2024年4月5日发(作者：数学试卷早上出)
2021年湖南省益阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的）
1．（5分）（2015•益阳）下列实数中,是无理数的为（ ）
A．B．C．
0
D．﹣3
2．（5分）（2015•益阳）下列运算正确的是（ ）
A．
x
2
•x
3
=x
6
B．
（x
3
）
2
=x
5
C．
（xy
2
）
3
=x
3
y
6
D．
x
6
÷x
3
=x
2
3．（5分）（2015•益阳）某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示,关于“劳
动时间”的这组数据,以下说法正确的是（ ）
3.544.5
劳动时间（小时）
3
1121
人 数
A．中位数是4,平均数是3.75B．众数是4,平均数是3.75
C．中位数是4,平均数是3.8D．众数是2,平均数是3.8
4．（5分）（2015•益阳）一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是（ ）
A．三棱锥B．三棱柱C．圆柱D．长方体
5．（5分）（2015•益阳）如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,以下说法错误的是
（ ）
A．
∠ABC=90°
B．
AC=BD
C．
OA=OB
6．（5分）（2015•益阳）下列等式成立的是（ ）
A．
B．
+==
C．
=
1
D．
OA=AD
D．
=﹣
7．（5分）（2015•益阳）沅江市近年来大力发展芦笋产业,某芦笋生产企业在两年内的销售
额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x,根据题意可列方程为
（ ）
A．20（1+2x）=80B．2×20（1+x）=80C．
20（1+x
2
）=80
D．
20（1+x）
2
=80
8．（5分）（2015•益阳）若抛物线y=（x﹣m）
2
+（m+1）的顶点在第一象限,则m的取值范
围为（ ）
A．m＞1B．m＞0C．m＞﹣1D．﹣1＜m＜0
二、填空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横
线上）
9．（5分）（2015•益阳）计算：= ．
10．（5分）（2015•益阳）已知y是x的反比例函数,当x＞0时,y随x的增大而减小．请写出
一个满足以上条件的函数表达式 ．
11．（5分）（2015•益阳）甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影,甲没有站在中间的概
率为 ．
12．（5分）（2015•益阳）如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,⊙O的半径为1,则
为 ．
的长
13．（5分）（2015•益阳）如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案,第1个图案
中有6根小棒,第2个图案中有11根小棒,…,则第n个图案中有 根小棒．
三、解答题（本大题共2小题,每小题8分,共16分）
14．（8分）（2015•益阳）化简：（x+1）
2
﹣x（x+1）．
15．（8分）（2015•益阳）如图,直线AB∥CD,BC平分∠ABD,∠1=65°,求∠2的度数．
2
四、解答题（本大题共3小题,每小题10分,共30分）
16．（10分）（2015•益阳）如图,直线l上有一点P
1
（2,1）,将点P
1
先向右平移1个单位,再
向上平移2个单位得到像点P
2
,点P
2
恰好在直线l上．
（1）写出点P
2
的坐标。
（2）求直线l所表示的一次函数的表达式。
（3）若将点P
2
先向右平移3个单位,再向上平移6个单位得到像点P
3
．请判断点P
3
是否在
直线l上,并说明理由．
17．（10分）（2015•益阳）2021年益阳市的地区生产总值（第一、二、三产业的增加值之和）
已进入千亿元俱乐部,如图表示2021年益阳市第一、二、三产业增加值的部分情况,请根据图
中提供的信息解答下列问题
（1）2021年益阳市的地区生产总值为多少亿元？
（2）请将条形统计图中第二产业部分补充完整。
（3）求扇形统计图中第二产业对应的扇形的圆心角度数．
18．（10分）（2015•益阳）如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠CAB=∠ACB,
过点B作BE⊥AB交AC于点E．
3
（1）求证：AC⊥BD。
（2）若AB=14,cos∠CAB=,求线段OE的长．
五、解答题（本大题共2小题,每小题12分,共24分）
19．（12分）（2015•益阳）大学生小刘回乡创办小微企业,初期购得原材料若干吨,每天生产
相同件数的某种产品,单件产品所耗费的原材料相同．当生产6天后剩余原材料36吨,当生产
10天后剩余原材料30吨．若剩余原材料数量小于或等于3吨,则需补充原材料以保证正常生
产．
（1）求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数。
（2）若生产16天后,根据市场需求每天产量提高20%,则最多再生产多少天后必须补充原材
料？
20．（12分）（2015•益阳）已知点P是线段AB上与点A不重合的一点,且AP＜PB．AP绕
