湖南省益阳市中考数学试卷含答案(样卷)

2024年4月5日发(作者：职高历年高考数学试卷)

湖南省益阳市中考数学试卷（样卷）

一、选择题：本题共

10

小题，每小题

4

分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

1

．（

4

分）

A

．

B

．﹣

C

．

的相反数是（ ）

D

．

2

．（

4

分）下列各式化简后的结果为

3

A

．

B

．

C

．

D

．

的是（ ）

3

．（

4

分）下列运算正确的是（ ）

A

．

2x

+

y=2xy B

．

x•2y

2

=2xy

2

C

．

2x

÷

x

2

=2x D

．

4x

﹣

5x=

﹣

1

4

．（

4

分）不等式组

A

．

B

．

的解集在数轴上表示正确的是（ ）

C

．

D

．

5

．（

4

分）下列判断错误的是（ ）

A

．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

B

．四个内角都相等的四边形是矩形

C

．四条边都相等的四边形是菱形

D

．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形

6

．（

4

分）小为了了解本校运动员百米短跑所用步数的情况，对校运会中百米短

跑决赛的

8

名男运动员的步数进行了统计，记录的数据如下：

66

、

68

、

67

、

68

、

67

、

69

、

68

、

71

，这组数据的众数和中位数分别为（ ）

A

．

67

、

68 B

．

67

、

67 C

．

68

、

68 D

．

68

、

67

7

．（

4

分）关于

x

的一元二次方程

ax

2

+

bx

+

c=0

（

a

≠

0

）的两根为

x

1

=1

，

x

2

=

﹣

1

，

那么下列结论一定成立的是（ ）

A

．

b

2

﹣

4ac

＞

0 B

．

b

2

﹣

4ac=0 C

．

b

2

﹣

4ac

＜

0 D

．

b

2

﹣

4ac

≤

0

8

．（

4

分）将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角

和之和不可能是（ ）

A

．

360° B

．

540° C

．

720° D

．

900°

9

．（

4

分）关于抛物线

y=x

2

﹣

2x

+

1

，下列说法错误的是（ ）

1 / 21

A

．开口向上

B

．与

x

轴有两个重合的交点

D

．当

x

＞

1

时，

y

随

x

的增大而减小

C

．对称轴是直线

x=1

10

．（

4

分）小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆

PA

的高度与拉绳

PB

的长度相等．小明将

PB

拉到

PB′

的位置，测得∠

PB′C=α

（

B′C

为水平线），测角仪

B′D

的高度为

1

米，则旗杆

PA

的高度为（ ）

A

．

B

．

C

．

D

．

二、填空题：本题共

8

小题，每小题

4

分．

11

．（

4

分）将正比例函数

y=2x

的图象向上平移

3

个单位，所得的直线不经过第

象限．

12

．（

4

分）甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没有站在中间的概

率为

．

13

．

AB

∥

CD

，

CB

平分∠

ACD

．（

4

分）如图，若∠

BCD=28°

，则∠

A

的度数为

．

14

．（

4

分）某学习小组为了探究函数

y=x

2

﹣|

x

|的图象和性质，根据以往学习函

数的经验，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的

m=

．

x

…

﹣

2

﹣

1.5

y

…

2

0.75

0

﹣

0.25

0

﹣

0.25

0

m

2

…

﹣

1

﹣

0.5

0

0.5

1

1.5

2

…

15

．（

4

分）我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比

例函数

y=

﹣的图象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标

．

16

．（

4

分）如图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积

为

．（结果保留

π

）

2 / 21

17

．（

4

分）如图，四边形

ABCD

内接于⊙

O

，

AB

是直径，过

C

点的切线与

AB

的

延长线交于

P

点，若∠

P=40°

，则∠

D

的度数为

．

18

．（

4

分）小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第

1

个图案有

1

枚

…

，棋子，第

2

个图案有

3

枚棋子，第

3

个图案有

4

枚棋子，第

4

个图案有

6

枚棋子，

那么第

9

个图案的棋子数是

枚．

三、解答题：本题共

8

小题，共

78

分

.

