2023年12月3日发(作者：八上上册数学试卷)
人教版初一数学下册常考试题(详细解析)
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This document is for reference 新人教版初一数学（下）数学常考试题
一、选择题（共30小题）
1．（常考指数：106）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AED′=40°，则∠EFB等于（ ）
70°
A．B．
65°
C．
80°
D．
35°
考点： 翻折变换（折叠问题）．
专题： 数形结合．
分析：
根据平角的知识可求出∠DED′的度数，再由折叠的性质可得出∠D′EF=∠DEF=∠DED′，从而根据平行线的性质可得出∠EFB的度数．
解答： 解：∵∠AED′=40°，
∴∠DED′=180°﹣40°=140°，
又由折叠的性质可得，∠D′EF=∠DEF=∠DED′，
∴∠DEF=70°，
又∵AD∥BC，
∴∠EFB=70°．
故选：A．
点评：
此题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是根据折叠的性质得出∠D′EF=∠DEF=∠DED′，难度一般．
2．（常考指数：69）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）
30°
A．
考点： 平行线的性质．
分析： 本题主要利用两直线平行，同位角相等作答．
B．
25°
C．
20°
D．
15° 解答： 解：根据题意可知，两直线平行，同位角相等，
∴∠1=∠3
∵∠3+∠2=45°，
∴∠1+∠2=45°
∵∠1=20°，
∴∠2=25°．
故选：B．
点评： 本题主要考查了两直线平行，内错角相等的性质，需要注意隐含条件，直尺的对边平行，等腰直角三角板的锐角是45°的利用．
3．（常考指数：79）如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），则棋子“炮”的坐标为（ ）
（3，2） A．
考点： 坐标确定位置．
B． （3，1） C． （2，2） D． （﹣2，2）
分析： 根据已知两点的坐标确定符合条件的平面直角坐标系，然后确定其它点的坐标．
解答： 解：由棋子“车”的坐标为（﹣2，3）、棋子“马”的坐标为（1，3）可知，平面直角坐标系的原点为底边正中间的点，以底边为x轴，向右为正方向，以左右正中间的线为y轴，向上为正方向；
根据得出的坐标系可知，棋子“炮”的坐标为（3，2）．
故选：A．
点评： 此题考查了点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力，解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．
4．（常考指数：94）不等式组
A．
B．
的解集在数轴上表示为（ ）
C．
D．
- 3 - 考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
专题： 计算题．
分析： 本题应该先对不等式组进行化简，然后在数轴上分别表示出x的取值范围．
解答：
解：不等式组由①得，x＞1，
由②得，x≥2，
故不等式组的解集为：x≥2，
在数轴上可表示为：故选：A．
点评： 本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．要注意x是否取得到，若取得到则x在该点是实心的．反之x在该点是空心的．
5．（常考指数：71）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）的位置在（ ）
第一象限 A．
考点： 点的坐标．
分析： 应先判断出所求点P的横坐标、纵坐标的符号，进而判断其所在的象限．
解答： 解：∵点P（﹣1，2）的横坐标﹣1＜0，纵坐标2＞0，
∴点P在第二象限．
故选：B．
点评： 本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
6．（常考指数：72）下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（ ）
A．B． C． D．
B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
考点： 平行线的判定与性质．
分析： 根据平行线的性质求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．
解答： 解：A、∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°，
- 4 - 故A选项错误；
B、∵AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
故B选项正确；
C、∵AB∥CD，
∴∠BAD=∠CDA，
若AC∥BD，可得∠1=∠2；
故C选项错误；
D、若梯形ABCD是等腰梯形，可得∠1=∠2，
故D选项错误．
故选：B．
点评： 此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
7．（常考指数：88）4的算术平方根是（ ）
±2
A．
考点： 算术平方根．
专题： 计算题．
分析： 本题是求4的算术平方根，应看哪个正数的平方等于4，由此即可解决问题．
解答：
解：∵=2，
B．
±
C．
D．
2
∴4的算术平方根是2．
故选：D．
点评： 此题主要考查了算术平方根的运算．一个数的算术平方根应该是非负数．
8．（常考指数：90）如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，则物体A的质量m（g）的取值范围，在数轴上可表示为（ ）
- 5 -
A．
B．
C．
D．
考点： 一元一次不等式的应用；在数轴上表示不等式的解集．
分析： 根据图形就可以得到重物A，与砝码的关系，得到重物A的范围．
解答： 解：由图中左边的天平可得m＞1，由右边的天平可得m＜2，
即1＜m＜2，
在数轴上表示为：故选：A．
点评： 此题考查了不等式的解集在数轴上的表示方法，在数轴上表示解集时，注意空心圆圈和失信圆点的区别．还要注意确定不等式组解集的规律：大小小大中间跑．
9．（常考指数：73）如果a与﹣2互为倒数，那么a是（ ）
﹣2 A．
考点： 倒数．
分析： 根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答．
解答： 解：∵a与﹣2互为倒数，
∴a是﹣．
故选：B．
点评： 本题考查了倒数的定义，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．是基础题，熟记概念是解题的关键．
10．（常考指数：108）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（ ）
B．
﹣
C．
D．
2
- 6 -
32°
A．B．
58°
C．
68°
D．
60°
考点： 平行线的性质；余角和补角．
专题： 计算题．
分析： 本题主要利用两直线平行，同位角相等及余角的定义作答．
解答： 解：根据题意可知，∠2=∠3，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠2=90°﹣∠1=58°．
故选：B．
点评： 主要考查了平行线的性质和互余的两个角的性质．互为余角的两角的和为90°．解此题的关键是能准确的从图中找出这两个角之间的数量关系，从而计算出结果．
11．（常考指数：72）如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
三角形的稳定性 A．
两点确定一条直线 C．
考点： 三角形的稳定性．
分析： 根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释．
