2024年3月10日发(作者：2017高中模拟数学试卷)

2020中考数学 压轴专题 几何探究题（含答案）

1. 我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．

第1题图

(1)概念理解：请你根据定义举一个“等邻角四边形的”例子；

(2)问题探究：如图①，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD、BC的中垂线恰好交于AB边上一点

P，连接AC、BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由．

(3)应用拓展：如图②，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，将Rt△ABD绕着

点A顺时针旋转角α(0°)得到Rt△AB′D′(如图③)，当凸四边形AD′BC为“等邻角四边形”时，求出它的面积．

解：(1)矩形；(答案不唯一)

(2)AC＝BD；如解图①所示，连接PD、PC，

∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，

∴PA＝PD，PB＝PC，

∴∠PAD＝∠PDA，∠PBC＝∠PCB，

∴∠DPB＝180°－∠DPA＝∠PAD＋∠PDA＝2∠PAD，同理可得∠APC＝2∠PBC，

∵∠DAB＝∠ABC，即∠PAD＝∠PBC，

PA＝PD

∴∠APC＝∠DPB，在△APC和△DPB中，

∠APC＝∠DPB

，

PB＝PC

△APC≌△DPB(SAS)，

∴ AC＝BD.

第1题解图①

(3)①当∠AD′B＝∠D′BC时，如解图②所示，延长AD′交CB的延长线于点E，过点D′作DF⊥CE于点F，

∠ED′B＝∠EBD′，

∴EB＝ED′，

∵∠C＝∠EFD′，∠EAC＝∠ED′F，

∴△ED′F∽△EAC，

则

D′FED′

＝，

ACAE

AB

2

－BC

2

＝5

2

－3

2

＝4， 设EB＝ED′＝x，由勾股定理可知，在Rt△ACB中，AC＝

则AD′＝4，CE＝3＋x，AE＝4＋x

，

在Rt△ACE中，AC

2

＋CE

2

＝AE

2

，即4

2

＋(3＋x)

2

＝(4＋x)

2

，

99

整理得：2x－9＝0，解得x＝，EB＝ED′＝，

22

9

D′F

2

1736

∴AE＝，∴＝，∴D′F＝，

241117

2

74

S

四边形AD′BC

＝S

△

ACE

－S

△

D′BE

＝

AC·CE－D′F·BE＝

×4×(3＋

)－

××＝15－＝；

222222171717


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