解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤

19

．（

8

分）计算：（﹣

1

）

3

+|

20

．（

8

分）先化简，再求值：（

|﹣（﹣）

0

×（﹣）．

﹣）÷，其中

x=

﹣．

21

．（

8

分）如图，在

▱ABCD

中，

AE

⊥

BD

于

E

，

CF

⊥

BD

于

F

，连接

AF

，

CE

．求证：

AF=CE

．

22

．（

10

分）在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学

生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，

3 / 21

请你根据图表中的信息完成下列问题：

分

组

第一组（

0

≤

x

＜

15

）

第二组（

15

≤

x

＜

30

）

第三组（

30

≤

x

＜

45

）

第四组（

45

≤

x

＜

60

）

频数

3

6

7

b

频率

0.15

a

0.35

0.20

（

1

）频数分布表中

a=

，

b=

，并将统计图补充完整；

（

2

）如果该校七年级共有女生

180

人，估计仰卧起坐能够一分钟完成

30

或

30

次以上的女学生有多少人？

（

3

）已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机

从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是

多少？

23

．（

10

分）某职业高中机电班共有学生

42

人，其中男生人数比女生人数的

2

倍少

3

人．

（

1

）该班男生和女生各有多少人？

（

2

）某工厂决定到该班招录

30

名学生，经测试，该班男、女生每天能加工的零

件数分别为

50

个和

45

个，为保证他们每天加工的零件总数不少于

1460

个，那

么至少要招录多少名男学生？

24

．（

10

分）在△

ABC

中，

AB=15

，

BC=14

，

AC=13

，求△

ABC

的面积．

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完

成解答过程．

4 / 21

25

．（

12

分）如图，顶点为

A

（

点

B

．

，

1

）的抛物线经过坐标原点

O

，与

x

轴交于

（

1

）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（

2

）过

B

作

OA

的平行线交

y

轴于点

C

，交抛物线于点

D

，求证：△

OCD

≌△

OAB

；

（

3

）在

x

轴上找一点

P

，使得△

PCD

的周长最小，求出

P

点的坐标．

26

．（

12

分）如图①，在△

ABC

中，∠

ACB=90°

，∠

B=30°

，

AC=1

，

D

为

AB

的中

点，

EF

为△

ACD

的中位线，四边形

EFGH

为△

ACD

的内接矩形（矩形的四个顶点

均在△

ACD

的边上）．

（

1

）计算矩形

EFGH

的面积；

（

2

）将矩形

EFGH

沿

AB

向右平移，

F

落在

BC

上时停止移动．在平移过程中，

当矩形与△

CBD

重叠部分的面积为时，求矩形平移的距离；

（

3

）如图③，将（

2

）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形

E

1

F

1

G

1

H

1

，将矩形

E

1

F

1

G

1

H

1

绕

G

1

点按顺时针方向旋转，当

H

1

落在

CD

上时停止转动，旋转后的矩

形记为矩形

E

2

F

2

G

1

H

2

，设旋转角为

α

，求

cosα

的值．

5 / 21

湖南省益阳市中考数学试卷（样卷）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共

10

小题，每小题

4

分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

1

．（

4

分）

A

．

B

．﹣

C

．

【解答】解：∵﹣

∴﹣的相反数是

的相反数是（ ）

D

．

+

．

=0

，

故选：

C

．

2

．（

4

分）下列各式化简后的结果为

3

A

．

B

．

C

．

D

．

的是（ ）

【解答】解：

A

、

B

、

C

、

D

、

=2

=3

不能化简；

，此选项错误；

，此选项正确；

=6

，此选项错误；

故选：

C

．

3

．（

4

分）下列运算正确的是（ ）

A

．

2x

+

y=2xy B

．

x•2y

2

=2xy

2

C

．

2x

÷

x

2

=2x D

．

4x

﹣

5x=

﹣

1

【解答】解：

A

、

2x

+

y

无法计算，故此选项错误；

B

、

x•2y

2

=2xy

2

，正确；

C

、

2x

÷

x

2

=

，故此选项错误；

D

、

4x

﹣

5x=

﹣

x

，故此选项错误；

故选：

B

．

6 / 21

4

．（

4

分）不等式组

A

．

【解答】解：

由①得，

x

＞﹣

3

，

由②得，

x

≤

2

，

B

．

，

的解集在数轴上表示正确的是（ ）

C

．

D

．

故不等式组的解集为：﹣

3

＜

x

≤

2

，

在数轴上表示为：

故选：

A

．

5

．（

4

分）下列判断错误的是（ ）

A

．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

B

．四个内角都相等的四边形是矩形

C

．四条边都相等的四边形是菱形

D

．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形

【解答】解：

A

、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错

误；

B

、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误；

C

、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误；

D

、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正

确．

故选：

D

．

6

．（

4

分）小为了了解本校运动员百米短跑所用步数的情况，对校运会中百米短

跑决赛的

8

名男运动员的步数进行了统计，记录的数据如下：

66

、

68

、

67

、

68

、

67

、

69

、

68

、

71

，这组数据的众数和中位数分别为（ ）

A

．

67

、

68 B

．

67

、

67 C

．

68

、