解答： 解：构成△AOB，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故选：A．
点评： 本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．
12．（常考指数：89）如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（ ）
B． 两点之间线段最短
D． 垂线段最短
- 7 -
∠1=∠3
A．
考点： 平行线的判定．
分析： 在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
解答： 解：
A、∠1与∠3是l1与l2形成的内错角，由∠1=∠3由能判断直线l1∥l2，故A选项不符合题意；
B、∠2与∠3不是l1与l2形成的角，由∠2=∠3不能判断直线l1∥l2，故B选项符合题意；
C、∠4与∠5是l1与l2形成的同位角，由∠4=∠5能判断直线l1∥l2，故D选项不符合题意；
D、∠2与∠4是l1与l2形成的同旁内角，由∠2+∠4=180°能判断直线l1∥l2，故C选项不符合题意．
故选：B．
点评： 正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两条被截直线平行．
13．（常考指数：66）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣2，x）在第二象限，则x的取值范围为（ ）
0＜x＜2 A．
考点： 点的坐标．
分析： 根据第二象限内的点的坐标特征，列出不等式组，通过解不等式组解题．
解答： 解：∵点P（x﹣2，x）在第二象限，
∴，解得0＜x＜2，
B． x＜2 C． x＞0 D． x＞2
B．
∠2=∠3
C．
∠4=∠5
D．
∠2+∠4=180°
∴x的取值范围为0＜x＜2，
故选：A．
点评： 坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围，比如本题中求x的取值范围．
14．（常考指数：70）解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是（ ）
- 8 -
A．
B．
C．
D．
考点： 在数轴上表示不等式的解集．
分析： 由数轴可以看出不等式的解集在﹣3到2之间，且不能取到﹣3，能取到2，即﹣3＜x≤2．
解答： 解：根据数轴得到不等式的解集是：﹣3＜x≤2．
A、不等式组的解集是x≥2，故A选项错误；
B、不等式组的解集是x＜﹣3，故B选项错误；
C、不等式组无解，故C选项错误．
D、不等式组的解集是﹣3＜x≤2，故D选项正确．
故选：D．
点评： 在数轴上表示不等式组解集时，实心圆点表示“≥”或“≤”，空心圆圈表示“＞”或“＜”．
15．（常考指数：74）不等式2x﹣6＞0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
考点： 在数轴上表示不等式的解集．
专题： 图表型．
分析： 不等式2x﹣6＞0的解集是x＞3，＞应向右画，且不包括3时，应用圈表示，不能用实心的原点表示3这一点，据此可求得不等式的解以及解集再数轴上的表示．
解答： 解：将不等式2x﹣6＞0移项，
可得：2x＞6，
将其系数化1，可得：x＞3；
∵不包括3时，应用圈表示，不能用实心的原点表示3这一点答案．
故选：A．
二、填空题（共30小题）
16．（常考指数：53）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形（实线）四条边上的整点个数共有 40 个．
B．
C．
D．
- 9 -
考点： 坐标与图形性质；正方形的性质．
专题： 规律型．
分析： 可以发现第n个正方形的整数点有4n个点，故第10个有40个整数点．
解答： 解：第一个正方形有4×1=4个整数点；
第2个正方形有4×2=8个整数点；
第3个正方形有4×3=12个整数点；
…
∴第10个正方形有4×10=40个整数点．
故答案为：40．
点评： 此题考查点的坐标规律、正方形各边相等的性质，解决本题的关键是观察分析，得到规律，这是中考的常见题型．
17．（常考指数：81）点P（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是 （﹣2，﹣3） ．
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析： 两点关于x轴对称，那么横坐标不变，纵坐标互为相反数．
解答： 解：点P（﹣2，3）关于x轴的对称，即横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴对称点的坐标是（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
点评： 本题考查关于x轴对称的点的坐标的特点，可记住要点或画图得到．
18．（常考指数：70）把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是 如果两个角是等角的补角，那么它们相等 ．
考点： 命题与定理．
分析： 命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．
解答： 解：题设为：两个角是等角的补角，结论为：相等，
- 10 - 故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么它们相等．
故答案为：如果两个角是等角的补角，那么它们相等．
点评： 本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
19．（常考指数：87）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n（n是正整数）个图案中由 （3n+1） 个基础图形组成．
考点： 规律型：图形的变化类．
专题： 规律型．
分析： 观察图形很容易看出每加一个图案就增加三个基础图形，以此类推，便可求出结果．
解答： 解：第一个图案基础图形的个数：3+1=4；
第二个图案基础图形的个数：3×2+1=7；
第三个图案基础图形的个数：3×3+1=10；
…
∴第n个图案基础图形的个数就应该为：（3n+1）．
故答案为：（3n+1）．
点评： 本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
20．（常考指数：62）线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标是 （1，2） ．
考点： 坐标与图形变化-平移．
分析： 由于线段CD是由线段AB平移得到的，而点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），比较它们的坐标发现横坐标增加5，纵坐标增加3，利用此规律即可求出点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标．
解答： 解：∵线段CD是由线段AB平移得到的，
而点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），
∴由A平移到C点的横坐标增加5，纵坐标增加3，
则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
- 11 - 点评： 本题主要考查坐标系中点、线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．
21．（常考指数：86）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3= 20 °．
考点： 平行线的性质；三角形的外角性质．
专题： 计算题．
分析： 本题主要利用两直线平行，同位角相等和三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和进行做题．
解答： 解：∵直尺的两边平行，
∴∠2=∠4=50°，
