内角和是180°,所以实际是已知三角一边,由定理可知,不管

是已知夹边还是对边,用正弦定理都可以解;

③ 已知两边一角.这种类型要注意.由定理可知,若是已知夹角要用余弦定理来解.

经过这样的分析,我们可以进行总结并归纳为口诀:

“三边必定用余弦,还有两边夹一角;正弦两边一对角,双角必定用正弦.”

4、射影定理：a＝bcosC＋ccosB，

二、思维拓展：

1注意正余弦定理的边角互换功能

对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它其实，在涉及到三

角形的其他问题中，也常会用到它们两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系

转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决



例1：在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形



证法一：欲证△

ABC

为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩

含角的三角函数由正弦定理得

a

＝

bsinA

sinB

∴2

b

cos

C

＝

bsinA

sinB

，即2cos

C

·sin

B

＝sin

A

＝sin（

B

＋

C

）＝sin

B

cos

C

＋cos

B

sin

C

∴sin

B

cos

C

－cos

B

sin

C

＝0

2