2024年4月16日发(作者：2020成人教育数学试卷)

2008年北京市中学生数学竞赛初二年级试题

一、选择题（满分25分，每小题只有一个正确答案，答对得5分）

11111111

b，c，d

满足

2

2

2

2

1

，则

3

4

5

6

等于（ 1．自然数

a，

abcdabcd

3715

1

A． B． C． D．

163264

8

【解析】 由题意，满足条件的自然数只可能有一种情况

abcd2

，

1111111115

∴

3

4

5

6



，选D．

abcd816326464

2．如右图所示，

ABCD

是一张长方形纸片，将

AD、BC

折起，使

A、B

两

点重合于

CD

边上的点

P

，然后压平得折痕

EF

与

GH

．若

PE8cm

，

D

PG6cm

，

EG10cm

，则长方形纸片

ABCD

的面积为（ ）

A．

105.6(cm)

2

B．

110.4(cm)

2

A

C．

115.2(cm)

2

D．

124.8(cm)

2

【解析】 由题意可知：

ABAEEGGBPEEGPG24

，

PEPG24

且

△PEG

是

Rt△

，∴

BC

，

EG5

24576

∴

S

ABCD

ABBC24115.2

cm

2

，选C．

55

26

3．化简的结果是（ ）．

23

A．1 B．

3

C．2

2626

2

，选C．

26

8212

2

2

D．4

）

D

F

E

P

C

HC

G

B

【解析】 原式

4．

△ABC

所在平面上的点

P

，使得

△ABP

、

△BCP

和

△ACP

的面积相等，这样的点

P

的个数是

（ ）

A．8 B．4 C．3 D．1

【解析】 在

△ABC

内，重心是满足条件的点；在

△ABC

外，与

A、B、C

三点构成平行四边形的点

P

也

满足条件，这样的点有3个．那么，这样的

P

点共有4个，选B．

C(m，0)，D(n，n)

为四边形的四个顶点，当四边形5．在直角坐标系中，设点

A(1，2)

，

B(4，1)，

m

ABCD

的周长最短时，的值为（ ）

n

y

1

A．

2

B．

1

C．

D．1

2

【解析】 作点

A

关于直线

yx

的对称点

A\'

，作点

B

关于

x

轴的对称点

B\'

，

连接

A\'B\'

分别与直线

yx

和

x

轴交于点

D、C

，此时四边形

ABCD

的周长最短．

D

A\'

A

B

O

C

B\'

x

1

，

A\'

点的坐标为

2，1

，

B\'

点的坐标为

4，

11

则直线

A\'B\'

的解析式为

yx

，

33

1

1



1

与直线

yx

的交点

D

的坐标为

，

，

2



2

与

x

轴的交点

C

的坐标为

1，0

，

∴

二、填空题（满分35分，每小题7分，将答案写在下面相应的空格中）

7

1．如右图所示，过原点的直线与反比例函数

y

的图像交于点

A

和

C

，

x

自点

A

和点

C

作

x

轴的垂线，垂足分别为

B

和

D

，则四边形

ABCD

的面积

等于____________.

【解析】 由正比例函数及反比例函数的对称性可知：

A、C

两点关于原点

对称，

则

ABCD

是一个平行四边形，∴

S

ABCD

4S

△COD

，

7

而

S

△COD

，∴

S

ABCD

14

．

2

2xyz1

2．方程组

3

的正整数解（

x，y，z

）为________________．

32

8xyz1

y

m1

2

，选A．

n

1

2

A

B

O

D

C

x

【解析】 ∵

x、y、z

都是正整数，∴

2xy≥3

，则

z≥4

．

解法一：

②①

得

4x

2

2xyy

2

z1

③，

①变形为

z2xy1

代入③得

4x

2

2xyy

2

2xy20

④，

将④整理为关于

y

的方程得

y

2

2x1

y4x

2

2x20

，



2x1

4

4x

2

2x2

≥0

，化简整理得

4x

2

4x3≤0

，

2

13

解得

-≤x≤

，又

x

是正整数，∴

x1

，此时

y3

，

22

代入①得

z6

．

∴方程组的正整数解为

1，3，6

．

解法二：

②①

得

4x

2

2xyy

2

z1

③，

①

2

得

4x

2

4xyy

2

z

2

2z1

④，

1

④-③

得

6xyz

2

3z

，即

2xyz

2

z

，

3

1

则

2x、y

可以作为关于

t

的方程

t

2

z1

tz

2

z0

的两个正整数根，

3

1

2

1



z1

4

z

2

z

≥0

，即

z

2

2z1≥0

，整理得

z

2

6z3≤0

，

3

3

解得

323≤z≤323

，

5，6

． ∵

z≥4

，∴

z4，

又方程有两个正整数根，则

是完全平方数，∴

z6

，

从而

2x2，y3

，即

x1，y3，z6

，

3，6

． ∴方程组的正整数解为

1，

CAB70

，

CAB

的平分线与

ACB

的平分线相交于

I

，

CAIBC

3．在

△ABC

中，若

A

2

CB

，则

A


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