又∵∠1=30°，
∴∠3=∠4﹣∠1=20°．
故答案为：20．
点评： 本题重点考查了平行线的性质及三角形外角的性质，是一道较为简单的题目．
22．（常考指数：70）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE=150°，则∠C= 120 °．
考点： 平行线的性质；角平分线的定义；对顶角、邻补角．
专题： 计算题．
分析： 本题主要利用邻补角互补，平行线性质及角平分线的性质进行做题．
解答： 解：∵∠CDE=150°，
∴∠CDB=180﹣∠CDE=30°，
- 12 - 又∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB=30°；
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=60°，
∴∠C=180°﹣60°=120°．
故答案为：120．
点评： 本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．
23．（常考指数：101）把命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 两个角是对顶角 ，那么 这两个角相等 ．
考点： 命题与定理．
分析： 先找到命题的题设和结论，再写成“如果…，那么…”的形式．
解答： 解：∵原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”，
∴命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．
故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等．
点评： 本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
24．（常考指数：107）
考点： 算术平方根．
分析：
首先根据算术平方根的定义求出解答：
解：∵∴=4，
的算术平方根是=2．
的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果．
的算术平方根是 2 ．
故答案为：2．
点评：
此题主要考查了算术平方根的定义，注意要首先计算
25．（常考指数：65）如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是 连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短 ．
=4．
- 13 - 考点： 垂线段最短．
专题： 应用题．
分析： 过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．
解答： 解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短．
故答案为：连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．
点评： 本题是垂线段最短在实际生活中的应用，体现了数学的实际运用价值．
26．（常考指数：91）4的算术平方根是 2 ．
考点： 算术平方根．
分析： 如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．
解答：
解：∵22=4，
∴4算术平方根为2．
故答案为：2．
点评： 此题主要考查了算术平方根的概念，算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误．
27．（常考指数：54）关于x的不等式3x﹣2a≤﹣2的解集如图所示，则a的值是 ﹣ ．
考点： 解一元一次不等式组．
分析： 解出不等式的解，用含有字母a的代数式表示，根据数轴可以看出x≤﹣1，所以可以求出a的值．
解答：
解：解不等式得：x≤．
观察数轴知其解集为：x≤﹣1，
∴=﹣1，
∴a=﹣．
故答案为：﹣．
点评： 解答此类题，要懂得等量转换，注意数轴中的解集部分的端点是实心还是空心．
28．（常考指数：180）16的平方根是 ±4 ．
考点： 平方根．
- 14 - 专题： 计算题．
分析：
根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
解答：
解：∵（±4）2=16，
∴16的平方根是±4．
故答案为：±4．
点评： 本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
29．（常考指数：77）4的平方根是 ±2 ．
考点： 平方根．
专题： 计算题．
分析：
根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
解答：
解：∵（±2）2=4，
∴4的平方根是±2．
故答案为：±2．
点评： 本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
30．（常考指数：68）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第15个图形需要黑色棋子的个数是 255 ．
考点： 规律型：图形的变化类．
专题： 压轴题；规律型．
分析： 观察发现，每一条边上的黑色棋子的个数是这个多边形的边数减去1，又顶点处的黑色棋子被两条边公用，根据此规律列式计算即可．
解答： 解：第1个图形棋子个数是：（3﹣1）×3﹣3=（3﹣2）×3=3，
第2个图形棋子个数是：（4﹣1）×4﹣4=（4﹣2）×4=8，
第3个图形棋子个数是：（5﹣1）×5﹣5=（5﹣2）×5=15，
- 15 - 第4个图形棋子个数是：（6﹣1）×6﹣6=（6﹣2）×6=24，
…
按照这样的规律摆下去，
则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）=n2﹣2n．
第15个图形棋子个数是：（17﹣1）×17﹣17=（17﹣2）×17=255．
故答案为：255．
点评： 本题主要是对图形的变化规律的考查，观察出图形的边数与每一条边上的黑色棋子的个数是解题的关键．
三、解答题（共40小题）
31．（常考指数：56）荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货18吨．已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同．
（1）求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？
（2）若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元．通过计算求出该公司有几种租车方案？请你设计出来，并求出最低的租车费用．
考点： 二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．
专题： 应用题．
分析： （1）找出等量关系列出方程组再求解即可．本题的等量关系为“1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元”和“租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元”．
（2）得等量关系是“将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨同一种型号汽车每辆且同一种型号汽车每辆租车费用相同”．
解答： 解：（1）设租用一辆甲型汽车的费用是x元，租用一辆乙型汽车的费用是y元．
由题意得，；
解得：，
答：租用一辆甲型汽车的费用是800元，租用一辆乙型汽车的费用是850元．
（2）设租用甲型汽车z辆，租用乙型汽车（6﹣z）辆．
由题意得，
- 16 - 解得2≤z≤4，
由题意知，z为整数，
∴z=2或z=3或z=4，
∴共有3种方案，分别是：
方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆；