点A逆时针旋转角α（0°＜α≤90°）得到AP
1
,BP绕点B顺时针也旋转角α得到BP
2
,连接
PP
1
、
PP
2
．
（1）如图1,当α=90°时,求∠P
1
PP
2
的度数。
（2）如图2,当点P
2
在AP
1
的延长线上时,求证：△P
2
P
1
P∽△P
2
PA。
（3）如图3,过BP的中点E作l
1
⊥BP,过BP
2
的中点F作l
2
⊥BP
2
,l
1
与l
2
交于点Q,连接PQ,
求证：P
1
P⊥PQ．
六、解答题（本题满分15分）
21．（15分）（2015•益阳）已知抛物线E
1
：y=x
2
经过点A（1,m）,以原点为顶点的抛物线
E
2
经过点B（2,2）,点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′,B′．
（1）求m的值及抛物线E
2
所表示的二次函数的表达式。
（2）如图1,在第一象限内,抛物线E
1
上是否存在点Q,使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为
直角三角形？若存在,求出点Q的坐标。若不存在,请说明理由。
（3）如图2,P为第一象限内的抛物线E
1
上与点A不重合的一点,连接OP并延长与抛物线
E
2
相交于点P′,求△PAA′与△P′BB′的面积之比．
4
5
2021年湖南省益阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的）
1．（5分）（2015•益阳）下列实数中,是无理数的为（ ）
A．B．C．
0
D．﹣3
考点：无理数．
分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理
数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无
理数．由此即可判定选择项．
解答：解：A、是无理数,选项正确。
B、是分数,是有理数,选项错误。
C、是整数,是有理数,选项错误。
D、是整数,是有理数,选项错误．
故选A．
点评：此题主要考查了无理数的定义,其中初中范围内学习的无理数有：π,2π等。开方开不
尽的数。以及像0.1010010001…,等有这样规律的数．
2．（5分）（2015•益阳）下列运算正确的是（ ）
A．
x
2
•x
3
=x
6
B．
（x
3
）
2
=x
5
C．
（xy
2
）
3
=x
3
y
6
D．
x
6
÷x
3
=x
2
考点：同底数幂的除法。同底数幂的乘法。幂的乘方与积的乘方．
分析：根据同底数幂的乘法,可判断A。根据幂的乘方,可判断B。根据积的乘方,可判断C。
根据同底数幂的除法,可判断D．
解答：解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加,故A错误。
B、幂的乘方底数不变指数相乘,故B错误。
C、积的乘方等于乘方的积,故C正确。
D、通敌数幂的除法底数不变指数相减,故D错误。
故选：C．
点评：本题考查了同底数幂的除法,熟记法则并根据法则计算是解题关键．
3．（5分）（2015•益阳）某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示,关于“劳
动时间”的这组数据,以下说法正确的是（ ）
3.544.5
劳动时间（小时）
3
1121
人 数
A．中位数是4,平均数是3.75
C．中位数是4,平均数是3.8
B．众数是4,平均数是3.75
D．众数是2,平均数是3.8
6
考点：中位数。加权平均数。众数．
分析：根据众数和中位数的概念求解．
解答：解：这组数据中4出现的次数最多,众数为4,
∵共有5个人,
∴第3个人的劳动时间为中位数,
故中位数为：4,
平均数为：=3.8．
故选C．
点评：本题考查了中位数、平均数、众数的知识,解答本题的关键是掌握各知识点的概念．
4．（5分）（2015•益阳）一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是（ ）
A．三棱锥B．三棱柱C．圆柱D．长方体
考点：由三视图判断几何体．
分析：根据三视图的知识,正视图为两个矩形,左视图为一个矩形,俯视图为一个三角形,故这
个几何体为直三棱柱
解答：解：根据图中三视图的形状,符合条件的只有直三棱柱,因此这个几何体的名称是直三
棱柱．
故选：B．
点评：本题考查由三视图确定几何体的形状,主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认
识．
5．（5分）（2015•益阳）如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,以下说法错误的是
（ ）
A．
∠ABC=90°
B．
AC=BD
C．
OA=OB
D．
OA=AD
考点：矩形的性质．
分析：矩形的性质：四个角都是直角,对角线互相平分且相等。由矩形的性质容易得出结
论．
解答：解：∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°,AC=BD,OA=AC,OB=BD,
∴OA=OB,
7
∴A、B、C正确,D错误,
故选：D．
点评：本题考查了矩形的性质。熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．
6．（5分）（2015•益阳）下列等式成立的是（ ）
A．
