2024年4月16日发(作者：2019德州期末数学试卷)

1990年北京市初二数学竞赛初赛试题

一、选择题（每小题7分，共56分）

1.

a

是任意实数，则

aa

的值为

A. 必大于零 B. 必小于零 C. 必不大于零 D. 必不小于零

【解析】 若

a≥0

，则

aaaa0

；若

a0

，则

aaaa2a≥0

，选D．

2.

a

表示一个两位数，

b

表示一个四位数，把

a

放在

b

的左边组成一个六位数，那么这个六位数应表

示成

A.

ab

B.

10000ab

C.

100a10000b

D.

100ab

a

作为前两位，

b

作为后四位，应该写成

a0000b

的形式，即为

10000ab

，选B． 【解析】

3. 如图，在

△ABC

中，

A42

，

B

和

C

的三等分线分别交于

D，E

，

B

则

BDC

的度数是

A.

67

B.

84

C.

88

D.

110

【解析】 由“飞镖模型”可知：

E

D

A

BDCAABDACDA

A

1

ABCACB

3

C

12

180A

A60

33

2

426088

，选C．

3

4. 如图，在

△ABC

中，

P

是

AC

上一点，取

BP

的中点

Q

，过

CQ

并延长与

AB

交于

D

，则

△ABP

的面积

S

△ABP

与

△ACD

的面积

S

△ACD

的大小关系是

A.

S

△ABP

S

△ACD

B.

S

△ABP

S

△ACD

C.

S

△ABP

S

△ACD

D. 不能确定

【解析】 连接

AQ

，

记

S

△BDQ

a，S

△ADQ

b，S

△BCQ

c

，则由题意可知

S

△APQ

ab

，

S

△CPQ

c

，

B

D

Q

P

A

C

A

由“燕尾定理”得

abcb

，

ca

B

cabc

∴

1

，∴

ca

，

ab

∴

S

△ABP

S

△ACD

，选A．

D

a

b

Q

a+b

P

c

c

C

5. 设

abcd0

，且

Xabcd

，

Yacbd

，

Zadbc

，则

X、Y、Z

的大小关

系为

A.

XZY

B.

YZX

C.

XYZ

D.

ZYX

【解析】

X

Z

2

2

abcd

ad

abcd2abcd

，

Y

bc

adbc2abcd

，

2

2

2

acbd

2

acbd2abcd

，

则

X

2

Y

2

abcdacbd

ad



bc

0

，

Y

2

Z

2

acbdadbc

ab



cd

0

，

∴

X

2

Y

2

Z

2

0

，∴

XYZ0

，选D．

6. 在四个实数中，如果任意三个之和都不比另一个小，则下列说法中必定错误的是

A. 非零的数不可能只有一个 B. 四个数可以都是正数

C. 负数有两个 D. 如果有零就没有负数

【解析】 由题意得

abc≥d

，

abd≥c

，

acd≥b

，

bcd≥a

，

则

abcd≥0

，

若这四个数中有两个负数，设为

c，d

，则

ab≥cd

，

此时

bcda

，不合题意，选C．

7. 如果

x

2

y

2

为正整数，则在下面的四组数值中，

x、y

只能取

A.

x25530，y29464

B.

x37615，y26855

C.

x15123，y32477

D.

x28326，y28614

【解析】 首先，奇数的平方被8除余1，那么两个奇数的平方和被8除余2，而偶数的平方一定能被4

整除，则可以排除B和C．

其次，一个完全平方数的尾数只可能是0，1，4，5，6，9，而D中

x

2

y

2

的尾数为2，也不

可能．所以选A．

a

4

b

4

4

42

42

8. 已知实数

a、b

分别满足

4

2

30

和

bb30

，则代数式的值等于

a

4

aa

A.

175

B.

55

C.

13

D.

7

22

【解析】 根据题意，

2

、b

2

是关于

x

的一元二次方程

x

2

x30

的两个根，且

2

b

2

，

aa

2b

2

2

2

∴

2

b1

，

2

3

，

a

a

2

2b

2

a

4

b

4

44

2



2

42

2

2

b

4

b

2

2

b

2

2

7

，选D．

a

4

a

a



a

a

二、填空题（前6个题，每题6分，第7个题8分，共44分）

12321

1. 计算：

_____________．

1990

2

19891991

111

【解析】 原式

111

．

1990

2

19901

19901

2. 设实数

x、y

满足

x

2

4y

2

2x4y20

，则

x

2y

2xy

的值等于_____________．

【解析】 左边配方得

x1

2y1

0

，∴

x1，y

∴

x

2y

2xy12

3. 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成

12cm

和

21cm

两部分，则这个等腰三角形的底

边的长为______________．

【解析】 设腰长为

2x

，底边长为

y

，由题意得

2xx12

2xx21

x4

x7

或，解得或，



xy21

xy12y17y5



22

1

，

2

检验发现第一组解无法构成三角形，不合题意舍去，

所以，等腰三角形的底边长为

5cm

．

4.

23

与

10

中较大的一个数是_____________．


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