方案二：租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆；
方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆．
方案一的费用是800×2+850×4=5000（元）；
方案二的费用是800×3+850×3=4950（元）；
方案三的费用是800×4+850×2=4900（元）；
∵5000＞4950＞4900；
∴最低运费是方案三的费用：4900元；
答：共有三种方案，分别是：
方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆；
方案二：租用甲汽车3辆，租用乙型汽车3辆；
方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆．最低运费是4900元．
点评： 解题关键是要读懂题目的意思，找出（1）合适的等量关系：1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元”和“租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元”．（2）根据租车费用不超过5000元列出方程组，再求解．
32．（常考指数：49）某班到毕业时共结余经费1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为纪念．已知每件文化衫比每本相册贵9元，用200元恰好可以买到2件文件衫和5本相册．
（1）求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元？
（2）有几种购买文化衫和相册的方案哪种方案用于购买老师纪念品的资金更充足
考点： 二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．
专题： 方案型．
分析： （1）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即每件文化衫比每本相册贵9元，用200元恰好可以买到2件文件衫和5本相册．根据这两个等量关系可列出方程组．
（2）本题存在两个不等量关系，即设购买文化衫t件，购买相册（50﹣t）本，则1800﹣300≤35t+26（50﹣t）≤1800﹣270，根据t为正整数，解出不等式再进行比较即可．
- 17 - 解答： 解：（1）设每件文化衫和每本相册的价格分别为x元和y元，
则，
解得．
答：每件文化衫和每本相册的价格分别为35元和26元．
（2）设购买文化衫t件，购买相册（50﹣t）本，则：
1800﹣300≤35t+26（50﹣t）≤1800﹣270，
解得≤t≤，
∵t为正整数，
∴t=23，24，25，即有三种方案：
第一种方案：购买文化衫23件，相册27本，此时余下资金293元；
第二种方案：购买文化衫24件，相册26本，此时余下资金284元；
第三种方案：购文化衫25件，相册25本，此时余下资金275元．
∴第一种方案用于购买教师纪念品的资金更充足．
答：有3种购买文化衫和相册的方案，当购买文化衫23件，相册27本时，用于购买老师纪念品的资金更充足．
点评： 此类问题属于综合性的题目，问题（1）在解决时只需认真分析题意，找出本题存在的两个等量关系，即每件文化衫比每本相册费9元，用200元恰好可以买到2件文件衫和5本相册．根据这两个等量关系可列出方程组．
问题（2）需利用不等式解决，另外要注意，同实际相联系的题目，需考虑字母的实际意义，从而确定具体的取值．再进行比较即可知道哪个方案用于购买老师纪念品的资金更充足．
33．（常考指数：45）某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元．
甲 乙
5
60
价格（万元/台）
7
每台日产量（个）1
00
（1）按该公司要求可以有几种购买方案？
（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？
考点： 一元一次不等式的应用．
- 18 - 专题： 方案型．
分析： （1）设购买甲种机器x台（x≥0），则购买乙种机器（6﹣x）台，根据买机器所耗资金不能超过34万元，即购买甲种机器的钱数+购买乙种机器的钱数≤34万元．就可以得到关于x的不等式，就可以求出x的范围．
（2）该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，就是已知不等关系：甲种机器生产的零件数+乙种机器生产的零件数≤380件．根据（1）中的三种方案，可以计算出每种方案的需要资金，从而选择出合适的方案．
解答： 解：（1）设购买甲种机器x台（x≥0），则购买乙种机器（6﹣x）台．
依题意，得7x+5×（6﹣x）≤34．
解这个不等式，得x≤2，即x可取0，1，2三个值．
∴该公司按要求可以有以下三种购买方案：
方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台．
方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台．
方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台．
（2）根据题意，100x+60（6﹣x）≥380，
解之，可得：x≥，
由上题解得：x≤2，即≤x≤2，
∴x可取1，2两个值，
即有以下两种购买方案：
方案二购买甲种机器1台，购买乙种机器5台，所耗资金为1×7+5×5=32万元；
方案三购买甲种机器2台，购买乙种机器4台，所耗资金为2×7+4×5=34万元．
∴为了节约资金应选择方案二．
故应选择方案二．
点评： 解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式，正确确定各种情况，确定各种方案是解决本题的关键．
34．（常考指数：42）某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾，甲种鱼苗每尾元，乙种鱼苗每尾元．相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%．
（1）若购买这批鱼苗共用了3600元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？
（2）若购买这批鱼苗的钱不超过4200元，应如何选购鱼苗？
（3）若要使这批鱼苗的成活率不低于93%，且购买鱼苗的总费用最低，应如何选购鱼苗？
- 19 - 考点： 一元一次不等式的应用；一次函数的应用．
专题： 压轴题．
分析： （1）×甲种鱼的尾数+×乙种鱼的尾数=3600；
（2）×甲种鱼的尾数+×乙种鱼的尾数≤4200；
（3）关系式为：甲种鱼的尾数×+乙种鱼的尾数×95%≥6000×93%．
解答： 解：（1）设购买甲种鱼苗x尾，则购买乙种鱼苗（6000﹣x）尾．
由题意得：+（6000﹣x）=3600，
解方程，可得：x=4000，
∴乙种鱼苗：6000﹣x=2000，
答：甲种鱼苗买4000尾，乙种鱼苗买2000尾；
（2）由题意得：+（6000﹣x）≤4200，
解不等式，得：x≥2000，
即购买甲种鱼苗应不少于2000尾，
∵甲、乙两种鱼苗共6000尾，
∴乙不超过4000尾；
答：购买甲种鱼苗应不少于2000尾，购买乙种鱼苗不超过4000尾；
（3）设购买鱼苗的总费用为w，甲种鱼苗买了a尾，则购买乙种鱼苗（6000﹣a）尾．
则w=+（6000﹣a）=﹣+4800，
由题意，有a+（6000﹣a）≥×6000，
解得：a≤2400，
在w=﹣+4800中，
∵﹣＜0，
∴w随a的增大而减少，
∴当a取得最大值时，w便是最小，
即当a=2400时，w最小=4080．
答：购买甲种鱼苗2400尾，乙种鱼苗3600尾时，总费用最低．
点评： 根据费用和成活率找到相应的关系式是解决本题的关键，注意不低于是大于或等于；不超过是小于或等于．