B．
+==
C．
=
D．
=﹣
考点：分式的混合运算．
专题：计算题．
分析：原式各项计算得到结果,即可做出判断．
解答：
解：A、原式=,错误。
B、原式不能约分,错误。
C、原式=
D、原式=
=
=﹣
,正确。
,错误,
故选C
点评：此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（5分）（2015•益阳）沅江市近年来大力发展芦笋产业,某芦笋生产企业在两年内的销售
额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x,根据题意可列方程为
（ ）
A．20（1+2x）=80B．2×20（1+x）=80C．
20（1+x
2
）=80
D．
20（1+x）
2
=80
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：增长率问题．
分析：
根据第一年的销售额×（1+平均年增长率）
2
=第三年的销售额,列出方程即可．
解答：
解：设增长率为x,根据题意得20（1+x）
2
=80,
故选D．
点评：本题考查一元二次方程的应用﹣﹣求平均变化率的方法．若设变化前的量为a,变化后
的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）
2
=b．（当增长时
中间的“±”号选“+”,当下降时中间的“±”号选“﹣”）．
8．（5分）（2015•益阳）若抛物线y=（x﹣m）
2
+（m+1）的顶点在第一象限,则m的取值范
围为（ ）
A．m＞1B．m＞0C．m＞﹣1D．﹣1＜m＜0
考点：二次函数的性质．
分析：
利用y=ax
2
8
+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标,根据顶点在第一象限,所以顶点的横坐标和
纵坐标都大于0列出不等式组．
解答：
解：由y=（x﹣m）
2
+（m+1）=x
2
﹣2mx+（m
2
+m+1）,
根据题意,,
解不等式（1）,得m＞0,
解不等式（2）,得m＞﹣1。
所以不等式组的解集为m＞0．
故选B．
点评：本题考查顶点坐标的公式和点所在象限的取值范围,同时考查了不等式组的解法,难度
较大．
二、填空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横
线上）
9．（5分）（2015•益阳）计算：= 4 ．
考点：二次根式的乘除法．
专题：计算题．
分析：原式利用二次根式的乘法法则计算,将结果化为最简二次根式即可．
解答：
解：原式===4．
故答案为：4
点评：此题考查了二次根式的乘除法,熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（5分）（2015•益阳）已知y是x的反比例函数,当x＞0时,y随x的增大而减小．请写出
一个满足以上条件的函数表达式 y=（x＞0）,答案不唯一 ．
考点：反比例函数的性质．
专题：开放型．
分析：反比例函数的图象在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而增大,则反比例函数的
反比例系数k＜0。反之,只要k＜0,则反比例函数在每个象限内,函数值y随自变量x的
增大而增大．
解答：
解：只要使反比例系数大于0即可．如y=（x＞0）,答案不唯一．
故答案为：y=（x＞0）,答案不唯一．
点评：
本题主要考查了反比例函数y=（k≠0）的性质：
①k＞0时,函数图象在第一,三象限．在每个象限内y随x的增大而减小。
②k＜0时,函数图象在第二,四象限．在每个象限内y随x的增大而增大．
9
11．（5分）（2015•益阳）甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影,甲没有站在中间的概
率为 ．
考点：列表法与树状图法．
分析：列举出所有情况,看甲没排在中间的情况占所有情况的多少即为所求的概率．
解答：解：甲、乙、丙三个同学排成一排拍照有以下可能：
甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,全部6种情况,
有4种甲没在中间,
所以甲没排在中间的概率是=．
故答案为．
点评：本题考查用列举法求概率,用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
12．（5分）（2015•益阳）如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,⊙O的半径为1,则
．
的长为
考点：弧长的计算。正多边形和圆．
分析：求出圆心角∠AOB的度数,再利用弧长公式解答即可．
解答：解：∵ABCDEF为正六边形,
∴∠AOB=360°×=60°,
的长为
故答案为：．
=．
点评：此题将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合,构思巧妙,利用了正六边形的性质．
13．（5分）（2015•益阳）如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案,第1个图案
中有6根小棒,第2个图案中有11根小棒,…,则第n个图案中有 5n+1 根小棒．
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