68 D

．

68

、

67

【解答】解：因为

68

出现了

3

次，出现次数最多，所以这组数据的众数是

68

．

．

将这组数据从小到大排列得到：

66

，

67

，

67

，

68

，

68

，

68

，

69

，

71

，

7 / 21

所以这组数据的中位数为

68

．

故选：

C

．

7

．（

4

分）关于

x

的一元二次方程

ax

2

+

bx

+

c=0

（

a

≠

0

）的两根为

x

1

=1

，

x

2

=

﹣

1

，

那么下列结论一定成立的是（ ）

A

．

b

2

﹣

4ac

＞

0 B

．

b

2

﹣

4ac=0 C

．

b

2

﹣

4ac

＜

0 D

．

b

2

﹣

4ac

≤

0

【解答】解：∵关于

x

的一元二次方程

ax

2

+

bx

+

c=0

（

a

≠

0

）的两根为

x

1

=1

，

x

2

=

﹣

1

，

∴

b

2

﹣

4ac

＞

0

，

故选：

A

．

8

．（

4

分）将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角

和之和不可能是（ ）

A

．

360° B

．

540° C

．

720° D

．

900°

【解答】解：①将矩形沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的内角和为：

180°

+

180°=360°

；

②将矩形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角

和为：

180°

+

360°=540°

；

③将矩形沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：

360°

+

360°=720°

，

④将矩形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个五边形，其内角和为：

180°

+

540°=720°

；

故选：

D

．

9

．（

4

分）关于抛物线

y=x

2

﹣

2x

+

1

，下列说法错误的是（ ）

A

．开口向上

B

．与

x

轴有两个重合的交点

D

．当

x

＞

1

时，

y

随

x

的增大而减小

C

．对称轴是直线

x=1

【解答】解：画出抛物线

y=x

2

﹣

2x

+

1

的图象，如图所示．

8 / 21

A

、∵

a=1

，

∴抛物线开口向上，

A

正确；

B

、∵令

x

2

﹣

2x

+

1=0

，△

=

（﹣

2

）

2

﹣

4

×

1

×

1=0

，

∴该抛物线与

x

轴有两个重合的交点，

B

正确；

C

、∵﹣

=

﹣

=1

，

∴该抛物线对称轴是直线

x=1

，

C

正确；

D

、∵抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为

x=1

，

∴当

x

＞

1

时，

y

随

x

的增大而增大，

D

不正确．

故选：

D

．

10

．（

4

分）小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆

PA

的高度与拉绳

PB

的长度相等．小明将

PB

拉到

PB′

的位置，测得∠

PB′C=α

（

B′C

为水平线），测角仪

B′D

的高度为

1

米，则旗杆

PA

的高度为（ ）

A

．

B

．

C

．

D

．

【解答】解：设

PA=PB=PB′=x

，

在

RT

△

PCB′

中，

sinα=

∴

=sinα

，

，

∴

x

﹣

1=xsinα

，

9 / 21

∴（

1

﹣

sinα

）

x=1

，

∴

x=

故选：

A

．

．

二、填空题：本题共

8

小题，每小题

4

分．

11

．（

4

分）将正比例函数

y=2x

的图象向上平移

3

个单位，所得的直线不经过第

四 象限．

【解答】解：将正比例函数

y=2x

的图象向上平移

3

个单位后得到的一次函数的

解析式为：

y=2x

+

3

，

∵

k=2

＞

0

，

b=3

＞

0

，

∴该一次函数图象经过第一、二、三象限，即该一次函数图象不经过第四象限．

故答案为：四．

12

．（

4

分）甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没有站在中间的概

率为 ．

【解答】解：甲、乙、丙三个同学排成一排拍照有以下可能：

甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，全部

6

种情况，

有

4

种甲没在中间，

所以甲没排在中间的概率是

=

．

故答案为．

13

．

AB

∥

CD

，

CB

平分∠

ACD

．（

4

分）如图，若∠

BCD=28°

，则∠

A

的度数为

124°

．

10 / 21

【解答】解：∵

AB

∥

CD

，

∴∠

ABC=

∠

BCD=28°

，

∵

CB

平分∠

ACD

，

∴∠

ACB=

∠

BCD=28°

，

∴∠

A=180°

﹣∠

ABC

﹣∠

ACB=124°

，

故答案为：

124°

．

14

．（

4

分）某学习小组为了探究函数

y=x

2

﹣|

x

|的图象和性质，根据以往学习函

数的经验，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的

m=

0.75

．

x

…

﹣

2

﹣

1.5

y

…

2

0.75

0

﹣

0.25

0

﹣

0.25

0

m

2

…

﹣

1

﹣

0.5

0

0.5

1

1.5

2

…

【解答】解：（方法一）当

x

＞

0

时，函数

y=x

2

﹣|

x

|

=x

2

﹣

x

，

当

x=1.5

时，

y=1.5

2

﹣

1.5=0.75

，

则

m=0.75

．

（方法二）观察表格中的数据，可知：当

x=

﹣

1

和

x=1

时，

y

值相等，

∴抛物线的对称轴为

y

轴，

∴当

x=1.5

和

x=

﹣

1.5

时，

y

值相等，

∴

m=0.75

．

故答案为：

0.75

．

15

．（

4

分）我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比

例函数

y=

﹣的图象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标 （

1

，﹣

3

） ．

【解答】解：任意取一个整数值如

x=1

，将

x=1

代入解析式得：

y=

﹣

=

﹣

3

，

得到点坐标为（

1

，﹣

3

），则这个点坐标的横纵坐标都为整数，是符合要求的答

案，本题可有多个答案．

11 / 21