35．（常考指数：51）典典同学学完统计知识后，随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如下扇形和条形统计图：
- 20 - 请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）典典同学共调查了 500 名居民的年龄，扇形统计图中a= 20% ，b= 12% ；
（2）补全条形统计图；
（3）若该辖区年龄在0～14岁的居民约有3500人，请估计年龄在15～59岁的居民的人数．
考点： 扇形统计图；用样本估计总体；条形统计图．
专题： 图表型．
分析： （1）根据“15～40”的百分比和频数可求总数，进而求出b的值，最后求出a；
（2）利用总数和百分比求出频数再补全条形图；
（3）用样本估计总体即可．
解答： 解：（1）根据“15到40”的百分比为46%，频数为230人，可求总数为230÷46%=500，
a=×100%=20%，b=×100%=12%；
故答案为：20%；12%；
（2）
；
（3）在扇形图中，0～14岁的居民占20%，有3500人，则年龄在15～59岁的居民占（1﹣20%﹣12%）=68%，
人数为3500×=11900．
- 21 - 点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反映部分占总体的百分比大小．
36．（常考指数：46）一辆汽车从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了．
请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程．
考点： 二元一次方程组的应用．
分析：
在阅读考题中，要能获取题中相应的等量关系：从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路．得到：高速公路的长度=普通公路长度的两倍；汽车从A地到B地一共行驶了．最简单的是根据在普通公路的时间和在高速公路的时间提出问题，再设未知数，列方程组，解答问题．
解答： 方式1：问题：普通公路和高速公路各为多少千米？
解：设普通公路长为x（km），高速公路长为y（km）．
根据题意，得，
解得，
答：普通公路长为60km，高速公路长为120km．
方式2：问题：汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时？
解：设汽车在普通公路上行驶了x（h），高速公路上行驶了y（h）．
根据题意，得，
解得，
答：汽车在普通公路上行驶了1h，高速公路上行驶了．
方式3：问题：普通公路和两地公路总长各为多少千米？
解：设普通公路长xkm，两地公路总长ykm．
根据题意，得，
解得，
- 22 - 答：普通公路长60km，两地公路总长180km．
方式4：问题：普通公路有多少千米，汽车在普通公路上行驶了多少小时？
解：设普通公路长x（km），汽车在普通公路上行驶了y（h）．
根据题意，得，
解得，
答：普通公路长60km，汽车在普通公路上行驶了1h．
点评： 这是一道较为新颖的行程问题的应用题，考查学生分析问题，提出问题并解决问题的能力．
本题中常见的错误时：
（1）阅读能力差，找不出题中的数量关系，无法提出问题；
（2）对二元一次方程组的模型没有掌握，列不出方程组；
（3）少数人计算能力差，书写不规范等．找到两个等量关系是解决问题的关键．
37．（常考指数：54）某校师生积极为汶川地震灾区捐款，在得知灾区急需账篷后，立即到当地的一家账篷厂采购，帐篷有两种规格：可供3人居住的小账篷，价格每顶160元；可供10人居住的大账篷，价格每顶400元．学校花去捐款96000元采购这两种帐篷，正好可供2300人临时居住．
（1）求该校采购了多少顶3人小帐篷，多少顶10人大帐篷；
（2）学校现计划租用甲、乙两种型号的卡车共20辆将这批帐篷紧急运往灾区，已知甲型卡车每辆可同时装运4顶小帐篷和11顶大账篷，乙型卡车每辆可同时装运12顶小帐篷和7顶大帐篷．如何安排甲、乙两种卡车可一次性将这批帐篷运往灾区有哪几种方案？
考点： 一元一次不等式组的应用．
专题： 方案型．
分析： 1．首先设采购了x顶3人小帐篷，y顶10人大帐篷，列出二元一次方程组．
2．设甲型卡车安排了a辆，则乙型卡车安排了（20﹣a）辆，列出不等式组解答即可．
解答： 解：（1）设采购了x顶3人小帐篷，y顶10人大帐篷．
由题材意得．
解得．
答：采购了100顶3人小帐篷，200顶10人大帐篷．
（2）设甲型卡车安排了a辆，则乙型卡车安排了（20﹣a）辆，则
- 23 - ．
解得15≤a≤
∵a为整数，
∴a=15、16、17
则乙型卡车：20﹣a=5、4、3
答：有3种方案：
①甲型卡车15辆，乙型卡车5辆．
②甲型卡车16辆，乙型卡车4辆．
③甲型卡车17辆，乙型卡车3辆．
点评： 本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．
38．（常考指数：52）自从北京获得2008年夏季奥运会申办权以来，奥运知识在我国不断传播，小刚就本班学生的对奥运知识的了解程度进行了一次调查统计．A：熟悉，B：了解较多，C：一般了解．图1和图2是他采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：
（1）求该班共有多少名学生？
（2）在条形图中，将表示“一般了解”的部分补充完整；
（3）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；
（4）如果全年级共1000名同学，请你估算全年级对奥运知识“了解较多”的学生人数．
考点： 扇形统计图；用样本估计总体；条形统计图．
专题： 图表型．
分析： （1）利用A所占的百分比和相应的频数即可求出；
（2）利用C所占的百分比和总人数求出C的频数即可；
（3）求出“了解较多”部分所占的比例，即可求出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；
（4）利用样本估计总体，即可求出全年级对奥运知识“了解较多”的学生大约有1000×（1﹣50%﹣20%）- 24 - =300人．
解答： 解：（1）∵20÷50%=40（人），
答：该班共有40名学生；
（2）C：一般了解的人数为：40×20%=8（人），补充图如图所示：
（3）360°×（1﹣50%﹣20%）=108°，
所以在扇形统计图中，“了解较多”部分所对应的圆心角的度数为108°；
（4）1000×（1﹣50%﹣20%）=300，
所以全年级对奥运知识“了解较多”的学生大约有300人．
点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图则能直接反映部分占总体的百分比大小．
39．（常考指数：43）为满足市民对优质教育的需求某中学决定改变办学条件计划拆除一部分旧校舍、建造新校舍．拆除旧校舍每平米需80元，建造新校舍每平米需700元．计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共7200m2，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的80%，而拆除校舍则超过了10%，结果恰好完成了原计划的拆、除的总面积．
（1）求原计划拆建面积各多少m2
（2）若绿化1m2需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少m2
考点： 二元一次方程组的应用．
专题： 压轴题．
分析：
本题中的等量关系有：原计划拆除旧校舍的面积+原计划建造新校舍的面积=7200m2；原计划拆除旧校舍的面积×（1+10%）+原计划建造新校舍的面积×80%=7200m2，根据两个等量关系可列方程组求解．
- 25 - 解答：
解：（1）设原计划拆除旧校舍x（m2），新建校舍y（m2），根据题意得：
，
解得，
（2）实际比原计划拆除与新建校舍节约资金是：
（4800×80+2400×700）﹣（4800×（1+10%）×80+2400×80%×700）=297600．
用此资金可绿化面积是297600÷200=1488（m2）．
答：原计划拆除旧戌舍4800m2，新建校舍2400m2，实际施工中节约的资金可绿化1488m2．
点评： 解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
73．（常考指数：59）为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：
型号 占地面积 使用农户数 造价
（单位：万元/个）
2
3
（单位：m2/个 ）
（单位：户/个）
A
B
15
20
18
30
已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m2，该村农户共有492户．
（1）满足条件的方案共有几种？写出解答过程；
（2）通过计算判断，哪种建造方案最省钱？
考点： 一元一次不等式组的应用．
专题： 压轴题；方案型．
分析： （1）关系式为：A型沼气池占地面积+B型沼气池占地面积≤365；A型沼气池能用的户数+B型沼气池能用的户数≥492；
（2）由（1）得到情况进行分析．
解答： 解：（1）设建造A型沼气池x个，则建造B型沼气池（20﹣x）个，
依题意得：解得：7≤x≤9．
∵x为整数∴x=7，8，9，
，
- 26 - 所以满足条件的方案有三种．
（2）
解法①：设建造A型沼气池x个时，总费用为y万元，则：
y=2x+3（20﹣x）=﹣x+60，
∴y随x增大而减小，
当x=9时，y的值最小，此时y=51（万元）．
∴此时方案为：建造A型沼气池9个，建造B型沼气池11个．
解法②：由（1）知共有三种方案，其费用分别为：
方案一：建造A型沼气池7个，建造B型沼气池13个，
总费用为：7×2+13×3=53（万元）．
方案二：建造A型沼气池8个，建造B型沼气池12个，
总费用为：8×2+12×3=52（万元）．
方案三：建造A型沼气池9个，建造B型沼气池11个，
总费用为：9×2+11×3=51（万元）．
∴方案三最省钱．
点评： 此题是一道材料分析题，有一定的开放性，
（1）先根据“A型沼气池占地面积+B型沼气池占地面积≤365；A型沼气池能用的户数+B型沼气池能用的户数≥492”列出不等式；然后根据实际问题中x取整数确定方案；
（2）根据（1）中方案进行计算、比较即可得最省钱方案．
40．（常考指数：42）某超市销售有甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．
（1）若该超市同时一次购进甲、两种商品共80件，恰好用去1600元，求能购进甲乙两种商品各多少件？
（2）该超市为使甲、乙两种商品共80件的总利润（利润=售价﹣进价）不少于600元，但又不超过610元，请你帮助该超市设计相应的进货方案．
考点： 一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．
专题： 应用题；压轴题；方案型．
分析： 依据等量关系“购进甲、乙两种商品共80件，恰好用去1600元”列方程求得甲、乙两种商品的件数，然后依据不等关系“总利润不少于600元，但又不超过610元”列出不等式组，通过解不等式组来确定“进货方案”．
解答： 解：（1）设甲商品进了a件，则乙种商品进了（80﹣a）件，依题意得：
- 27 - 10a+（80﹣a）×30=1600，
解得：a=40，
即甲种商品进了40件，乙种商品进了80﹣40=40件．
（2）设购买甲种商品为x件，则购买乙种商品为（80﹣x）件，依题意可得：
，
解得：38≤x≤40．
即有三种方案，
方案一：甲38件，乙42件
方案二：甲39件，乙41件
方案三：甲40件，乙40件．
点评： 利用方程和不等式组解答的“方案设计题”是中考的热点考题，其关键点就是通过解不等式组求得某一个未知量的整数解，从而确定“设计方案”．
75．（常考指数：59）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本．
（1）求每支钢笔和每本笔记本的价格；
（2）校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．
考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
专题： 方案型．
分析： （1）用二元一次方程组解决问题的关键是找到两个合适的等量关系．本问中两个等量关系是：1支钢笔的价钱+3本笔记本的价钱=18，2支钢笔的价钱+5本笔记本的价钱=31，根据这两个等量关系可以列出方程组．
（2）本问可以列出一元一次不等式组解决．用笔记本本数=48﹣钢笔支数代入下列不等关系，购买钢笔钱数+购买笔记本钱数≤200，笔记本数≥钢笔数，可以列出一元一次不等式组，求出其解集，再根据笔记本数，钢笔数必须是整数，确定购买方案．
解答： 解：（1）设每支钢笔x元，每本笔记本y元．
依题意得：，
解得：，
答：每支钢笔3元，每本笔记本5元．
- 28 - （2）设买a支钢笔，则买笔记本（48﹣a）本
依题意得：解得：20≤a≤24，
∴一共有5种方案．
方案一：购买钢笔20支，则购买笔记本28本；
方案二：购买钢笔21支，则购买笔记本27本；
方案三：购买钢笔22支，则购买笔记本26本；
方案四：购买钢笔23支，则购买笔记本25本；
方案五：购买钢笔24支，则购买笔记本24本；
点评： 本题考查了一元一次不等式组的应用和二元一次方程组的应用，解题关键是找出题目中的等量关系或者不等关系：1支钢笔的价钱+3本笔记本的价钱=18，2支钢笔的价钱+5本笔记本的价钱=31，购买钢笔钱数+购买笔记本钱数≤200，笔记本数≥钢笔数．
41．（常考指数：46）某商场对今年端午节这天销售A、B、C三种品牌粽子的情况进行了统计，绘制如图所示的统计图．根据图中信息解答下列问题：
，
（1）哪一种品牌粽子的销售量最大？
（2）补全条形统计图；
（3）写出A品牌粽子在图中所对应的圆心角的度数；
（4）根据上述统计信息，明年端午节期间该商场对A、B、C三种品牌的粽子如何进货？请你提一条合理化的建议．
考点： 条形统计图；扇形统计图．
专题： 图表型．
- 29 - 分析： （1）从扇形统计图中得出C品牌的销售量最大，为50%；
（2）总销售量=1200÷50%=2400个，B品牌的销售量=2400﹣1200﹣400=800个，补全图形即可；
（3）A品牌粽子在图中所对应的圆心角的度数=360°×（400÷2400）=60°；
（4）由于C品牌的销售量最大，所以建议多进C种．
解答： 解：（1）从扇形统计图中得出C品牌的销售量最大，为50%；
（2）总销售量=1200÷50%=2400个，
B品牌的销售量=2400﹣1200﹣400=800个，
（3）A品牌粽子在图中所对应的圆心角的度数=360°×（400÷2400）=60°；
（4）建议：C品牌的粽子应该多进货．
点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
42．（常考指数：40）为了更好治理洋澜湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表：经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．
价格（万元/台）
A型
a
B型
b
180
处理污水量（吨/月）
240
（1）求a，b的值；
（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案；
（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理洋澜湖的污水量不低于1860吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
专题： 压轴题；阅读型；方案型；图表型．
- 30 - 分析： （1）因为购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元，所以有，解之即可；
（2）可设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备（10﹣x）台，则有12x+10（10﹣x）≤105，解之确定x的值，即可确定方案；
（3）因为每月要求处理洋澜湖的污水量不低于1860吨，所以有240x+180（10﹣x）≥1860，解之即可由x的值确定方案，然后进行比较，作出选择．
解答：
解：（1）根据题意得，
解得．
（2）设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备（10﹣x）台，根据题意得，
12x+10（10﹣x）≤105，
∴x≤，
∵x取非负整数，
∴x=0，1，2，
∴10﹣x=10，9，8，
∴有三种购买方案：
①A型设备0台，B型设备10台；
②A型设备1台，B型设备9台；
③A型设备2台，B型设备8台．
（3）由题意：240x+180（10﹣x）≥1860，
∴x≥1，
又∵x≤，
∴x为1，2．
当x=1时，购买资金为12×1+10×9=102（万元），
当x=2时，购买资金为12×2+10×8=104（万元），
∴为了节约资金，应选购A型设备1台，B型设备9台．
点评： 解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．要会用分类的思想来讨论求得方案的问题．
43．（常考指数：48）为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如右表：经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元．
- 31 - 价格（万元/台）
处理污水量（吨/月）
年消耗费（万元/台）
A型
12
240
1
B型
10
200
1
（1）请你设计该企业有几种购买方案；
（2）若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案；
（3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）
考点： 一元一次不等式的应用．
专题： 压轴题；方案型；图表型．
分析： （1）设购买污水处理设备A型x台，则B型（10﹣x）台，列出不等式方程求解即可，x的值取整数．
（2）如图列出不等式方程求解，再根据x的值选出最佳方案．
（3）首先计算出企业自己处理污水的总资金，再计算出污水排到污水厂处理的费用，相比较即可得解．
解答： 解：（1）设购买污水处理设备A型x台，
则B型（10﹣x）台．
12x+10（10﹣x）≤105，
解得x≤．
∵x取非负整数，
∴x可取0，1，2．
有三种购买方案：
方案一：购A型0台、B型10台；
方案二：购A型1台，B型9台；
方案三：购A型2台，B型8台．
（2）240x+200（10﹣x）≥2040，
解得x≥1，
∴x为1或2．
当x=1时，购买资金为：12×1+10×9=102（万元）；
当x=2时，购买资金为12×2+10×8=104（万元），
∴为了节约资金，应选购A型1台，B型9台．
（3）10年企业自己处理污水的总资金为：
- 32 - 102+1×10+9×10=202（万元），
若将污水排到污水厂处理：
2040×12×10×10=2448000（元）=（万元）．
节约资金：﹣202=（万元）．
点评： 此题将现实生活中的事件与数学思想联系起来，属于最优化问题．
（1）根据图表提供信息，设购买污水处理设备A型x台，则B型（10﹣x）台，然后根据买设备的资金不高于105万元的事实，列出不等式，再根据x取非负数的事实，推理出x的可能取值；
（2）通过计算，对三种方案进行比较即可；
（3）依据（2）进行计算即可．
44．（常考指数：44）为了抓住世博会商机，某商店决定购进A，B两种世博会纪念品，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品4件，B种纪念品3件，需要550元，
（1）求购进A，B两种纪念品每件需多少元？
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑到市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且不超过B种纪念品数量的8倍，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大最大利润是多少元
考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
专题： 压轴题；方案型．
分析： （1）关系式为：A种纪念品10件需要钱数+B种纪念品5件钱数=1000；A种纪念品4件需要钱数+B种纪念品3件需要钱数=550；
（2）关系式为：A种纪念品需要的钱数+B种纪念品需要的钱数≤10000；购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且不超过B种纪念品数量的8倍；
（3）计算出各种方案的利润，比较即可．
解答： 解：（1）设A，B两种纪念品每件需x元，y元．
，
解得：．
答：A，B两种纪念品每件需25元，150元；
（2）设购买A种纪念品a件，B种纪念品b件．
- 33 - ，
解得≤b≤．
则b=29；30；31；32；33；
则a对应为 226，220；214；208，202．
答：商店共有5种进货方案：进A种纪念品226件，B种纪念品29件；或A种纪念品220件，B种纪念品30件；或A种纪念品214件，B种纪念品31件；或A种纪念品208件，B种纪念品32件；或A种纪念品202件，B种纪念品33件；
（3）解法一：方案1利润为：226×20+29×30=5390（元）；
方案2利润为：220×20+30×30=5300（元）；
方案3利润为：214×20+30×31=5210（元）；
方案4利润为：208×20+30×32=5120（元）；
方案5利润为：202×20+30×33=5030（元）；
故A种纪念品226件，B种纪念品29件利润较大为5390元．
解法二：解：设利润为W元，则W=20a+30b，
∵25a+150b=1000，
∴a=400﹣6b，
∴代入上式得：W=8000﹣90b，
∵﹣90＜0，
∴W随着b的增大而减小，∴当b=29时，W最大，即此时a=226时，W最大，
∴W最大=8000﹣90×29=5390（元），
答：方案获利最大为：A种纪念品226件，B种纪念品29件，最大利润为5390元．
点评： 解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的相应的关系式是解决问题的关键，注意第二问应求得整数解．
45．（常考指数：53）为了防控甲型H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．
（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？
（2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？
考点： 二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
- 34 - 分析： （1）等量关系为：甲消毒液总价钱+乙消毒液总价钱=780．
（2）关系式为：甲消毒液总价钱+乙消毒液总价钱≤1200．
解答： 解：（1）设甲种消毒液购买x瓶，则乙种消毒液购买（100﹣x）瓶．
依题意得：6x+9（100﹣x）=780．
解得：x=40．
∴100﹣x=100﹣40=60（瓶）．
答：甲种消毒液购买40瓶，乙种消毒液购买60瓶．
（2）设再次购买甲种消毒液y瓶，则购买乙种消毒液2y瓶．
依题意得：6y+9×2y≤1200．
解得：y≤50．
答：甲种消毒液最多再购买50瓶．
点评： 解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系和不等关系式．等量关系为：甲消毒液总价钱+乙消毒液总价钱=780．不等关系式为：甲消毒液总价钱+乙消毒液总价钱≤1200．
46．（常考指数：85）如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°．将求∠AGD的过程填写完整．
∵EF∥AD，（ 已知 ）
∴∠2= ∠3 ．（两直线平行，同位角相等；）
又∵∠1=∠2，（ 已知 ）
∴∠1=∠3．（ 等量代换 ）
∴AB∥DG．（ 内错角相等，两直线平行； ）
∴∠BAC+ ∠AGD =180°（ 两直线平行，同旁内角互补； ）
又∵∠BAC=70°，（ 已知 ）
∴∠AGD= 110° ．
考点： 平行线的判定与性质．
专题： 推理填空题．
分析： 根据题意，利用平行线的性质和判定填空即可．
解答： 解：∵EF∥AD（已知），
- 35 - ∴∠2=∠3．（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1=∠2，（已知）
∴∠1=∠3，（等量代换）
∴AB∥DG．（内错角相等，两直线平行）
∴∠BAC+∠AGD=180°．（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠BAC=70°，（已知）
∴∠AGD=110°．
点评： 本题主要考查了平行四边形的性质和判定定理等知识点，理解平行四边形的性质和判定定理进行证明是解此题的关键．
47．（常考指数：58）解不等式组
考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
专题： 计算题．
分析： 先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上，即可．
解答：
解：不等式组
，并把它的解集在数轴上表示出来．
解不等式①，得：x≤3，
解不等式②，得：x＞﹣2，
∴原不等式组得解集为﹣2＜x≤3．
用数轴表示解集如图所示：．
点评： 此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集．
不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
48．（常考指数：97）某公司有A型产品40件，B型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲店，30件给乙店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：
甲店
A型利润
200
B型利润
170
- 36 - 乙店
160 150
（1）设分配给甲店A型产品x件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W（元），求W关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）若公司要求总利润不低于17560元，说明有多少种不同分配方案，并将各种方案设计出来；
（3）为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利a元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的A，B型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？
考点： 一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．
专题： 压轴题；方案型．
分析： （1）首先设甲店B型产品有（70﹣x），乙店A型有（40﹣x）件，B型有（x﹣10）件，列出不等式方程组求解即可；
（2）由（1）可得几种不同的分配方案；
（3）依题意得出W与a的关系式，解出不等式方程后可得出使利润达到最大的分配方案．
解答： 解：依题意，分配给甲店A型产品x件，则甲店B型产品有（70﹣x）件，乙店A型有（40﹣x）件，B型有{30﹣（40﹣x）}件，则
（1）W=200x+170（70﹣x）+160（40﹣x）+150（x﹣10）=20x+16800．
由，解得10≤x≤40．
（2）由W=20x+16800≥17560，
∴x≥38．
∴38≤x≤40，x=38，39，40．
∴有三种不同的分配方案．
方案一：x=38时，甲店A型38件，B型32件，乙店A型2件，B型28件；
方案二：x=39时，甲店A型39件，B型31件，乙店A型1件，B型29件；
方案三：x=40时，甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件．
（3）依题意：200﹣a＞170，即a＜30，
W=（200﹣a）x+170（70﹣x）+160（40﹣x）+150（x﹣10）=（20﹣a）x+16800，（10≤x≤40）．
①当0＜a＜20时，20﹣a＞0，W随x增大而增大，
∴x=40，W有最大值，
- 37 - 即甲店A型40件，B型30件，乙店A型0件，B型30件，能使总利润达到最大；
②当a=20时，10≤x≤40，W=16800，符合题意的各种方案，使总利润都一样；
③当20＜a＜30时，20﹣a＜0，W随x增大而减小，
∴x=10，W有最大值，
即甲店A型10件，B型60件，乙店A型30件，B型0件，能使总利润达到最大．
点评： 本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，
（1）根据A型、B型产品都能卖完，列出不等式关系式即可求解；
（2）由（2）关系式，结合总利润不低于17560元，列不等式解答；
（3）根据a的不同取值范围，代入利润关系式解答．
49．（常考指数：48）绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．
（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地有几种方案？
（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少最少运费是多少
考点： 一元一次不等式组的应用．
专题： 应用题；方案型．
分析： （1）本题可设甲、乙的货车分别为x和8﹣x，然后根据题意列出不等式：4x+2（8﹣x）≥20和x+2（8﹣x）≥12，化简后得出x的取值范围，看其中有几个整数即可得知有几种方案．
（2）本题可根据第一题列出的几种方案分别计算甲、乙所需的运费，比较哪个少即可得出答案．
解答： 解：（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（8﹣x）辆，依题意
得解此不等式组得2≤x≤4．
∵x是正整数
∴x可取的值为2，3，4．
∴安排甲、乙两种货车有三种方案：
方案一
方案二
甲种货车
2辆
3辆
乙种货车
6辆
5辆
- 38 - 方案三 4辆 4辆
（2）解法一：
方案一所需运费为300×2+240×6=2040元；
方案二所需运费为300×3+240×5=2100元；
方案三所需运费为300×4+240×4=2160元．
∴王灿应选择方案一运费最少，最少运费是2040元．
解法二：
设运输费为y元，根据题意可得，y=300x+240（8﹣x）=1920+60x，（2≤x≤4）
∵60＞0，
∴y随x增大而增大，
∴x=2时，y有最小值：2040，
∴王灿应选择方案一：2辆甲种货车，6辆乙种货车．运费最少，最少运费是2040元．
点评： 本题考查的是一元一次不等式组的运用，解此类题目要注意根据题意列出不同的式子比较值大小．
50．（常考指数：45）已知：如图，AD∥BE，∠1=∠2，求证：∠A=∠E．
考点： 平行线的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 由于AD∥BE可以得到∠A=∠EBC，又∠1=∠2可以得到DE∥AC，由此可以证明∠E=∠EBC，等量代换即可证明题目结论．
解答： 证明：∵AD∥BE，
∴∠A=∠EBC，
∵∠1=∠2，
∴DE∥AC，
∴∠E=∠EBC，
∴∠A=∠EBC=∠E．
点评： 此题考查的是平行线的性质，然后根据平行线的判定和等量代换转化求证．
- 39 -
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